題型四圓的相關(guān)證明與計(jì)算

類(lèi)型一圓基本性質(zhì)的證明與計(jì)算

1.(2024浙江)如圖在圓內(nèi)接四邊形ABCD中.AD<AC,^ADC<NBA。延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使4E=4C,,延長(zhǎng)

BA至點(diǎn)F,連接EF,使^AFE=ZXDC.

(1)若^AFE=60。,CD為直徑,求N4BD的度數(shù).

(2)求證:(①EF||BC;

第1題圖

2.(2024煙臺(tái))如圖,AB是。O的直徑，△ABC內(nèi)接于。O，點(diǎn)I為△48C的內(nèi)心,連接CI并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)

D.E是船上任意一點(diǎn).連接AD.BD,BE,CE.

(1)若^ABC=25。,求NCEB的度數(shù)；

⑵找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；

(3)若CI=2V2,D/=芳VX求△MC的周長(zhǎng).

D

第2題圖

類(lèi)型二與切線有關(guān)的證明與計(jì)算

3.(2024遂寧)如圖,AB是。O的直徑,AC是一條弦，點(diǎn)D是左的中點(diǎn)，DN回4B于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F,連接DB

交AC于點(diǎn)G.

⑴求證：AF=DF;

⑵延長(zhǎng)GD至點(diǎn)M,使。M=DG,連接AM.

①求證:AM是。O的切線；

②若DG=6,DF=5,求。O的半徑.

M

第3題圖

4.新考法新設(shè)問(wèn)(2024云南定心卷)如圖，△48C內(nèi)接于。O,且AB為。。的直徑,。。外的點(diǎn)D在射線A

C上，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,且BD平分工ADE.

(1)求證：BC=BE;

(2)若AD=1-3,DE=5,求AC的長(zhǎng)；

(3)過(guò)點(diǎn)B作。O的切線BF,交AD于點(diǎn)F,是否存在常數(shù)k，使嗟=k?甯成立?若存在，求常數(shù)k的值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

第4題圖

5.|一題多設(shè)問(wèn)(2024云南)如圖,AB是。O的直徑點(diǎn)D,F是OO上異于A,B的點(diǎn)點(diǎn)C在。。外,(C4=CD,延

長(zhǎng)BF與CA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上，UMN=AABM,AM-BM=AB-MN.點(diǎn)H在直徑AB上,

UHD=90。,點(diǎn)E是線段DH的中點(diǎn).

⑴求"FB的度數(shù)；

⑵求證:直線CM與。O相切；

(3)看一看，想一想,證一證：

以下與線段CE、線段EB、線段CB有關(guān)的三個(gè)結(jié)論：(CE+EB<CB,CE+EB=CB,CE+EB>C8,你認(rèn)為

哪個(gè)正確?請(qǐng)說(shuō)明理由.

第5尊圖

⑷設(shè)BC交0O于點(diǎn)G,AG,HD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,關(guān)于線段DK,線段DE有關(guān)的兩個(gè)結(jié)論：DK=2DE,DK=|

DE,你認(rèn)為哪個(gè)正確?請(qǐng)說(shuō)明理由.

6.(2024福建)如圖，在△力BC中，4BAC=90°,AB=AC,,以AB為直徑的。O交BC于點(diǎn)D,4EE10C,垂足

為E,BE的延長(zhǎng)線交通于點(diǎn)F.

⑴求寫(xiě)的值；

(2)求證：AAEBABEC-,

(3)求證:AD與EF互相平分.

7.（2024河北）已知。O的半徑為3,弦MN=2V5.A4BC中,4ABC=90°,AB=3,BC=3店在平面上,先

將△4BC和0O按圖①位置擺放（點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，點(diǎn)A在。O上，點(diǎn)C在。O內(nèi)），隨后移動(dòng)△4BC,使點(diǎn)B在

弦MN上移動(dòng)，點(diǎn)A始終在。O上隨之移動(dòng).設(shè)BN=%.

（1）當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時(shí)，求劣弧瓶的長(zhǎng)；

⑵當(dāng)。川時(shí)，如圖②，求點(diǎn)B到OA的距離,并求此時(shí)x的值；

⑶設(shè)點(diǎn)O到BC的距離為d.

①當(dāng)點(diǎn)A在劣弧MN±,且過(guò)點(diǎn)A的切線與AC垂直時(shí),，求d的值;

②直接寫(xiě)出d的最小值.

圖①圖②備用圖

第7題圖

8.(2024湖南省卷)【問(wèn)題背景】已知點(diǎn)A是半徑為r的。O上的定點(diǎn)，連接OA,將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)?(00<a<90°)得至!]OE,連接AE,過(guò)點(diǎn)A作。O的切線1,在直線1上取點(diǎn)C,使得NC71E為銳甬

【初步感知】

⑴如圖①，當(dāng)a=60。時(shí)，ACAE=_°;

【問(wèn)題探究】

⑵以線段AC為對(duì)角線作矩形ABCD，使得邊AD過(guò)點(diǎn)E,連接CE,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)F.

①如圖②，當(dāng)AC=2r時(shí)，求證：無(wú)論a在給定的范圍內(nèi)如何變化，BC=CD+ED總成立；

②如圖③，當(dāng)4C="喘=|時(shí),請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并求tana及:的值.

3OE3BC

題型四圓的相關(guān)證明與計(jì)算

1.⑴解:???CD是直徑,

JZCBD=90°,

???NADC=NAFE=60。,四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

???ZABC=180°-ZADC=120°,

JZABD=ZABC-ZCBD=30°;

⑵證明：①:四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，

.*.ZADC+ZABC=180°,

ZAFE=ZADC,

.*.ZAFE+ZFBC=180°,

???EF〃BC;

②如解圖，將^AFE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)使得點(diǎn)E和點(diǎn)C重合，得到△ACG,

貝!]ZAGC=ZAFE=ZADC,ZEAF=ZCAG,CG=EF,

VZADC+ZABC=180°,

.,.ZAGC+ZABC=180°,

即點(diǎn)G在該圓上.

由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知，

ZDAB+ZBCD=180°,

VZEAF+ZBAD=180°,

???NEAF=/BCD,

ZEAF=ZCAG=ZBCD,

...BD=CG,

ABD=CG,

即EF=BD.

第1題解圖

2.解:(1)???AB是。O的直徑，

???NACB=90。，

???ZABC=25°,

???ZBAC=65°,

??,四邊形ABEC為。O的內(nèi)接四邊形，

.*.ZBAC+ZCEB=180°,

???乙CEB=180°-65°=115°;

(2)

解題思路

根據(jù)I為八ABC的內(nèi)心，連接ALBI,可得到NDCA=NDCB,/BAI=NCAL根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到NDA

B=NDCB,可推出NDIA二NDAI,同理NDIB=NDBI,即可得證DA二DI=DB.

DI=DA=DB,

證明:如解圖，連接ALBI,

???點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，

ACD平分NACB,AI平分NBAC,

ZDCA=ZDCB,ZBAI=ZCAI,

VZDAB-ZDCB,

:.ZDCA=ZDAB,

???NDIA為工AIC的外角，

:.ZDIA=ZCAI+ZDCA,

NDAI=NDAB+NBAI,

ZDIA=ZDAI,

ADI=DA.

同理可得,NDIB=NDBI,

ADI=DA=DB;

(3)

解題思路

I為△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等，將AC,BC部分長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到AB邊上

去，求出剩余長(zhǎng)度與CI的關(guān)系，即可求出4ABC的周長(zhǎng).

解：如解圖，過(guò)點(diǎn)I分別作AC,AB,BC的垂線，垂足分別為F,G,H,

由(2)得，D1=DA=DB=吟

.?.在RtAABD中,AB=-2+B"=13)

:點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，

.*.AI平分/FAG,

ZFAI=ZGAI,

ZAFI=ZAGI=90°,

/.AAFI^AAGI(AAS),

；.AF=AG,

同理,BG=BH,

ZACB=90°,CI平分NACB且IF±FC,

???△FIC為等腰直角三角形，

CF=—CI=2,

2

同理，CH^^CI=2,

.二△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=2AB+2CF=26+4=30.

3.(1)

解題思路

要證明線段相等，需證明等腰三角形兩個(gè)底角相等.

證明：如解圖，連接AD,

第3題解圖

是^山:的中點(diǎn)，

AD=CD,

：.NABD=NCAD,

,.,DN±AB,AB為。O的直徑,

???ANAD,

???NADN=NABD,

???ZADN=ZCAD,

AAF=DF;

(2)①

解題思路

由AB為直徑，推出NADB=90。,再結(jié)合DM=DG,得到AD是MG的垂直平分線,由等角代換求出ZBAM的值即

可證明切線.

證明：如解圖，VAB為。O的直徑，

ZADB=90°=ZADM,

JZB+ZBAD=90°,

VDM=DG,

???AD是MG的垂直平分線，

JZMAD=ZGAD,

VZGAD=ZB,

.\ZMAD=ZB,

ZMAD+ZBAD=ZB+ZBAD=90°,

ZBAM=90°,

VAB為。O的直徑，

JAM是。O的切線；

②

解題思路

由DN_LAB,推出DE〃AM,得至以GDFs/^GMA,求出AM值，利用勾股定理求出AD值,再由tanM=—

MD

=工,即可求出直徑AB,進(jìn)而得到半徑長(zhǎng).

解:,.,DG=6,

???DM=DG=6,MG=12,

VDN±AB,ZMAB=90°,

ADE/7AM,

AAGDF^AGMA,

,DG_DF_6_1

,?MG-MA—12-2，

VDF=5,

AAM=10,

???AD=VXM2-MD2=8,

解得力

???。0的半徑為y.

4.⑴證時(shí)VAB是。O的直徑，

JZACB=90°,

???ZBCD=90°.

VDEXAB,

???ZAED=90°,

?「BD平分NADE,

ABC=BE;

(2)解:在RtABCD和RtABED中,

rBC=BE

[BD=BD'

ARtABCD^RtABED(HL),

???CD=ED=5,

AAC=AD-CD=13-5=8;

一題多解

在RtAAED中,NAED=9(r,AD=13,DE=5,

??.AE=Vi4D2-DE2="32-52=12.

設(shè)BC=BE=xJU!JAB=12-x,

???ZAED=90°,

..DE5

???smA=—=—.

AD13

又：NACB=90。，

..BCx

???smA=—=-----.

AB12-x

x_5

??12-x-13'

10

???X=—.

???AC=VaB2-BC2=J管)2_(￡)2=8；

(3)

解題思路

第一步:證明△ACBs^AED得至U*=笫

ACAE

解：存在常數(shù)k=l,使竿=上?曙成立.

ACAD

理由如下：

NA=NA,NACB=NAED,

.'.△ACB^AAED,

tAB_AD

''AC-AE'

第二步:由BF為OO的切線得到/ABF=90。,推出/A=/CBR得到△AEDs^BCR得至I」答=常

ADBF

???BF為。。的切線，

???ZABF=90°,

???ZABC+ZCBF=90°.

??ZABC+ZA=90°,

???NCBF=NA.

VZE=ZBCF,

AAAED^ABCF,

DEFC

ADBF,

第三步：將泮=k?鬻進(jìn)行化簡(jiǎn)，將第一，二步得到的比例式子進(jìn)行等量代換即可求出k值.

ACAB

CFAE,FBDE

假設(shè)<--------,

ACAB

CFAEABCFAEABDEAEAD

則々=------=--=--14.

ACBFDEBFDEACADDEAE

???存在常數(shù)k=l,使曖=h甯成立?

一題多解

存在常數(shù)k=l,使嗟=h甯成立.

理由如下：

〈BF切。0于點(diǎn)B,

ABFXAB,

???ZABC+ZCBF=90°.

ZACB=90°,

???ZA+ZABC=90°,

二?NA=NCBF,

???ZACB=ZBCF=90°,

pf

???tan/=—,tanzCBF=—,

ACBC

???tanX?tanzCBF=tanX-tanA=—?—=—

ACBCAC

*：ZAED=90°,ZABF=90°,

,ADE_ABF

???tanA=—,tanA=——.

AEAB

A」.DEBF

???tanA?tan/=---------,

AEAB

J._C_F^3_D_E._B_F

??AC~AEAB"

.CFAE_FBDE

??AC~AB'

要使嗟=卜?甯成立，

只需令k=l,

..?存在常數(shù)k=l,使若=k?若成立.

5.(1)解:：AB是。O的直徑，點(diǎn)F是。O上異于A,B的點(diǎn)，

.-.4AFB=90°;

⑵證明：：AMBM=ABMN,

tAM_AB

??MN-BM"

???乙AMN=/LABM,

AAAMN^AABM,

JZNAM=ZMAB.

ZNAM+ZMAB=180°,

JZNAM=ZMAB=90°,

AOA1CM.

??,OA為。。的半徑，

，直線CM與。O相切；

⑶證明:我認(rèn)為CE+EB=CB正確，

理由如下:如解圖①，連接OC,OD,AD,BD,設(shè)OC交AD于點(diǎn)G,

第5題解圖①

VOA=OD,

???點(diǎn)O在線段AD的中垂線上，

VCA=CD,

???點(diǎn)C在線段AD的中垂線上，

AOCXAD,

JZOGA=90°,

VAB是。O的直徑，

JNADB=90。，

AZOGA=ZADB,

???OG〃BD,

???ZAOC=ZABD.

ZAHD=90°,

JNDHB=90。，

???tan^HBD="tan乙HBE=

BHBH

YE為DH的中點(diǎn)，

EH=^DH,

FH1

???tan^HBE=—=

BH2

—,tan^ABC=—AO=-AB,

???tanzXOC=AOAB2

tanZ.ABC=-tanZ-AOC,

2

VZAOC=ZABD,

tanZHBE=tanZABC,

.\ZHBE=ZABC,

AB,E,C三點(diǎn)共線,

.\CE+EB=CB.

一題多解

⑶證明：我認(rèn)為(CE+EB=正確，

理由如下：

如解圖②，連接OC,OD,過(guò)點(diǎn)B作。O的切線，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,設(shè)BC與DH交于點(diǎn)G,

OA=0D

在小OAC和4ODC中｛0C=0C?

CA=CD

.,.△OAC^AODC(SSS),

ZOAC=ZODC.

由(2)知OA±CM,

ZOAC=ZODC=90°,

/.ODXCD.

；OD為。。的半徑，

；?CK為。O的切線.

：BK為。。的切線，

/.DK=BK,BK±AB.

VDH±AB,CA±AB,

；.AC〃DH〃BK,

BHGBACACDG△CKB,—=

?-?AAABCK'

GH_BHGD_CD

''AC~ABfBK-CK'

.GH_DKGD_BK_DKGH_GD

,?AC—CK'CD-CK-CK'AC—CD，

VCA=CD,

.*.GH=GD,

???點(diǎn)G是線段DH的中點(diǎn)，

?，點(diǎn)E是線段DH的中點(diǎn)，

???點(diǎn)G與點(diǎn)E重合.

線段BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,

ACE+EB=CB.

一題多解

⑶證明:我認(rèn)為CE+EB=CB正確,理由如下:如解圖③，連接OC,OD,

0A=0D

在^OAC和^ODC中｛。。=0C〃

CA=CD

:?△OAC會(huì)△ODC(SSS),

JZCDO=ZCAO=90°,

連接BD并延長(zhǎng)與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,設(shè)BC與DH交于點(diǎn)G,

ZCDO=ZCAO=90°,ZBAC=90°,

???ZP+ZOBD=90°,ZCDP+ZODB=90°,

VOD=OB,

AZODB=ZOBD,

???ZP=ZCDP,

ACP=CD,

TCA=CD,

???AP=2AC,

ZCAO=ZBHD=90°,

???AP〃HD,

AABHG^ABAC,ABHD^ABAP,

HB_HGHB_HD

"BA-AC'BA-APl

tHG_HD

??AC-AP"

VAP=2AC,

；.HD=2HG,即G為HD中點(diǎn)，

又「E是DH的中點(diǎn)，

???點(diǎn)G與點(diǎn)E重合，

/.CE+EB=CB.

解題技巧

本題求證CE+BE與CB的數(shù)量關(guān)系,只需證明CE與BE共線即可，可用方法一：證明/HBE=/ABC或方法二、

三：利用三角形相似.

(4)解我認(rèn)為DK=2DE正確.理由如下:

如解圖④，延長(zhǎng)DE交。0于點(diǎn)Q,

第5題解圖④

根據(jù)相交弦定理知：

DEEQ=GEEB,

又：AB為直徑,AB_1DQ,

；.HQ=HD,

：DE=HE,

/.QE=3DE.

又：ZKGE=180°-ZAGB=90°=ZEHB,ZGEK=ZHEB,

/.△EHB^AEGK,

.,.EHEK=EGEB,

/.EK=EQ=3DE.

；.DK=2DE.

6.(1)

解題思路

由/BAC=90。,且AE_LOC,利用tan乙4OC=—=空即可求解.

AOOE

解:TAB=AC,且AB是。O的直徑，

???AC=2AO.

ZBAC=90°,

：.在RtAAOC中，tan〃OC=^=2.

VAEXOC,

,_.AF

...在中，

1RtAAOE15tanzXOC=O—E.

?AE—)?OE——1,

''OE~，??4E?2，

(2)

解題思路

第一步：利用倍長(zhǎng)中線0E，構(gòu)造與4AEO全等的三角形，求出/OEB的度數(shù)；

證明：如解圖①，過(guò)點(diǎn)B作BM〃AE,交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

/.ZBAE=ZABM,ZAEO=ZBMO=90°.

VAO=BO,

/.△AOE^ABOM(AAS),

,>.AE=BM,OE=OM.

tOE_l

'AE~?!

ABM=2OE=EM,

ZMEB=ZMBE=45°,

第二步:由AE_LOC,推出NAEB=BEC;

JZAEB=ZAEO+ZMEB=135°,

乙BEC=180°-乙MEB=135°

JZAEB=ZBEC.

第三步:由AB=AC,且NBAC=90。,推出NCBA的度數(shù)，再由第一步證明的三角形全等，通過(guò)等角計(jì)算，推出N

BAE=ZCBE即可得證.

VAB=AC,ZBAC=90°,

JNABC=45。，

???NABM=NCBE,

JZBAE=ZCBE,

AAAEB^ABEC;

⑶

解題思路

第一步:由AB=AC,NBAC=90。且NADB=90。,推出2BD=BC,由⑵知△AEBs^BEC,推出△AOEs/\BDE,進(jìn)而

推出AF〃DE;

證明：如解圖②，在解圖①的基礎(chǔ)上，連接DE,DF.

VAB是。0的直徑，

ZADB=ZAFB=90°,AB=2AO.

VAB=AC,ZBAC=90°,

；.BC=2BD,/DAB=45。.

由(2)知,AAEB^ABEC,

AEAB2A0AO「“八廠”

???——=—=——=—,Z-EAO=Z-EBD,

BEBC2BDBD

AAAOE^ABDE,

ZBED=ZAEO=90°.

JZDEF=90°.

ZAFB=ZDEF,

???AF〃DE.

第二步:由⑵知NAEB度數(shù)推出/AEF=/DFB,進(jìn)而推出AE〃FD;

由⑵知,NAEB=135。,

^.AEF=180°-4AEB=45°

,/ZDFB=ZDAB=45°,

ZDFB=ZAEF,

；.AE〃FD,

第三步：由兩組對(duì)邊分別平行推出四邊形AEDF是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明.

..?四邊形AEDF是平行四邊形，

；.AD與EF互相平分.

7.解:⑴如解圖①.連接OA,ON,

VAN=OA=ON=3,

.?.△AON是等邊三角形，

ZAON=60°,

；?劣弧AN的長(zhǎng)為絲等=兀;

loU

第7題解圖①

⑵

解題思路

第一步：將點(diǎn)B到AO的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)O到MN的距離是解題的關(guān)鍵，然后利用垂徑定理即可求解點(diǎn)B到A

0的距離；

如解圖②，過(guò)點(diǎn)o作ODLMN于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作BEXAO于點(diǎn)E,連接ON,

貝！JDN=3MN=V5,

VON=3,

OD=yj0N2-DN2=J32—(與之=2,

BE=OD=2,

???點(diǎn)B到OA的距離為2.

第7題解圖②

第二步：利用勾股定理求出AE,然后求解x即可.

AE=7AB2—BE2=V32—22=V5,

BD=E。=4。-4E=3-逐，

x=BN=BD+DN=3-V5+V5=3;

(3)

解題思路

由勾股定理求出AC,再根據(jù)半徑求出CO,利用相似三角形即可求出0到BC的距離d.

①過(guò)點(diǎn)A的切線與AC垂直時(shí)，AC過(guò)圓心0,如解圖③，過(guò)點(diǎn)0作OFXBC于點(diǎn)F,

AC=7AB2+BC2=J32+(3/『=3V3,

ZABC=ZOFC=90°,ZACB=ZOCF,

AABC^AOFC,

崇=徐甯，解得d=3-丹

第7題解圖③

【解法提示】如解圖④，過(guò)點(diǎn)0作OUBC于點(diǎn)J,連接0B,在RtAOBJ中，?：0]=回濟(jì)二彳,??當(dāng)0B最

小時(shí)，即OBJ_MN時(shí),d最小，過(guò)點(diǎn)A作AQ±BO于點(diǎn)Q,連接OA,：AB=AO=3,AQ，OB,；.BQ=|OB=1,VAABQ△

BOJ,微焉《°〕=|-d的最小值為|

MBN

第7題解圖④

8.⑴解:30;

【解法提示】??ZAOE=a=60°,OA=OE,.\△OEA是等邊三角形,；./OAE=60。,：直線1是。O的切線,

ZOAC=90°,.\ZCAE=90°-60°=30°.

(2)

解題思路

由AC=2r,推導(dǎo)得出4OAE04FCD才隹出AE=CD即可證明.

①證明:：OA=OE,

ZOAE=ZOEA,

ZAOE=a,

ZOAE+ZOEA+a=180°,

???Z-OAE=-1-8-0-°---C-C=9r0xr\a--a1.

22

ZOAC=90°,

Z.DAC=|cr;

???四邊形ABCD是矩形，

1

??.FA=DF,CF=DF=^AC=r,BC=AD,

Z.FAD=Z-FDA=；a,

ii

???Z-CFD=-a+-a=a.

22

VOA=OE=r,

.,.OA=FC,OE=FD,

XVZAOE=ZCFD,

/.△OAE^AFCD,

???AE二CD.

,.?BC=AD,AD=AE+DE,

BC=CD+DE;

②解：