2025年內(nèi)蒙古高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={(x,y)|y=logzl%-1|}，B={(x,y)|x2+y2-4],則ACB的非空真子集個(gè)數(shù)為()

A.13個(gè)B.14個(gè)C.15個(gè)D.16個(gè)

2.下列命題為真命題的是()

A.若a>b>0,貝!Jac2>be2B,若a>b>0,則a?>b2

C.若a<b<0貝UM<cab<b2D.若a<b<0,貝卜<-

fab

3.已知可導(dǎo)函數(shù)/(%)(%eR)滿足f'(%)>/(%),則當(dāng)。>0時(shí)，/(a)和〃/(0)的大小關(guān)系為()

A.f(a)>ea/(0)B.f(a)<eaf(0)C./(a)=ea/(0)D./(a)<ea/(0)

4.已知函數(shù)y=f(3K+2)的定義域?yàn)閇一*1],則函數(shù)y=偌的定義域?yàn)?)

A.(1,5]B.[1,5]C.[-|,1]D.(2,5]

5.設(shè)△ABC的內(nèi)角4B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=2,c=1,A=2B,貝！Ja=()

A.<6B.2C.yjlD.72

6.已知圓M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線I：2x+y+2=0,P為/上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的切線

PA,PB,切點(diǎn)為4,B,則的最小值為()

A.4B.2C.3D.5

7.雙曲線Q：真-?=1(￡1>0/>0)的一條漸近線為直線/：y=^3x,若Ci的一個(gè)焦點(diǎn)到直線l的距離為

^3,且Q與拋物線。2：*=2px(p>0)的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)“，點(diǎn)”的縱坐標(biāo)為3,貝如的值為()

A.2B.4C.8D.16

8.已知平面向量乙左乙滿足|五|=|3|=五不=2,|五-43|“2-頡1對(duì)任意實(shí)數(shù)；1恒成立,若對(duì)每一個(gè)確定

的冷對(duì)任意實(shí)數(shù)m,九，|下一根五|+用一九3|有最小值上當(dāng)3變化時(shí)，t的值域?yàn)閇%y],則%+y=()

A.2+AA3B.3V~2C.2+2V3D.3/3

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.函數(shù)/(%)=\ax-l|(a>0,且aH1)與g(%)=a-%在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是()

10.已知雙曲線C：9-[=1的左、右焦點(diǎn)分別為F2,。為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)尸2的直線I交雙曲線C的右支于

P,Q兩點(diǎn)，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)4P均在第一象限，則()

A.當(dāng)/垂直于無(wú)軸時(shí)，\PQ\=2

B.雙曲線C與橢圓盤+<=1共焦點(diǎn)

C.點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為2

D.OA+OB=OP+OQ

11.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的伴解九章算法》就給出了著第0"I

名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自第?行'1

第2行121

豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有(),

第3汀133I

A.由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它，肩上，兩個(gè)數(shù)的第4行14641

和"猜想：C"i=『+做第$行'5，0'05

B.Cj+Cl+Cj+…+*=165

C.第34行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為2：3

D.由“第九行所有數(shù)之和為2n”猜想：魂+禺+鬣+…+冊(cè)=2口

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/(?=/_缶_5)%+a,若/(%)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，且號(hào)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞

減，則a的取值范圍是.

13.已知(ax+1)”的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,各項(xiàng)系數(shù)和為729,則實(shí)數(shù)a的值為.

14.若函數(shù)/(久)滿足：當(dāng)久時(shí)，f(x)=tanx；/(x+n)-/(x)；居一式)=/(x).若方程/'(%)=苧

在區(qū)間(0,爪)上有且僅有6個(gè)不同實(shí)根，則小的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在如圖所示的多面體中，四邊形2BCD為正方形，四邊形4DPQ是直角梯形，AD1DP,CD，平面4DPQ,

1

AB=AQ=

(1)求證：PQ1平面DCQ；

(2)求平面BCQ與平面2DPQ所成的銳二面角的大小.

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/(久)=6伉x-a/-8x+b,其中a,b為常數(shù)且久=3是/(x)的一個(gè)極值點(diǎn).

(1)求a的值及當(dāng)b=-6伍2時(shí)函數(shù)f(x)在x=2處的切線方程；

(2)若y=/(x)的圖象與x軸有且只有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍

17.(本小題15分)

某校推行選修數(shù)學(xué)校本課程，每位同學(xué)可以從甲、乙兩個(gè)科目中人選一個(gè).已知某班第一小組和第二小組

個(gè)六位同學(xué)的選課情況如下表：

科目甲科目乙

第一小組15

第二小組24

現(xiàn)從第一小組、第二小組中各選2人進(jìn)行課程交流.

(I)求選出的4人均選修科目乙的概率；

(II)選出的4人中選修科目甲的人數(shù)記為X,求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.(本小題17分)

(本小題滿分8分)已知橢圓c：-L=ls>>0I的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線J：=-4-的焦點(diǎn)相同，

a*b'

a:01在橢圓上，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)尸作斜率為腦;：=0i的直線.與橢圓交于EG兩點(diǎn)，直線ME.dG分

別交直線1=城碗心肝點(diǎn)A/..V,線段“V的中點(diǎn)為「，記直線FF的斜率為s。

葉

/A/M

—I--------L&---------->

\匕了怖、

LV

(I)求橢圓方程；

(II)求上三的取值范圍。

19.(本小題17分)

已知數(shù)列｛an｝共有n(neN*)項(xiàng)，若對(duì)滿足1<i<j<n的任意正整數(shù)i,/均存在正整數(shù)k,I,使得1<k<

I<n,i,j,k,l互不相同，同時(shí)以+七=%+ay,則稱數(shù)列｛廝｝具有性質(zhì)T.

(1)判斷數(shù)列｛(-1尸｝(71=1,2,3，…,10)是否具有性質(zhì)7；

(2)已知數(shù)列｛斯｝具有性質(zhì)T,且廝6｛1,2,3｝,｛即｝共有8項(xiàng)，1=^=a2<a3<a4<a5<a6<a7<

a8,求滿足題意的數(shù)列｛an｝的個(gè)數(shù)；

(3)已知數(shù)列｛即｝具有性質(zhì)T,且廝6'+，｛廝｝中至少有5項(xiàng)不相等，求九的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:丫=，。&1"1|=｛甯；二"二

.?.當(dāng)X>1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)X<1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

又一+必=4表示以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，圖象如下:

由圖象知，兩圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

??.ACB有4個(gè)元素，

ACB的非空真子集的個(gè)數(shù)為：24一2=14.

故選：B.

2.【答案】B

【解析】對(duì)于A當(dāng)c=0時(shí)，ac2=be2,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B：若a>6>0,則a?>。？，故正確；

對(duì)于C：若a<6<0,貝肪2<ab<a2,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：若a<6<0,則工>：,故。錯(cuò)誤.

ab

故選民

3.【答案】A

【解析】令g⑺=得，則"(%)=/(%)：?(%)>=/(%/(%),因?yàn)?(%)>/(%),所以“(%)>0,所以

g(%)在(-8,+8)上單調(diào)遞增；因?yàn)镼〉0,所以g(a)>g(0),即甯>臀，即/(a)〉

故選：A.

4.【答案】A

【解析】解：函數(shù)y=f(3久+2)的定義域?yàn)閇-?1],得一|<久W1,則一3W3x+2W5,

即丫=/(久)的定義域?yàn)閇一3,5],

令「3家，解得

所以所求函數(shù)的定義域?yàn)?1,5].

故選：A.

5.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，且b=2,c=l,A=2B,

利用正弦定理：三焉整理得扁領(lǐng)=焉

化簡(jiǎn)得：a=4cosB,

由余弦定理a=4x吟尸，解得a=，石(負(fù)值舍去).

故選：A.

6.【答案】A

【解析】??,/"：/+y2—2%一2y—2=0,

(%-l)2+(y-l)2=4,即圓心為(1,1),半徑為2,

如圖所示，

■1

連接AM,BM,四邊形P4MB的面積為#.|4B|,

要使|PM|MB|最小，

則只需P4MB的面積最小，即只需△P4M的面積最小，

???\AM\=2,

???只需|P4|最小，

\PA\=7l?l2-\AM\2=J-4,

所以只需直線2x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離最小，

其最小值是圓心到直線的距離d="磬=75,

V5

此時(shí)PM11,\PA\=1,

則止匕時(shí)四邊形PAMB的面積為2,即|PM||的最小值為4.

故本題選A.

7.【答案】B

【解析】易知雙曲線G的漸近線方程為丫=±5%，

所以2=/，

a

即b=y/~3af①

因?yàn)镃l的一個(gè)焦點(diǎn)(c,0)到直線Z的距離d=1四=*=

j(73)2+(-l)2

解得c=2,@

又小+爐=。2,③

聯(lián)立①②③，

解得Q=1,b=A/-3,

所以雙曲線Cl的方程為/—弓=1,

因?yàn)閽佄锞€G的準(zhǔn)線方程為久=-1

又點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為3,且點(diǎn)H在雙曲線上，

2

所以(—獷—日Q=1，

解得p2=16,

因?yàn)閜>0,

所以p=4.

故選：B.

8.【答案】D

【解析】設(shè)瓦？=a，OB=b，OC=c，OP可知P￡OB,

則N-/=瓦？-加=PA>可知您的最小值即為點(diǎn)a到直線。8的距離,

若|五一49|2|五一1對(duì)任意實(shí)數(shù)4恒成立，

可知當(dāng)點(diǎn)P為線段0B的中點(diǎn)，且力P10B,

即2在方方向上的投影向量為演，則五不=頡2=2,

可得6=2,即。B=0A=BA=2,

可知△04B為等邊三角形，

可設(shè)。M=0]V=nb>則憶一znN|=|MC\c—nb\=\]VC|>

可知|MC|,|NC|的最小值分別為過(guò)點(diǎn)C分別作直線。40B的垂線長(zhǎng)，

設(shè)NCOA=8,根據(jù)對(duì)稱性只需分析8￡[0,兀]即可，

若9e[0,1],可得t=|MC\min+INC\min=2sme+2sMe一。)

=2sin9+yj_3cos6—sind=sind+y/~3cosd—2s譏(8+

因?yàn)?e[0,,則e+geg,等可得sin(9+^)e[苧,1]>

即te[62],

若。eg,7T],

則IMC\min+INC\min=2sine+2sin(Q-金

=2sin9+sind-yT^cosd=3sin6—y/~3cos6=2y/~3sin(6—y),

6

因?yàn)閑G[最汨，

則e—(e碌片],

可得sin(6+今e[1,1]>

即te[A<3,2AA3];

綜上所述：

即久=73,y=2<3,

可得x+y=3V~3.

故選：D.

9.【答案】BD

【解析】在/(x)=*1沖,

若X-?+8,/(%)T4-00,則Q>1;若XT—00,/(%)T+8,貝(J0<tt<1.

g(x)=a-%中。表示縱截距.

對(duì)于Z,/(%)=-1|圖象中a〉1,g(%)=a-％圖象中0<a<1,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,/(%)=—1|圖象中a>1,g(%)=a—%圖象中a>1,故8正確；

對(duì)于C,/(%)=|a%-1|圖象中0VaV1,g(%)=a-％圖象中a>L故。錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/(%)=-1|圖象中0<aV1,g(%)=a—%圖象中0<a<1,故。正確.

故選：BD.

10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4選項(xiàng)：易知a=2,b=1,c=Va2+62=<6,

可得產(chǎn)2?%,0)，

當(dāng)直線/垂直于％軸時(shí)，

此時(shí)直線/的方程為X=仄,

J%=V-6

%2y2,

---=J_

V42

則|PQ|=2,故選項(xiàng)A正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：易知橢圓染+[=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±腌,0），

148

所以雙曲線C與橢圓貯+1=1共焦點(diǎn)，故選項(xiàng)2正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)P（?n,?i）,

易知漸近線方程為，±汽=0，

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，

所以公一（=1,

42

可得2九2=m2—4,

則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為喀護(hù)X喀F=*兇=m之一叫=:故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

v3V3313a

對(duì)于選項(xiàng)。：因雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（Y%,0），

當(dāng)直線AB與x軸重合時(shí)，直線4B與兩漸近線只有一個(gè)公共點(diǎn)，即原點(diǎn)，不符合題意；

所以直線4B不與其軸重合，

設(shè)直線4B的方程為刀=士〉+幅，4（%i，yi），8（X2，%），

易知雙曲線的漸近線方程為“2—=0,

聯(lián)立卜？11消去x并整理得（產(chǎn)一2）y2++6=0,

[xz-2y乙=0

此時(shí)廿一2不0且2=24t2-24t2+48=48>0,

由韋達(dá)定理得丫。2=Vi+先=一提笥，

又y，2<o>

所以-/I<t<>f2,

設(shè)「。3，乃），<2（久4，%），

聯(lián)立卜;到+*,消去X并整理得?2-2）必++2=0,

-2yz=4

由韋達(dá)定理得丫3+以=-答，

所以為+%=yi+丫2,

此時(shí)%3+久4=乂1+*2，

則6？+而=赤+的，故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

n.【答案】ACD

【解析】由公式可知4。顯然正確，

對(duì)于B,或+廢+量+...+此)

=程+C,+廢+程4—...+cfo-C3

=C妄一1=165-1=164,所以B錯(cuò)誤，

第34行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)分別為和C聶，它們之比為2：3,所以C正確.

故選：ACD.

12.【答案】［4,5］

【解析】f(x)—x2—(a—5)x+a對(duì)稱軸為久=—,

=x+--(a-5),

當(dāng)aWO時(shí)，§=x+?-(a—5)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，顯然不滿足題意，

當(dāng)a>0時(shí)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得與=久+三—(a—5)在(0,/Z)上單調(diào)遞減，

由題意得2-匕解得4waW5,

>Ta>2

故答案為：［4,5］.

13.【答案】—4或2

【解析】已知(ax+專產(chǎn)的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,各項(xiàng)系數(shù)和為729,

得271=64,解得n=6,

得(a+1)6=729,解得a=-4或a=2,

所以實(shí)數(shù)a的值為-4或2.

故答案為：-4或2.

14.【答案】弓，等］

【解析】因?yàn)?'(x+兀)=/(X),

所以函數(shù)的周期為兀，

又因?yàn)?(1一x)=f(x)，

所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=史寸稱，

又因?yàn)楫?dāng)％E[-?？跁r(shí)，/(%)=tanx,

則在％e(0勺上，令tanx=唱，解得％=￡

456

而方程/(%)=苧在區(qū)間(0,m)上有且僅有6個(gè)不同實(shí)根，

得到a必須大于第6個(gè)根，小于等于第7個(gè)根，

當(dāng)久e(0,捫時(shí)，有f弓)=居—")=居+")=居)=今

則第二個(gè)根為爭(zhēng)

故方程在第一個(gè)周期(0,捫上有看g兩個(gè)根，

利用正切函數(shù)的周期性，可以求出方程在區(qū)間(0,+8)上的前7個(gè)實(shí)根,

且前7個(gè)實(shí)根依次為?\日，等，等，等，

6363636

匚匕r、177r,197r

所以W<m<—,

3o

故答案為：(9,詈］.

15.【答案】(1)證明：由已知，DA,DP,DC兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，DA.DP、DC所在直線分別為久軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)4=a,則。(0,0,0),C(0,0,a),Q(a,a,0),P(0,2a,0),

DC=(0,0,a),DQ=(a,a,0),PQ=(a,—a,0),

■.■^C-PQ=0,~DQ-PQ^0,

DCLPQ,DQ1PQ,

DCADQ=D,

??.PQLT面。CQ.

(2)解：DC1平面ADPQ,DC=(0,0,a),

平面4DPQ的一個(gè)法向量為元=(0,0,1),

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(a,0,a),則四=(0,—a,a),QC=(-a,-a,a),

設(shè)平面BCQ的一個(gè)法向量為方=(久,y,z),則布?證=0,m-QC=0,

???77，取y=Z=l,得沆=(0,1,1),

(—ax—ay+az=n0'k7

設(shè)平面BCQ與平面4DPQ所成的銳二面角為仇

則cosJ=|cos<m,n>\=\-^=\=苧.

.??平面BCQ與平面力DPQ所成的銳二面角的大小為J.

4

16.【答案】解：(1)/(%)=6lnx—ax2—8x+b,

?，./'(%)=——2.0,x—8,

又??,x=3是/(%)的一個(gè)極值點(diǎn)，

???/⑶=2-6a-8=0,

則a=-1,函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?0,+8).

由(1)知/(%)=6lnx+%2—8x—6仇2.

[⑺=《+2久—8/⑵=一1"(2)=-12,

所以/(久)在x=2處的切線方程為y-(-12)=-1(%-2),即y=-%-10.

(2)由(1)知/(久)=61nx+x2-8+b.

由/''(x)>0可得久>3或無(wú)<1,由f'(x)<0可得1<x<3.

???函數(shù)/(乃的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).

當(dāng)x=1或x=3時(shí)，/'(久)=0.

???f'(x)的極大值為/'(1)=61nl+l-8+b=b-7,

f'(%)的極小值為/'(3)=6ln3+9-24+b=61n3+6-15.

???當(dāng)x充分接近0時(shí)，f'(x)<0.當(dāng)K充分大時(shí)，/(%)>0.

???要使/(x)圖象與％軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

只需f(l)"(3)<0,

即(b=7)?(6加3+1-15)<0,

解得：7<b<15-6/n3.

b6(7,15-61n3).

17.【答案】解：(I)從第一小組、第二小組中各選2人進(jìn)行課程交流,

4x44

選出的4人均選修科目乙的概率P=15；

。6。6

（n）X可能的取值為0,1,2,3,P（X=0）=盥=2，P（X=1）=。2%=,，P（x=2）=

筆戶V，P。="=品=*-X的分布列為:

X0123

42221

P

1545945

42221

...￡W=0X-+1X-+2X-+3X-=1.

18.【答案】（i）t+[=i（n）卜;,0

【解析】（I）結(jié)合橢圓中的基本性質(zhì)可知a=2,c=l，利用/.7=1求得b,，得到方程（II）首先設(shè)

出直線7的方程為：jr=4（r1）,與橢圓聯(lián)立，找到根與系數(shù)的關(guān)系，求出4E,4G直線，得到坐

標(biāo)，從而得到〃點(diǎn)坐標(biāo)與斜率￡,將上-〃整理后求范圍，本題中計(jì)算量較大，要求學(xué)生要有較高的數(shù)據(jù)

處理能力

y，

試題解析：（1）由題設(shè)可知：a=2c=l故所求的橢圓方程為：7+=1

43

jr=A（x-l）

（2）點(diǎn)網(wǎng)1。），設(shè)直線/的方程為：——仲.3）?-艙'曰叱-12=°設(shè)

---+=1

43

G（巧,力），則有七.巧="直線JUK：y=故

4*'+3?q'+3

同理可得小，蛆生|點(diǎn)人!何士鴛血叫

4號(hào)）I巧一2）I2（%-2巧-2））

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"巧-212（!?-1）1勺-2%一2廠/?T）乜T中嗎）+4

2（M-1）4k52kin-]2nt-1

考點(diǎn)：1橢圓的方程及性質(zhì)；2.直線與橢圓相交的相關(guān)問(wèn)題

19.【答案】數(shù)列｛（一1尸｝（>=1,2,3,“?,10）具有性質(zhì)7；3；13.

【解析】（1）根據(jù)題目：已知數(shù)列｛廝｝共有"（rieN*）項(xiàng)，

若對(duì)滿足1<i<j<n的任意正整數(shù)i,/均存在正整數(shù)k,