角平分線的性質(zhì)（共11小題）

知識(shí)鏈接：

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，

在NAOB的平分線上，Cr>_LOA,CE±OB：.CD^CE

基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：

1.如圖，點(diǎn)。為/BAC與/AC。的平分線的交點(diǎn)，OE_LAC于E,若OE=3,則AB與兩

平行線之間的距離是（）

A.3B.4C.6D.8

2.如圖，△ABC中，/ABC、NEAC的角平分線8尸、AP交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)區(qū)4、BC,PMLBE,PNLBF,

則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）

①CP平分NACF；?ZABC+2ZAPC=180°；?ZACB=2ZAPB,?S^PAC=S^MAP+S^NCP.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，在△ABC中，NB=45°,是△ABC的角平分線，DE±AC,垂足為點(diǎn)E.若DE=2,則3。

的長(zhǎng)為（）

A

C.2D.2V2

4.如圖，點(diǎn)尸在NA08的平分線上，PC_LO4于點(diǎn)C,ZAOB=30°，點(diǎn)。在邊03上，且。。=。尸=4,

2C.3D.4

5.如圖，0C平分NA05,點(diǎn)尸在0C上，PDLOB,PD=2,則點(diǎn)尸到射線。4的距離是

6.如圖，在△A3C中，ZC=90°,N5AC的平分線交于點(diǎn)O,OE_LAB于點(diǎn)E若CD=3,AB=8,

則△A5O的面積為

7.如圖，△ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2cm的速度按C-

A的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.當(dāng)尸時(shí)，3尸恰好平分NA5C

CB

8.如圖①，將直角三角板DOE的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC,使NBOC=70°.

(1)如圖①，若直角三角板。。E的一邊。。在直線上，則/COE=°；

(2)如圖②，將直角三角板。?！昀@點(diǎn)。按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分/BOE,求

ZBOD,/C。。的度數(shù).

9.如圖，已知8。為/ABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在BD上，于PNLCD于■N,求證:

PM=PN.

10.如圖，△ABC中，點(diǎn)。在2C邊上，ZBA￡>=.100°,NABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作跖，

AB,垂足為F，且/AEF=50°,連接。E.

(1)求證：AE平分/曲D

(2)求證：￡>￡■平分NAOC.

11.如圖，已知AB//CD,ZABD的平分線交CD于F,ZBDC的平分線交BF于點(diǎn)E.(ZABD為小于

120°的鈍角)

(1)求證：DELBF-,

(2)若BE長(zhǎng)為2,求：的長(zhǎng)；

(3)若點(diǎn)P為線段8尸上一點(diǎn)，ZEDP=a,/A8F的角平分線與/COP的角平分線交于點(diǎn)G,試用

含a的式子表示NBGZ)的大小.

知識(shí)鏈接：

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）

垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的

距離相等.

基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：

12.如圖，在△ABC中，ZABC=40°,ZDCF=2Q°,1垂直平分AB,交8C于點(diǎn)。，連接AD,FG

垂直平分AC,交A。于點(diǎn)R連接CR則NBAC的大小為（）

A

A.60°B.70°C.80°D.90°

13.如圖，在△ABC中，。為8c邊上的一點(diǎn)，AC=AD,EE為線段8。的垂直平分線，若A8=9,AC=

1,則的周長(zhǎng)為（）

14.如圖，線段AB,OE的垂直平分線交于點(diǎn)C,且NABC=NEOC=72°,ZAEB^112°,則/仍。的

度數(shù)為（)

A

C.148°D.138°

1

15.如圖，在△ABC中，NC=90°,分別以點(diǎn)3、C為圓心，以大于5BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于

M,N兩點(diǎn)，作直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)、D、E-,用同樣的方法作直線/,/恰巧經(jīng)過點(diǎn)交AC

于點(diǎn)E則圖中與△(7￡>￡成對(duì)稱關(guān)系的三角形是

,按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)8,C為圓心，大于之BC的長(zhǎng)為半徑

畫弧，兩弧相交于點(diǎn)E和尸；②作直線ER分別交AC,8c于點(diǎn)。，M；

③連接BD,以點(diǎn)。為圓心,DM長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)G,連接GM,則/GMB的度數(shù)為

17.如圖，已知在△ABC中，AB邊的垂直平分線人交BC于點(diǎn)。，AC邊的垂直平分線/2交BC于點(diǎn)E,

/1與/2相交于點(diǎn)。，連接。8,OC,若△AQE的周長(zhǎng)為8cm,ZkOBC的周長(zhǎng)為18c%.

(1)求線段8C的長(zhǎng)；

(2)連接。4,求證：OB=OC；

(3)求線段0A的長(zhǎng).

A

18.【問題發(fā)現(xiàn)】我們知道“線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端的距離相等“，那么不在線段垂直平分線上的

點(diǎn)到線段兩端的距離大小如何判斷呢？

【自主研究】

(1)如圖①，直線/是線段A8的垂直平分線，點(diǎn)尸在直線/的左側(cè)，經(jīng)測(cè)量，

PA<PB,請(qǐng)證明這個(gè)結(jié)論；

【遷移研究】

(2)如圖②，直線/是線段的垂直平分線，點(diǎn)C在直線/外，且與點(diǎn)A在直線/的同側(cè)，點(diǎn)。是直

線/上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AD,BC,CD,試判斷和AZJ+C。之間的大小關(guān)系，并說明理由.

三.等腰三角形的性質(zhì)(共13小題)

知識(shí)鏈接：

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：

19.如圖，在△ABC中，AB=BC,垂直平分BC,CD平分/AC8,則N8的度數(shù)為（)

C.35°D.36°

20.如圖，在△ABC中，AB^AC,/A=36°,A3的垂直平分線。E交AC于點(diǎn)。，交4B于點(diǎn)E,下述

結(jié)論正確的有（）

①8。平分/A8C；②△BCO的周長(zhǎng)等于A8+8C；③AD=BD=BC；④點(diǎn)。是線段AC的三等分點(diǎn).

C.①②③D.①②③④

21.如圖，在第1個(gè)△ALBC中，NB=30°,AiB^CB,在邊42上任取一點(diǎn)D延長(zhǎng)C41到人2,使442

=4。，得到第2個(gè)△442。；在邊A1D上取一點(diǎn)E,延長(zhǎng)A1A2至U加，使4*3=42￡得到第3個(gè)X

A2A3E…按此做法繼續(xù)下去，則第2021個(gè)三角形中以A2021為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（）

1

A.(-)2019.75。B.(-)2020.75。

22

C.(-)2021.75。D.(-)2022?75°

2

22.如圖，△ABC中，43=AC=2,尸是BC上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E,PE_LAC于點(diǎn)R若SAABC=3,

貝UPE+PF=

23.如圖，在等腰AABC中，AB=AC,以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作?。ɑ∷趫A的半徑都相等），交

1

于點(diǎn)交AC于點(diǎn)N,分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/BAC的內(nèi)部

相交于點(diǎn)。，作射線交BC于點(diǎn)E,尸為邊AC上一點(diǎn)，連接EF,若AF=CF,AE=BC=4,則EF

的長(zhǎng)為.

24.如圖“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三

等分任一角.這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒尸2,尸。組成，兩根棒在尸點(diǎn)相連并可繞尸轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)

固定，CP=OC=OA,點(diǎn)。，A可在槽中滑動(dòng)，若/AOB=75°,則/尸的度數(shù)是

25.五角星是我們中華人民共和國(guó)國(guó)旗的重要元素，如圖是從一個(gè)五角星中分離出來的等腰三角形ABC,

AD

已知NA=36°,AB^AC,8D平分則一的值為.

26.將一副三角尺按圖所示方式擺放，它們共用頂點(diǎn)C,CD,CE分別交A8于點(diǎn)凡G.若BF=CF,Z

ACB=/E=90°,NA=60°,Z￡>=45°,則/AGE的度數(shù)是.

27.如圖，在AABC中，AB=AC=8,尸是BC上任意一點(diǎn)，且尸。_LAB于點(diǎn)。，PE_LAC于點(diǎn)E.若乙

A2C面積為32,則尸。+PE的值是否為定值？請(qǐng)說明理由.

A

28.綜合與實(shí)踐，問題情境：活動(dòng)課上，同學(xué)們以等腰三角形為背景展開有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的探究活動(dòng)，如圖

1,已知△A8C中A8=AC,ZB=30°.將△ABC從圖1的位置開始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△&￡)￡

(點(diǎn)。，E分別是點(diǎn)8,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn))，旋轉(zhuǎn)角為a(0°<a<100°,設(shè)線段AO與相交于點(diǎn)M,

線段。E分別交BC,AC于點(diǎn)O,N.

特例分析：(1)如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A。，8c時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為；

探究規(guī)律：(2)如圖3,在△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，“求真”小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)線段AM始終等

于線段AN,請(qǐng)你證明這一結(jié)論.

拓展延伸：(3)①直接寫出當(dāng)是等腰三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

②在圖3中，作直線2。，CE交于點(diǎn)P,直接寫出當(dāng)是直角三角形時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

29.如圖1和2,在四邊形ABC。中，ZBAD=a,ZBCD=180°-a,8。平分/ABC.

(1)如圖1,若a=90°,根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得ZM=C￡>,這個(gè)性質(zhì)是

(2)問題解決：如圖2,求證AO=CD；

(3)問題拓展：如圖3,在等腰△ABC中，ZBAC=100°,BD平分NABC,求證：BD+AD=BC.

圖1圖2圖3

30.如圖，P是等腰三角形ABC底邊BC上的任一點(diǎn)，PEL4B于E,PFLACF,8H是等腰三角形AC

邊上的高.猜想：PE、尸尸和84間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(1)AO是BC上的高，AD=AE.

①如圖1,如果N8AO=20°,則NEZ)C=

②如圖2,如果NA4O=50°,則NEZ)C=

(2)思考：通過以上兩小題，你發(fā)現(xiàn)/胡。與NEDC之間有什么關(guān)系？請(qǐng)用式子表

不：

(3)如圖3,如果A。不是BC上的高，AD=AE,是否仍有上述關(guān)系？如有，請(qǐng)你寫出來，并說明理

由.圖1圖3

四.軸對(duì)稱的性質(zhì)(共17小題)

知識(shí)鏈接:

(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論:

①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱;

②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這

兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸.

(2)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練:

32.如圖，所在直線是△ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E,尸是AD上的兩點(diǎn)，若BD=3,AD=5,則圖中陰影部

分的面積是()

A

C.6D.4.5

33.如圖，在6X6方格中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上，△ABC的對(duì)稱軸經(jīng)過格點(diǎn)（)

A.PiB.PiC.尸3D.P4

34.折紙起源于中國(guó)，不僅是一種手工技藝，更是承載歷史記憶與文化密碼的載體.如圖，四邊形ABC。

為一張長(zhǎng)方形紙片，點(diǎn)E、尸分別為AB、C。邊上一點(diǎn)，小南將這張紙片A8CD沿EF折疊，使點(diǎn)B、

C分別落在點(diǎn)M、N的位置,BC的對(duì)應(yīng)邊與CD交于點(diǎn)G,若則/尸GN的度數(shù)為（）

A.-aB.90°-4?C.-a-90°D.2a-90°

222

35.如圖是一張鈍角三角形紙片ABC,小明想通過折紙的方式折出如下線段：①AC邊上的中線2。②/

B的平分線8E；③AC邊上的高上述三條線段中能通過折紙折出的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

36.如圖，在△ABC中，ZBAC=90a,尸是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)。，E,尸分別是點(diǎn)P關(guān)于直線AC,AB,

2C的對(duì)稱點(diǎn)，給出下面三個(gè)結(jié)論：

?AE=AD；

②NDPE=90°；

@ZADC+ZBFC+ZBEA=270°.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

37.如圖，在△ABC中，ZB=67°,ZC=56°,。為8C上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），將。點(diǎn)分

另ij以AB,AC為對(duì)稱軸，畫出對(duì)稱點(diǎn)E,F,并連接AE,AF,則NE4F的度數(shù)為.

38.如圖，在△ABC中，NBCA=90°,NCBA=80°,作點(diǎn)2關(guān)于△ABC的角平分線C2i的對(duì)稱點(diǎn)Ai,

點(diǎn)4恰好落在AC上，則NALBIA=°;作點(diǎn)21關(guān)于△ALBIA的角平分線482的對(duì)稱點(diǎn)A2,

點(diǎn)A2也恰好落在AC上，……繼續(xù)作下去，點(diǎn)8”1恰好與A重合，則〃=.

39.折紙是中國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，已有近千年的歷史，是國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.小明在用一張長(zhǎng)方

形紙片ABC。分別沿著ER9折疊，恰好使得AE,BE落在EG處，此時(shí)RG,5在同一直線上，

則/FEH等于.

40.如圖，AD,BE在48的同側(cè)，4。=3,BE=3,AB=6,點(diǎn)C為48的中點(diǎn)，若/。C￡=120°,則

DE的最大值是

41.如圖，將三角形紙片ABC的折疊，使得點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕落在直線AB上，折痕為。E,再將/C

折疊，使得折疊后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C落在直線B'D上，折痕為DF,此時(shí)可得/即F=90°,若NA

=70°,則NC/鶴的度數(shù)為°.

42.如圖所示，點(diǎn)P為NAOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于。4、OB的對(duì)稱點(diǎn)Pi,Pi,連接P\Pi交OA于

M,交08于N,PIP2=15,則的周長(zhǎng)為.

4

43.如圖，ZABC=30°,在NABC內(nèi)有一點(diǎn)尸，BP=6,PP1垂直AB于點(diǎn)尸尸2垂直BC于點(diǎn)N,且

PM=MP\,PN=NP2,連接PI,Pi,則P1P2=.

44.如圖，在矩形ABC。中(AO>AB),對(duì)角線AC,8D相交于點(diǎn)。，點(diǎn)C關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)為C'.連

接CC'交BD于點(diǎn)、E,交4D于尸，連接AC'.

(1)請(qǐng)寫出AC'與OE的關(guān)系，并說明理由；

(2)若AC'=CD,BD=a,求矩形ABC。面積.(用含a的式子表示).

C'

F

AD

BC

45.如圖，在△ABC中，點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線MN對(duì)稱，直線MN分別與邊AC,8c相交于點(diǎn)。，E,連

接2D若△42。的周長(zhǎng)為18,△ABC的周長(zhǎng)為32,求CE的長(zhǎng).

46.如圖，將長(zhǎng)方形紙片A8CD沿和尸。折疊得到一個(gè)軸對(duì)稱的帽子，折痕角點(diǎn)A,

。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H,折疊后點(diǎn)2,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好都在點(diǎn)E.

(1)若折痕角NAMN=105°,求帽子頂角NNE0的度數(shù).

(2)設(shè)NGM￡)=x度，/NEQ=y度.

①請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y,則y=.

②當(dāng)時(shí)，帽子比較美觀，求此時(shí)y的值.

47.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明找到一張兩邊平行的紙條，他先在邊KL上取一點(diǎn)A,再在邊上任取一

點(diǎn)P,從點(diǎn)A處將紙條左側(cè)折疊，使AK折疊后的對(duì)應(yīng)線段AK經(jīng)過點(diǎn)P,此時(shí)的折痕記為(點(diǎn)8在

MN上)，如圖1所示；再?gòu)狞c(diǎn)A處將紙條右側(cè)折疊，使AL折疊后的對(duì)應(yīng)線段AZ?也經(jīng)過點(diǎn)P,此時(shí)的

折痕記為AC(點(diǎn)C在MN上)，如圖2所示.

KALKAL

圖1圖2圖3（1）在圖

1中，若NAPN=a,求/ABM的大小（用a表示）；

（2）小明發(fā)現(xiàn)，在圖2中，有8Af〃AK,CN'//AL',進(jìn)而推理：

:線段AK和線段都經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)P,

它們都在同一條直線A尸上.（①此處填推理的依據(jù)）

:BMV/AK,CN'/ZAL',

：.BM//CN.（②此處填推理的依據(jù)）

（3）小亮也用一張紙條做了與小明相同的操作，如圖3所示，他意外地發(fā)現(xiàn)：雖然紙條的兩邊KL和

不平行，但折疊后，在圖3中仍有請(qǐng)你幫小亮證明這個(gè)結(jié)論.

48.【知識(shí)初探】

（1）王芳同學(xué)在探究“過直線外一點(diǎn)畫已知直線的平行線”的活動(dòng)中，通過如下的折紙方式找到了符

合要求的直線.

①如圖1,在正方形紙上畫出一條直線BC,在外取一點(diǎn)P.過點(diǎn)尸折疊紙片，使得點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C

落在直線上（如圖2）,記折痕QE與BC的交點(diǎn)為A,將紙片展開鋪平；

②再過點(diǎn)尸將紙片進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在直線DP上（如圖3）,再將紙片展開鋪平（如

圖4）.此時(shí)王芳說，PP就是8C的平行線.

王芳同學(xué)只寫了部分證明過程就有事離開，請(qǐng)你幫她把證明過程補(bǔ)充完整；

證明：由折疊可知：ZPAB=ZPAC,

又4c=180°,

.?.ZB4C=90°.

【深入探究】

（2）李明同學(xué)在王芳同學(xué)折紙（圖4）中量得請(qǐng)你求出NA8M的大小（用含a的代數(shù)式

表示）；

【拓展延伸】

（3）王偉同學(xué)改變直線BC和點(diǎn)尸的位置，按照王芳同學(xué)的方法折疊得到FK〃BC后（點(diǎn)8,C,K,

F分別在線段MN,NQ,QR,RM上），再畫出/尸/加和/ABM的角平分線PH、BI,FH、8/所在的

直線交于點(diǎn)G,請(qǐng)求出/FGB的度數(shù).

四.軸對(duì)稱圖形（共6小題）

知識(shí)鏈接:

（1）軸對(duì)稱圖形的概念:

如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做

對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱.

（2）軸對(duì)稱圖形是針對(duì)一個(gè)圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對(duì)

稱軸折疊時(shí)，互相重合；軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條.

（3）常見的軸對(duì)稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

基礎(chǔ)+提升+核心毒養(yǎng)練：

49.下列圖形不是軸對(duì)稱圖形的是（）

50.圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)

稱圖形的是（)

51.如圖是由四個(gè)小正方形組成的田字格，在田字格沒有棋子的交點(diǎn)上再放一顆棋子，這顆棋子要與圖上

己有的棋子組成軸對(duì)稱圖形，一共有種不同的放法.

52.如圖，這是由8個(gè)邊長(zhǎng)相等的正六邊形組成的圖形，該圖形軸對(duì)稱圖形（填“是”或“不是”），

若在5個(gè)白色的正六邊形中，選擇2個(gè)涂黑，使涂黑的2個(gè)正六邊形和原來3個(gè)被涂黑的正六邊形恰好

組成軸對(duì)稱圖形，則選擇的方案最多有種.

53.如圖，ZXABC中，D,E,尸三點(diǎn)分別在AB,BC,AC上，且四邊形8￡也＞是以。E所在直線為對(duì)稱

軸的軸對(duì)稱圖形，四邊形CEDE是以FE所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.若NC=40°,則/。PE的

度數(shù)為.

54.如圖，是由三個(gè)陰影的小正方形組成的圖形，請(qǐng)你在三個(gè)網(wǎng)格圖中，各補(bǔ)畫出一個(gè)有陰影的小正方形,

使補(bǔ)畫后的圖形為軸對(duì)稱圖形.

五.作圖-軸對(duì)稱變換（共6小題）

幾何圖形都可看做是由點(diǎn)組成，我們?cè)诋嬕粋€(gè)圖形的軸對(duì)稱圖形時(shí)，也是先從確定一些特殊的對(duì)稱點(diǎn)開始

的，一般的方法是:

①由已知點(diǎn)出發(fā)向所給直線作垂線，并確定垂足;

②直線的另一側(cè)，以垂足為一端點(diǎn)，作一條線段使之等于已知點(diǎn)和垂足之間的線段的長(zhǎng)，得到線段的另一

端點(diǎn)，即為對(duì)稱點(diǎn);

③連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.

④作出的垂線為最短路徑.

55.下面是四位同學(xué)作△ABC關(guān)于直線的軸對(duì)稱圖形，其中正確的是（）

56.如圖，在小方格中畫與△ABC成軸對(duì)稱的三角形（不與△ABC重合），這樣的三角形能畫出（）

B

C

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

57.如圖，分別以△ABC的邊AB,AC所在直線為對(duì)稱軸作△ABC的對(duì)稱圖形△ABQ和△ACE,ABAC

=150°,線段8。與CE相交于點(diǎn)O,連接BE、ED、DC、OA.有如下結(jié)論：①/E4D=90°；②/

1

BOE=6Q°；③04平分NBOC；@EA=^ED；⑤BP=EQ.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

58.如圖，將△ABC沿著過中點(diǎn)。的直線折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的4處，稱為第1次操作，折

痕。E到8C的距離記為歷，還原紙片后，再將△ADE沿著過中點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)A落在。E

邊上的4處，稱為第2次操作，折痕。1E1到8C的距離記為例，按上述方法不斷操作下去…經(jīng)過第

2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距離記為/12018,若歷=1,則/72018的值為（）

59.如圖，/4。8=40°,點(diǎn)P為/AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作P點(diǎn)關(guān)于直線。4,。8的對(duì)稱點(diǎn)C,D,連接

OP,OC,OD,CD,PC,PD.

則（1）/CPD的度數(shù)是；

（2）/OC￡）的度數(shù)是

cA

D

60.如圖，在2X2的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的△ABC,在圖中可畫出個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的

三角形與△ABC成軸對(duì)稱.

參考答案與試題解析

選擇題（共21小題）

題號(hào)123412131419202132

答案CDDBCDCDCBB

題號(hào)33343536495055565758

答案CDDADDBCBA

角平分線的性質(zhì)（共11小題）

1.如圖，點(diǎn)。為/BAC與/AC。的平分線的交點(diǎn)，OE_LAC于E,若OE=3,則AB與。兩

平行線之間的距離是（）

A.3B.4C.6D.8

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；平行線之間的距離.

【分析】過點(diǎn)。作OFLAB于F,F0的延長(zhǎng)線交CD于G,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OGLCZ）,根據(jù)角

平分線的性質(zhì)分別求出OF、OG,得到答案.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)0作于F,FO的延長(zhǎng)線交CD于G,

'：AB//CF,

：.OGLCD,

平分/BAC,OE±AC,OF±AB,

：.OF=OE=3,

同理可得：OG=OE=3,

：.FG=OF+OG=3+3=6,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟記角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，△ABC中，ZABC,/EAC的角平分線8P、A尸交于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)BA、BC,PMLBE,PN1BF,

則下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)（）

①CP平分NACP；?ZABC+2ZAPC^180°；@ZACB^2ZAPB；?S^PAC^S^MAP+S^NCP.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】過點(diǎn)P作PDLAC于。，根據(jù)角平分線的判定定理和性質(zhì)定理判斷①；證明RtAE4M^RtA

PAD,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NAPM=/AP。，判斷②；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)判斷③；根據(jù)全等

三角形的性質(zhì)判斷④.

【解答】解：①過點(diǎn)P作尸OLAC于。，

:P3平分NABC,科平分NEAC,PM±BE,PN±BF,PDLAC,

:.PM=PN,PM=PD,

:.PN=PD,

:PNtBF,PD±AC,

點(diǎn)尸在NAC尸的角平分線上，故①正確;

②PNLBC,

：.ZABC+90a+ZMPN+900=360°,

：.ZABC+ZMPN=18Q°,

在RtAB4M和Rt△必。中，

(PM=PD

iPA=PA'

.?.RtAE4M^RtAB4￡)(HL),

ZAPM=ZAPD,

同理：RtdPCD沿RtAPCN(HL),

：.ZCPD=ZCPN,

：./MPN=2/APC,

：.ZABC+2ZAPC=180°,②正確；

③平分NCAE,8尸平分/ABC,

1

/.ZCAE=ZABC+ZACB=2ZPAM,ZPAM=^ZABC+ZAPB,

：.ZACB^2ZAPB,③正確；

④由②可知RtZ\B4M絲RtZVR4。(HL),RtdPCD烏RtdPCN(HL)

.".S^APD=S/xAPM,S^CPD=SACPN,

SAAPM+S^CPN—SAAPC,故④正確，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊

的距離相等是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在△ABC中，ZB=45°,AD是△ABC的角平分線，DELAC,垂足為點(diǎn)E.若DE=2,則8。

的長(zhǎng)為（）

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】過點(diǎn)D作DF1AB,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DF=DE=2,再由等角對(duì)等邊得出DF=BF=2,

由勾股定理即可求解.

【解答】解：過點(diǎn)。作。尸，AB,如圖所示:

是△ABC的角平分線，DE±AC,DE=2,

：.DF=DE=2,

VZB=45°,

:./BDF=NB=45°,

:.DF=BF=2,

：.BD=>JBF2+DF2=2VL

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】題目主要考查角平分線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運(yùn)用這些

知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

4.如圖，點(diǎn)尸在的平分線上，PC_LOA于點(diǎn)C,ZAOB=30°，點(diǎn)。在邊上，且。。=。尸=4,

則CP的長(zhǎng)度為（）

4

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】過點(diǎn)尸作02于E,證明尸得到/POE=NAOB=30°,根據(jù)含30°角的直角三

角形的性質(zhì)求出PE,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出CP.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)尸作于E,

：?！甘?493的平分線，

ZAOP^ZBOP,

?：OD=DP,

：./OPD=NBOP,

：.ZAOP=ZOPD,

J.PD//OA,

：.ZPDE^ZAOB^30°,

1

：.PE=^PD=2,

尸是/A08的平分線，尸C_LOA,PELOB,

：.CP=PE=2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，OC平分NA08,點(diǎn)尸在0c上，PDLOB,PD=2,則點(diǎn)尸到射線OA的距離是，.

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可.

【解答】解：如圖，作PMLOA,垂足為M,

：0C平分NAO8,點(diǎn)尸在0c上，PD±OB,PMLOA,

；.PD=PM,

'：PD=2,

:.PM=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵.

6.如圖，在△ABC中，ZC=90°，NBAC的平分線交8C于點(diǎn)。，Z)E_LAB于點(diǎn)E.若CD=3,45=8,

則△AB。的面積為12

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=CD=3,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：VZC=90°,N8AC的平分線交于點(diǎn)。，于點(diǎn)E,CD=3,AB=8,

：.DE=CD=3,

11

.?.△A8D的面積=/4BxDE=/8x3=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，△ABC中，ZC=90°,AB=]Ocm,BC=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2c機(jī)的速度按C-

3

A的路徑運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.當(dāng)/=-時(shí)，8尸恰好平分NA8C.

—2-

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；一元一次方程的應(yīng)用；角的計(jì)算.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，建立關(guān)于CP長(zhǎng)度的方程，據(jù)此求出CP的長(zhǎng)度即可解決問題.

【解答】解：過點(diǎn)尸作的垂線，垂足為M,連接8P,

CB

TBP平分NA8C,ZC=90°,PMLAB,

:.PC=PM.

在RtZXABC中，

AC=V102—62=8(cm),

i0、

；?S“BC=[X6x8=24(cnr),

11

A-x6-PC+-x10-PM=24,

22

解得PC=3(cm),

/.t=(S).

3

故答案為：

2

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用及角的計(jì)算，能根據(jù)題意建立關(guān)于。尸

長(zhǎng)度的方程是解題的關(guān)鍵.

8.如圖①,將直角三角板DOE的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，以點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC,使N5OC=70°.

(1)如圖①，若直角三角板。。石的一邊0。在直線上，則NCOE=20°；

(2)如圖②，將直角三角板。OE繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分NBOE,求

ZBOD,NCO。的度數(shù).

【分析】(1)利用互余計(jì)算出NCOS的度數(shù)；

(2)先根據(jù)角平分線的定義得到NCOE=N3OC=70°,再利用互余計(jì)算出/。。。=20°,然后計(jì)算

ZBOC-ZCOD即可.

【解答】解：(1)?.?N8OC=70°,N0OE=9O°,

：.ZCOE=ZDOE-ZBOC=20°；

故答案為：20；

(2)恰好平分NBOE,

：.ZCOE=ZBOC=70°,

：.ZCOD=90a-ZCOE=20°,

:*/BOD=NBOC-NCOD=10°-20°=50°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線把角分成相同的兩部分.也考查了互余.

9.如圖，已知8。為/ABC的平分線，AB=BC,點(diǎn)P在8。上，PM_LAD于M,PNLCD于N,求證:

PM=PN.

Bc

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得然后利用“邊角邊”證明△A3。和全等，

根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等證明

即可.

【解答】證明：為NA3C的平分線，

NABD=NCBD,

在△ABO和△C8。中，

AB=BC

/.ABD=/-CBD?

BD=BD

.'.△ABD段ACBD(SAS),

ZADB=ZCDB,

:點(diǎn)尸在8。上，PM1AD,PNLCD,

：.PM=PN.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出

全等三角形并得到是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，△ABC中，點(diǎn)。在8C邊上，ZBAD=AQ0°,NABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)￡作EE_L

AB,垂足為尸，且/AEr=50°,連接。E.

(1)求證：AE平分

(2)求證：OE平分NAOC.

(3)若AB=1,AD=4,CD=8,SMCD=15,求△ABE的面積.

A

【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì).

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)求出/EAF=40°,由平角定義即可求出ND4E的度數(shù)，再根據(jù)角平

分線定義即可得證；

(2)過￡作EM±AD于M,EN±BC于N,由角平分線的性質(zhì)推出EF=EN,FE=EM,得到EM=EN,

于是推出OE平分NADC；

(3)由△AC。的面積=ZkADE的面積+△(；￡)￡的面積，得到A￡)?EM+CZ>EN=18,即可求出EM=3,

得到EF=3,由三角形面積公式即可求出AABE的面積.

【解答】(1)證明：：所，42,

AZAFE^90°,

VZA￡F=50°,

ZEAF=90°-ZAEF=90°-50°=40°,

,：ZBAD=100°,

：.ZDAE^180°-100°-40°=40°=/￡AR

平分/朋。；

(2)證明：過E作現(xiàn)于M,EN1BC于N,

平分乙4BC,EFLAB,

:.EF=EN,

:AE平分NZMREFLAB,

：.FE=EM,

：.EM=EN,

,：EM1AD,EN±CD,

.?.OE平分/AOC；

(3)解：?..△AC。的面積=Z\AOE的面積+△a)￡的面積,

11

-AD-EM+4C￡)?EN=15，

22

1

(AD+CD>EM=15,

2

1

A-X(4+8)XEM=15,

2

：.EM=^,

.1.EF=|,

/.AABE的面積=^AB-EF=1x7x|=苧.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.

11.如圖，已知AB//CD,ZABD的平分線交CD于F,ZBDC的平分線交BF于點(diǎn)E.CZABD為小于

120°的鈍角)

(1)求證：DELBF；

(2)若BE長(zhǎng)為2,求：的長(zhǎng)；

(3)若點(diǎn)P為線段上一點(diǎn)，/EDP=a,/A8F的角平分線與NC。尸的角平分線交于點(diǎn)G,試用

【分析】(1)根據(jù)AB〃C。，BF平分/ABD得/ABF=/DFB=/DBF,則△。出；'是等腰三角形，再

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得8E=EF=2,由此可得8尸的長(zhǎng)；

(2)依題意有以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)尸在線段3E上時(shí)，過點(diǎn)G作G8〃A2(點(diǎn)//在點(diǎn)G的左側(cè))，

設(shè)即G=0,先分別求出Na)G=NPr>G=a+B，/ABG=45°-1a-0,再根據(jù)AB〃G8〃C。得/BGH

=NABG=45°-1a-p,ZDGH=ZCDG=a+^,由此可得N8G￡>的大小；①當(dāng)點(diǎn)尸在線段EF上時(shí)，

過點(diǎn)G作GH〃A8(點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè))，設(shè)NCOG=NP￡)G=e,則/CZ)P=2e,再求出NA8G=45°

11

-0-ja,再根據(jù)4B〃GH〃C。得NBGH=NABG=45°-0-^a,ZDGH=ZCDG=Q,由此可得/

BGD的大小，綜上所述即可得出答案.

【解答】(1)證明：

ZABF=ZDFB,

平分/A8。，

/ABF=ZDBF,

:.NDFB=NDBF,

,:DF平%/BDC

：.ZFDE=ZBDE,

:.DF=DB,

即△OB尸是等腰三角形，

又平分NBOC,

：.DE±BF；

(2)若8E長(zhǎng)為2時(shí)，

尸是等腰三角形，DE平分NBDC,

:.BE=EF=2,

：.BF=BE+EF=4；

(3)依題意有以下兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)尸在線段8E上時(shí)，過點(diǎn)G作GH〃A8(點(diǎn)H在點(diǎn)G的左側(cè))，如圖1所示:

設(shè)N￡OG=B，

,：ZEDP=a,

：.ZPDG=ZEDP+EDG=a+^,

平分/COP,

ZCDG=/PDG=a+0,

，ZCDE=ZCDG+EDG=a+0+0=a+20,

由(1)知：DELBF,

在RtZ\FQE中，ZBFD=9Q°-NCDE=9Q°-a-20,

\9AB//CD,

：.ZABF=ZBFD=90°-a-2p,

9：BG^^ZABF,

1I

ZABG=iZABF=45°一扣-0,

?:GH〃AB,

：.AB//GH//CD,

：.ZBGH=ZABG=45°-1a-p,ZDGH=ZCDG=a+^,

1i

ZBGD=ZBGH+Z