山東省臨沂市鄭城縣高考補(bǔ)習(xí)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期

三月月考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.命題“土€11,2,2尤”的否定是（）

A.VXGR,2X<XB.VxGR,2%>x

C.GR,2X<xD.R,2X<x

2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為彳，若F=|^,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

第（）象限

A.一B.-C.三D.四

3.已知cos（tz-^1J=g,貝i]cos（2a+V）=（）

A.--B.-C.-D.--

9999

一1r/一\

4.已知平面向量璃b是兩個(gè)單位向量，裁在5上的投影向量為5〃，則。（萬+/?）=（）

3_

A.1B.-C.72D.73

5.己知拋物線C：J=2px（p>0）的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)P。,%）在C上，過尸作/的垂

線，垂足為。.若NEPQ=60。，則尸到y(tǒng)軸的距離為（）

124

A.B.—C.—D.2

333

6.已知｛%｝是遞增的等比數(shù)列，若。3-2%+q=l,則當(dāng)知取得最小值時(shí)，%=（）

16

A.—

25

B.1

C.4

D.16

7.如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一木塊上釘著若干排互相平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木

釘，小木釘之間留著適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂端放入，小球在

下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子從

左到右分別編號(hào)為1、2、3、4、5,用X表示小球落入格子的號(hào)碼,則下列不正確的是（）

B.P（X=k）WP（X=3）（々=1,2,3,4,5）

C.E（X）=2D.D（X）=1

8.函數(shù)/（尤）=」不，因其圖像類似于漢字“冏”，故被稱為“冏函數(shù)”，下列5個(gè)結(jié)論:

|x|-l

①函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋鹸|x/l,xeR｝；

2024

?/（/（2025））=-^;

③函數(shù)y=/（x）的圖像關(guān)于直線x=i對(duì)稱；

④當(dāng)xe時(shí)，函數(shù)y=/（尤）的最大值為一1；

⑤方程/（X）--+4=0有四個(gè)不同的實(shí)根；

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、多選題

P（B）=J,則下列選項(xiàng)正確的是（）

9.已知隨機(jī)事件A、B滿足：P（A）=-,

6

A.若尸（A8）=，則A與8相互獨(dú)立B.若A與8相互獨(dú)立，則P（而）=|

C.若A與8互斥，則尸（初）=：D.若P（司尸（B國(guó)=》則尸（HA）=g

10.已知函數(shù)/（%）=sin2GXcoscp+cos2G尤sincp（。＞0,o<H<^）的部分圖象如圖所示，則

下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

-1-----------

TT

A.7（%）的最小正周期為兀B.（p=-y

6

c.是函數(shù)/（X）的一個(gè)對(duì)稱中心D./（X）在區(qū)間的最小值為

（12）L2」2

11.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面A3C。是正方形，SA_L平面ABC。，SA^AB,0、

尸分別是AC、SC的中點(diǎn)，河是棱SO上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）

A.OMLAP

B.存在點(diǎn)使。M//平面SBC

C.存在點(diǎn)使直線與A3所成的角為30,

D.點(diǎn)M到平面ABC。與平面&4B的距離和為定值

12.2025春節(jié)檔國(guó)產(chǎn)影片《哪吒之魔童鬧海》接連破全球票房記錄，影片中哪吒與敖丙是

不可分割的二人組，其中敖丙的武器“盤龍冰錘”相撞后形成了如圖所示的曲線，可以用來表

示數(shù)學(xué)上特殊的曲線.如圖所示的曲線c過坐標(biāo)原點(diǎn)0,C上的點(diǎn)到兩定點(diǎn)

耳（-加）），F(xiàn)2（4,0）3>0）的距離之積為定值.當(dāng)a=3時(shí),C上第一象限內(nèi)的點(diǎn)P滿足△尸耳尸2的

面積為，則附『一|帆『=.

4

13.在VABC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a",c,已知asinA+sinB=sinC,tanC=],

則VABC的內(nèi)切圓半徑廠的最大值為.

14.項(xiàng)數(shù)為，"的數(shù)列｛風(fēng)｝滿足。產(chǎn)｛0，1｝(，=1，2,…，m),當(dāng)且僅當(dāng)％=即時(shí)4=0(其中

i=l,2,…，根-1,規(guī)定：a0=am,am+i=ax),稱｛%｝為“好數(shù)列”.在項(xiàng)數(shù)為6且

4€｛0,1｝?=1,2”..,6)的所有｛%｝中，隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列是“好數(shù)列”的概率

為________

四、解答題

15.如圖，在四面體A3C。中，AB=BD=2,NADC=N3DC=9O。，點(diǎn)E為棱AD的中點(diǎn),

點(diǎn)尸為棱AC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面ACDJL平面BEF；

(2)已知二面角A-DC-3的大小為30。，當(dāng)直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值為

口區(qū)時(shí)，求此時(shí)四面體ABEF的體積.

7

16.2025年1月1日，某地舉行馬拉松比賽，某服務(wù)部門為提升服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)采訪了120

名參賽人員，得到下表：

滿意度性別合計(jì)

試卷第4頁，共6頁

女性男性

比較滿意r50

非常滿意t4070

合計(jì)601120

⑴求尸的值；

l-t

(2)依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量的

評(píng)價(jià)有差異？

(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)隨機(jī)采訪1名女性參賽人員與1名男性參賽人員，設(shè)X表示這2人

中對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量非常滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

附：Z2-------------------------—，n=a+br+c+af.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.010.001

Xa2.7066.63510.828

17.在VABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為mb,c.

⑴求證：2cossin=sinA；

(2)若2(c-a)cos尸2Asin~~~~=csinC-bsinB.

(i)求5；

(ii)若b=5,且VA5C的面積為46，求VA5C的周長(zhǎng).

is.已知橢圓。：［+方■=1(〃〉。〉。)過點(diǎn)，^,一血，離心率為。.

⑴求橢圓。的方程.

(2)過點(diǎn)。(2,0)的直線/(與九軸不重合)交橢圓。于M,N兩點(diǎn).

(i)若|MN|=警，求/的方程；

(ii)已知A8分別是C的左、右頂點(diǎn)，直線AM,BN分別交直線尤=4于。，E兩點(diǎn),證

明：AAQ。與△BQE的面積之比為定值.

19.已知函數(shù)/（力=/+依的圖象與x軸的三個(gè)交點(diǎn)為A,O,B（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

⑴討論“X）的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)g（x）=/（x）-2比三有三個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

⑶若aH-l,點(diǎn)尸在y=〃x）的圖象上,且異于A,0,8,點(diǎn)0滿足兩?萬=0,PBQB=0,

求|。。|的最小值.

試卷第6頁，共6頁

《山東省臨沂市鄭城縣高考補(bǔ)習(xí)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期三月月考數(shù)學(xué)試題》參考

答案

題號(hào)12345678910

答案AACBADCBACDACD

題號(hào)11

答案ABD

1.A

【分析】由存在量詞命題的否定為全程量詞命題判斷即可.

【詳解】由存在量詞命題的否定的定義知：命題“*的否定是VxeR,2，<x,

故選：A.

2.A

【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)得［=1一2i，則z=l+2i,即答案可求.

【詳解】由題意得彳=皆？=+=1一2i,

所以z=1+2i,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

故選：A.

3.C

【分析】由條件根據(jù)二倍角余弦公式可求cos12c-e),再結(jié)合誘導(dǎo)公式求cos(2a+g).

兀

【詳解】因?yàn)閏os("A)=§1,

所以cos(2a+,)=cos?i+2(a-展)=-cos2(tz-^1)=l-2cos2(a-^1)=^

故選：C.

4.B

【分析】根據(jù)投影向量定義，結(jié)合題意求出2%的值，再利用平面向量的運(yùn)算律求數(shù)量積.

a.b-1-ci,b1

【詳解】由題意，a在B上的投影向量為^6=5%，則W=5，

因?yàn)樯确绞菃挝幌蛄?，即卜卜W=1,所以7B=g，W"=i,

則無(a+人)=|。1+6Z'Z>=l+^=~.

故選：B.

5.A

答案第1頁，共15頁

【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合條件表示出|MF|=P，|?？?1+日，然后利用勾股定理列

出方程即可求得結(jié)果.

【詳解】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)尸在X軸上方，準(zhǔn)線/與X軸交于點(diǎn)M,

因?yàn)辄c(diǎn)P(l,%)在拋物線上，所以|尸。|=巾=1+勺％=|刎=而,

又/尸PQ=60。，MPQ尸為正三角形，刊=|P刊=1+日，

又|MF|=p,在RtVQM「中，|Q殲=|加「+附殲，即

解得P=；或-2(舍去)，所以歹到y(tǒng)軸的距離為

,J乙D

故選：A.

【分析】由己知得G(q—iy=l,有4>0,q>l,及q=則如取得最小值等價(jià)于

5C

函數(shù)/伍)=\取得最小值，利用導(dǎo)數(shù)法得q=g時(shí)，知取得最小值，即可求解.

q-l4

【詳解】設(shè)｛%｝的公比為q,由%-22+%=1得，“(q-l);：1,故q>。，

又因?yàn)椋?｝是遞增的數(shù)列，所以4>1,

105

因?yàn)?=4/。=六至，所以如取得最小值等價(jià)于函數(shù)/(g)=—取得最小值,

令/'(q)>0得令/'(q)<0得

答案第2頁，共15頁

所以/伍）=匕在［i，：）上單調(diào)遞減，在',+，）上單調(diào)遞增,

54

故當(dāng).時(shí),知取得最小值,此時(shí)

故選：D

7.C

【詳解】設(shè)y=x-i,則丫~8，1］,再根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式及期望方差公式逐一分

析即可.

【分析】設(shè)y=x—i,依題意，

對(duì)于A選項(xiàng)，P（X=2）=P（y=l）=C；［gj=；,A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，p（X=k）=P（y=Z:-l）=C;［；）（左=1,2,3,4,5）,

則P（X=l）=J，P（X=2）T，P（X=3）4p（X=4）=3（X=5）q,

IOO41O

所以尸（X=左）《尸。=3乂％=1,2,3,4,5）,B對(duì);

對(duì)于C選項(xiàng)，E（X）=JE（y）+l=4x|+l=3,C錯(cuò);

對(duì)于選項(xiàng)，（）（）［

DDX=Dr=4x1j=1D對(duì).

故選：C.

8.B

【分析】根據(jù)分式分母不為零可求得了（x）定義域判斷①；利用解析式可求得了（/（2025））判

斷②；通過”2），“0）判斷③；分別在x?T0］和xe［0,l）的情況下得到/（x）1mx,判斷④;

利用數(shù)形結(jié)合判斷⑤.

【詳解】對(duì)于①，由|X|THO得：x^±l,\/（x）的定義域?yàn)閧目尤*±1},①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，???"2025）二焉，二〃八2025））=（就『二1二=一母，②正確；

2024

答案第3頁，共15頁

11

對(duì)于③，v/（2）=—=11/（O）=—=-1,"⑵*”。）,

Z—1U—1

\/（X）不關(guān)于直線X=1對(duì)稱，③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)x?TO]時(shí)，〃尤）=-71=-占，止匕時(shí)〃x）w〃o）=-l;

當(dāng)xe[O」）時(shí)，〃尤）=工,此時(shí)〃尤）W〃O）=T；

綜上所述:當(dāng)時(shí),外"1rax=T,④正確；

對(duì)于⑤，在平面直角坐標(biāo)系中，作出/'（X）與y=f-4的大致圖象,

由圖象可知與尸寸-4有四個(gè)不同交點(diǎn),

二方程/（x）-/+4=0有四個(gè)不同的根，⑤正確.

所以正確的個(gè)數(shù)為3.

故選：B.

9.ACD

【分析】由獨(dú)立事件的乘法公式可得A正確，B錯(cuò)誤；由互斥事件的加法公式可得C正確;

由全概率公式可得D正確.

171

【詳解】對(duì)于A,P（AB）=-=P（A）P（B）=-x-,故A與8相互獨(dú)立，即A正確；

936

對(duì)于B,若A與B相互獨(dú)立，則可與萬也相互獨(dú)立，

則尸（布）=1-尸（A0=1-尸網(wǎng)尸⑻=l-gx：=|,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若A與3互斥，則P（AB）=0,

P（B）=P（AB）+P（AB）=P（AB）=1,故C正確；

對(duì)于D,由全概率公式可得P（B）=P（A）P（B\A）+P（A）P（B|A）,

答案第4頁，共15頁

iio1

所以二=77+彳尸(曲A)nP(HA)=",故D正確;

61238

故選：ACD.

10.ACD

【分析】先由圖象結(jié)合五點(diǎn)法確定函數(shù)解析式，再由周期公式可得A正確；由解析可得B

錯(cuò)誤；由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心可得C正確；由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得D正確;

【詳解】由題意得/'(x)=sin(20x+0),由圖象可得/(0)=；=sin夕=g,

又0＜夕＜一所以夕由五點(diǎn)法可得0xf+3=￥n0=l,

26362

所以/(x)=sin12x+1J.

2兀

A：由以上解析可得°=1,7=萬=兀'故A正確;

TT

B：由以上解析可得。=$,故B錯(cuò)誤；

6

C：/(x)=sin12x+，的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為2x+《=fat?eZ,則對(duì)稱中心為

[4+箏。卜eZ,令左=1,則C正確；

7Tc兀兀771r.(小7兀1、14,所以最小值為-1，故D正

D：當(dāng)xw0,-——2xH—G-,—日寸.sin2xH—G—,1

666I62

確.

故選：ACD.

11.ABD

【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【分析】因?yàn)镾A,平面ABC。，四邊形ABC。為正方形，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD.AS所在直線分別為元、＞、z軸建立如下圖所示的空間直

答案第5頁，共15頁

^AB=AD=AS=2,則S(0,0,2)、C(2,2,0)、P(1J1)、0(1,1,0),

設(shè)M(o,t,2-r),OM=(-l,t-i,2-t),其中0V/W2,

所以西J_I?=-l+r-l+2-=0，所以O(shè)M_LAP,A選項(xiàng)正確.

點(diǎn)M到平面ABC。與平面SAB的距離和為27+/=2為定值，D選項(xiàng)正確.

5(2,0,0),SB=(2,0,-2),前=(0,2,0),

/、fi-SB=2x-2z=0

設(shè)平面SBC的法向量為萬=(x,y,z),則｛_.,

n-BC=2y=0

取x=1,可得平面SBC的一個(gè)法向量為?=(1,0,1),

要使OMU平面SBC,QW0平面SBC,

則OM-n=(―1,/—1,2—r),(1,0,1)=—1+2—t=l~t=0,

解得/=1,所以存在點(diǎn)M,使37〃平面SBC,B選項(xiàng)正確;

若直線OM與直線A3所成角為30。,

21_百

則cos30。='

yj2t2-6t+62

整理可得3〃-%+7=0,A=81-4x3x7=-3<0,方程3d-%+7=0無解，所以C選項(xiàng)錯(cuò)

誤.

故選：ABD.

12.18代

【分析】由題意，得到曲線C的方程，利用三角形面積公式求出/￡尸&=90。，此時(shí)點(diǎn)P是

曲線C：(1+/)2=18卜2-丁)與以月入為直徑的圓/+y=9在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，聯(lián)立

求出點(diǎn)。的橫坐標(biāo)，再代入求解即可.

【詳解】因?yàn)樵c(diǎn)。在C上，

2

所以C上的點(diǎn)到耳，F(xiàn)2的距離之積為|.|OF^=a,

設(shè)(%,y)為C上任意一點(diǎn)，

止匕時(shí)a2=J(x-a)2+J.^(x+a)2+y2，

整理得，+9)2=2〃(/-力，

答案第6頁，共15頁

in

因?yàn)锳P/M的面積S=5忸用|尸用sin/GPK=1|尸用.|P司=/=9,

所以/￡尸g=90。，

所以點(diǎn)P是曲線C：（爐+?。?=18卜2一丁）與以耳耳為直徑的圓Y+y2=9在第一象限內(nèi)的

交點(diǎn),

(x2+j2)2=18優(yōu)-

聯(lián)立力

x2+y2=9

解得與=孚,

所以|p居12Tpg『=(冷+3)2+城一(冷—3)2—/=12琴=18M

故答案為：186.

【分析】根據(jù)題設(shè)利用正弦定理、余弦定理得到6=登二至及S"BC=叁油，再根據(jù)

10〃+65

3

S.BC=；（。+6+C）廠得到r=云'，化簡(jiǎn)變形并運(yùn)用基本不等式即可求得其最大值.

【詳解】已知asinA+sin5=sinC,由正弦定理可得"十人二。,

443

又tanC=§,可求得sinC=—,cosC=—

2

利用余弦定理，可得。之=（〃2+。）2=〃2+^-2abcosC,

5a-5a3

所以小=

10。+6

又三角形面積=-absinC=-ab,

25

X5=|(<7+Z?+c)ri2

AASC所以萬（々+力+c）r=

.5Q-5/

4ab4ab=10。+6=a-a3=硝-。)

故廠5(a+b+c)5…+2b)5,+/+2「-5叫46+1)4

[10a+6

（"T，"）21

v（2）_1，當(dāng)且僅當(dāng)，=：時(shí)等號(hào)成立,

416

所以YABC的內(nèi)切圓半徑r的最大值為

16

答案第7頁，共15頁

故答案為：—■

16

14.—/0.0625

16

【分析】根據(jù)分布乘法求出所有｛%｝的個(gè)數(shù)，由0出現(xiàn)的次數(shù)討論數(shù)列是“好數(shù)列”的個(gè)數(shù),

利用概率公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意，因?yàn)轫?xiàng)數(shù)為6且470,1｝(，=1,2,…,6),

所以每一項(xiàng)為都有兩種選擇，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理，

可構(gòu)成的數(shù)列｛%｝個(gè)數(shù)為26=64個(gè)，

由題意，若｛%｝為“好數(shù)列”，則意味著若4=。，其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)相等，

①則若｛%｝中沒有0,則數(shù)列為｛LLLL1」｝,不符合題意，

②若｛%｝中有1個(gè)0,不論0在那個(gè)位置，都會(huì)出現(xiàn)3個(gè)1相鄰，不符合題意，

③若｛%｝中有2個(gè)0,則｛0,1」,0」」｝｛L0,1,1,0』｝,｛1,1,0,1,1,0｝,符合“好數(shù)列”定義；

④若｛%｝中有3個(gè)及以上0,若。相鄰，根據(jù)定義，數(shù)列只能為｛0,0,0,0,0,0｝,

若0不相鄰，只能1和0間隔出現(xiàn)，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)0中間出現(xiàn)1,不符合題意，

綜上，符合題意的“好數(shù)列”只有4個(gè)，

所以數(shù)列是“好數(shù)列”的概率為三4=白1.

6416

故答案為：

16

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解“好數(shù)列”的定義，根據(jù)題意能列出符合條件的數(shù)列.

15.(1)證明見解析

(2)T

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定、性質(zhì)，面面垂直的判定推理得證.

(2)由(1)可得乙M?=30。，再結(jié)合已知確定點(diǎn)廠位置，進(jìn)而求出四面體ABEF的相關(guān)

元素并求出體積.

【詳解】(1)由ZAZ)C=90o,ZB￡>C=90。，得。C_LAO,DC_L，

又40口題>=。,40,^^平面凡8￡),則OC_L平面ABD,

而BEu平面A3O,于是OC_LBE,由E為AD中點(diǎn)，AB=BD,得BELAD,

答案第8頁，共15頁

又40「8=。40,。)<=平面4?！?gt;,因此面ACD,又3Eu平面BEF,

所以平面ADC1平面BEF.

(2)由(1)知，二面角A—CD—B的平面角為NAD3,則/AD3=30。，

由m_L平面ACD,得NBFE為所與平面AC。所成的角，

BE]

在RtABED中，BD=2,則。E=后,BE=1,sin/BFE=——=——,

BFBF

而(sinZBPE/ax=迫，則3%.=立，此時(shí)3尸1AC,

、/iiidA7Him2

由平面ACD,ACu平面ACD,得3E_LAC,而BEcBF=B,BE,BFu平面BEF,

則AC_L平面BEF,又EFu平面BEF,于是EF_LAC,

在Rt&A￡/中，EF=1BF2-BE2=叵,AF=dAB?-BF。=),貝U.EE=±8,

2228

所以四面體ABEF的體積/AEFU^SAEF.BE=LX典xl=@.

D—Ac,r34A匕F388

16.(1)|

(2)依據(jù)小概率值a=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量的評(píng)

價(jià)有差異.

(3)分布列見解析，期望為:

0

【分析】(1)根據(jù)二聯(lián)表即可求解廠=30,s=201=30,/=60得解，

(2)計(jì)算卡方，即可與臨界值比較作答，

(3)根據(jù)相互獨(dú)立乘法事件的概率公式求解概率，即可得分布列和期望.

(2)零假設(shè)%:依據(jù)小概率值蟆=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服

答案第9頁，共15頁

務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)沒有差異,

^2_120x(30x40-30x20)"_24>27。6

50x70x60x607

故依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量的評(píng)

價(jià)有差異.

(3)由于女性對(duì)服務(wù)滿意的概率為3三0=：1,男性對(duì)服務(wù)滿意的概率為4《0二2彳,

602603

故X=0,1,2,

尸”=。)=1-；卜m，p(x=i)=(iTq+W=；,

P(X=2)=gx|=g,

故X的分布列為

X012

j_j_J_

P

6~23

1117

故E(X)=0x—+lx-+2x_=_.

6236

17.(1)證明見解析

(2)(i)B=y；(ii)5+A/73

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合二倍角的正弦公式，即可證明.

(2)(i)結(jié)合(1)中的結(jié)論，結(jié)合正弦定理可得片+^—廿二雙，再用余弦定理可求角反

(ii)利用三角形的面積公式，可得收=16,再結(jié)合余弦定理，可求a+c,進(jìn)而可求VABC

的周長(zhǎng).

【詳解】(1)因?yàn)?+。=兀一4,所以sin^^=sin^——=cos—.

222

又因?yàn)閏os^——=sin—,所以原式左邊=2sin4?cosa=sinA=右邊，得證.

2222

(2)(i)由(1)可得(c-a)sinA=csinC—bsinB.

又由正弦定理得(。一。)。=。2一/?2,即〃2+°2_。2=ac

由余弦定理得cosB=/+/*=1

2ac2

■jr

因?yàn)?<3<兀，得3=1.

答案第10頁，共15頁

(ii)由題知弟布=4百，由=g〃csin3,得ac=16.

222

又由余弦定理Z?2=〃+°2—2QCCOS5，可得〃=a+c-ac=(a-^-c)-3ac,

即25=(a+c)-—48,所以a+c=y/13.

所以a+6+c=5+",故VA3C的周長(zhǎng)為5+歷.

r22

18.(1)—+^v=1

94

⑵(i)x=2；(ii)見解析

【分析】(1)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，結(jié)合橢圓方程中a,4c的關(guān)系求解即可；

(2)聯(lián)立直線和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式即可求解(i)；利用A8兩點(diǎn)的

坐標(biāo)，寫出。，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式表示出面積比，然后結(jié)合％+%和

%%求解即可.

229

【詳解】(1)橢圓C:卞+齊=l(a>6>0)過點(diǎn)，-C,故y.i

7/+F一1

9

22_

一+廬-1

（2=3,

c與解方程組'工=￥，得:

且離心率￡b=2,

a3

c=\[5

a2=b2+c2

22

故橢圓方程為：土+工1.

94

(2)(i)過點(diǎn)。(2,0)的直線/(與x軸不重合)，故設(shè)直線/：x="少+2,

“1,整理得：（9+4機(jī)2）9+16的;—20=0,

設(shè)m(%,乂),"(%2，%)，聯(lián)立\-91-4

x=my+2

16m

%+%=一直而

故<

20

故\MN\=J1+療X+

16mj?8080

即(1+冽2)X2=§，解得根=0,

9+4m2?9+4m

答案第11頁，共15頁

故/的方程為：x=2.

(ii)A8分別是C的左、右頂點(diǎn)，故4(-3,0),3(3,0),

故直線A"的方程為：y=U。(x+3),

當(dāng)x=4時(shí)，y=-^,

占+3I%+3j

/、

同理可得：直線8M的方程為：y==J(x-3),E4,“^

尤2-3IX2-3J

且Q（2,0）,故。0=5,怛0=1,

7%

q

a^AQD玉+3%(々-3)町%一%

故=35x=35x=35x

q為)%(叫)

?！鰾QE%(3+3+5畋i%+5%

16m

…=-，故根%%=；(%+%)，

因?yàn)椤?/p>

20

%必=一，97+74i―m2-

55

qy,+y2yi

所以44~

2^=35X=7,

S^BQE55—

?+12+5%

故AAQO與/XBQE的面積之比為定值7.

答案第12頁，共15頁

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

(1)設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，注意根的判別式的判

斷；

(3)列出韋達(dá)定理；

(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為與韋達(dá)定理相關(guān)的形式；

(5)代入韋達(dá)定理求解.

19.(1)答案見解析；

⑵

(3)五.

【分析】(1)根據(jù)根的個(gè)數(shù)可得。<0,再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；

(2)令g(x)=x3+6-21n￡,求出函數(shù)的定義域，并證明g(x)為奇函數(shù)，由零點(diǎn)的個(gè)

數(shù)及奇函數(shù)的對(duì)稱性，將問題化為g⑺在(0,1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，討論“+4"、”+4<0

研究g(x)在(0,1)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得參數(shù)范圍；

答案第13頁，共15頁

(3)設(shè)A(石,O),B(%2，°)，且玉=-々=-U^，P(租，〃)，Q(%，y)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

求得了=-加,〉=工，進(jìn)而有|OQ|=/+工，最后應(yīng)用基本不等式求最小值.

mVm

【詳解】(1)由己知得，/(x)=0有三個(gè)根，令尤3+砂=0,得x=0或爐+〃=0,

所以％2+〃=0有兩個(gè)不同的解，所以avO,又/'(元)=3%2+〃,

令尸(x)>0,得