專題18.9四邊形中的動點問題六大題型（60題）

【人教版】

【題型1與平行四邊形有關(guān)的動點問題】

（24-25八年級?安徽宿州?期末）

1.如圖，在△/8C中，AB=AC=2,Z5=75°,尸為48邊上的一動點，以P/、尸C為鄰

邊作。N0CP,則對角線尸0長度的最小值是（）

（24-25八年級?湖北武漢?期中）

2.如圖，等腰△NBC中，4B=/C,點K是底邊BC上的一動點（不與點8、C重合），過

點K分別作/C的平行線KH、KQ,交AC、AB于點H、Q,則下列數(shù)量關(guān)系一定正確

的是（）

C.KH+KQ=ACD.AC-AQ=BK

（24-25八年級?江蘇鹽城?期中）

3.如圖，點。是a/BC的邊的延長線上一點，點廠是邊上的一個動點（不與點2

重合），以3,8尸為鄰邊作平行四邊形8DE尸，又AP〃BE,AP=BE（點尸、￡在直線

的同側(cè)），如果那么△P8C的面積與△NBC面積之比為（）

試卷第1頁，共27頁

A

（24-25八年級?浙江溫州?階段練習）

4.如圖，在口48co中，AB=5,BC=9,動點尸從A點出發(fā)，以1個單位長度的速度沿線

段4D向終點。運動，同時動點。從點3出發(fā)以3個單位長度的速度在8C間往返運動，當

點尸到達點。時，動點尸、。同時停止運動，連結(jié)尸。.設(shè)運動時間為/秒.當PQ平分口4BCD

的面積時，貝!]/=.

5.如圖，在口/BCD中，48=5,BC=1，點、M、N分別是40、BC上的動點，

AM=CN,連結(jié)九W,作8關(guān)于血W的對稱線段。力，當。力’與n48co的某邊平行時,

AM=.

（24-25八年級?河南鄭州?期末）

6.如圖，四邊形4&DC是平行四邊形，AB=8cm,/C=6cm,點G在上，

CG=3cm,動點￡從點3出發(fā)，沿折線8f。-Cf4f8的方向以2cm/s的速度運動，

動點F從點B出發(fā),沿折線NfCf2的方向以lcm/s的速度運動，若動點E,F

同時出發(fā)，相遇時停止運動，在第s時，以點4E,F,G為頂點的四邊形是平行四

邊形.

試卷第2頁，共27頁

AFB

(24-25八年級?江蘇無錫?期中)

7.如圖1,在口/BC。中，AB=3,AD=6.動點P沿40邊以每秒1■個單位長度的速度從

點/向點。運動.設(shè)點尸運動的時間為?。＞0)秒.

(1)當CP平分/BCD時，求才的值.

(2)如圖2,另一動點。以每秒2個單位長度的速度從點C出發(fā)，在C3上往返運動.P、Q

兩點同時出發(fā).

①當點尸到達點。停止運動，點。也隨之停止運動.若以P、D、。、3為頂點的四邊形是

平行四邊形，請求出/的值.

②若點尸在上往返運動，當以尸、D、。、8為頂點的四邊形第2023次成為平行四邊形

時，直接寫出此時f的值為.

(24-25八年級?廣西梧州?階段練習)

8.如圖，在平行四邊形/BCD中，ZBAC=90°,CD=12cm,/C=16cm.動點尸從點N

出發(fā)沿AD以1cm/s速度向終點。運動，同時點。從點C出發(fā)，以4cm/s速度沿射線C2運

動，當點尸到達終點時，點。也隨之停止運動，設(shè)點尸的運動時間為/秒。＞0).

(1)當點0在線段延長線上時，用含/的代數(shù)式表示線段80的長；

(2)連結(jié)尸。，是否存在f的值，使得尸。與42互相平分？若存在，求出f的值；若不存在,

請說明理由；

(3)若點P關(guān)于直線對稱的點恰好落在直線上，請求出/的值.

試卷第3頁，共27頁

(24-25八年級?河北石家莊?期中)

9.如圖，在口48c。中，NBAC=90°,CD=6cm,/C=8cm.動點P從點A出發(fā)沿N。以

2cm/s速度向終點。運動，同時點。從點C出發(fā)，以8cm/s速度沿射線C8運動，當點P到

達終點時，點。也隨之停止運動，設(shè)點P的運動時間為/秒?>0).

CBECBE

(備用圖)(備用圖)

(1)C5的長為cm.

(2)當時，用含I的代數(shù)式表示線段2。的長.

(3)連接尸。.是否存在f的值，使得尸。與N2互相平分？若存在，求出/的值；若不存在，請

說明理由.

(4)若點P關(guān)于直線AQ對稱的點恰好落在直線AB上，請直接寫出/的值.

(24-25八年級?河北邯鄲?期末)

10.如圖，在平行四邊形/BCD中，對角線4C,8。相交于點。，M,N分別為射線08,

上的兩個動點(點"，N始終在平行四邊形4BCD的外面)，連接AN,CM,

CN.

⑴若。N=2OD,BM=WB,求證：四邊形/MCN為平行四邊形;

(2)若DN==OD,BM=-OB(n>Q],

nn

①四邊形/MCW為平行四邊形嗎？請說明理由；

試卷第4頁，共27頁

②當〃=1時，S&MBC=2,直接寫出四邊形/MCN的面積.

【題型2與矩形有關(guān)的動點問題】

（24-25?河北唐山?八年級期末）

11.如圖，在矩形中，動點、E,尸分別從點。，8同時出發(fā)，沿。/,8c向終點A,

C移動.要使四邊形NEC尸為平行四邊形，甲、乙分別給出了一個條件，下列判斷正確的是

（）

甲：點E,b的運動速度相同;

B.甲、乙都不可行

C.甲可行，乙不可行D.甲不可行，乙可行

（24-25八年級?廣東潮州?期中）

12.如圖，在矩形中，/8=10cm,點E在線段上，且ZE=6cm,動點P在線

段上，從點”出發(fā)以2cm/s的速度向點2運動，同時點0在線段上.以vcm/s的速

度由點2向點C運動，當△￡4P與A%。全等時，v的值為（）

612

A.2B.4C.4或一D.2或—

55

（24-25八年級?江蘇揚州?期中）

13.如圖，點E是矩形/BCD邊C。上一點，連接BE,將AC即沿BE翻折，點C落在點尸

處，N/8尸的角平分線與跖的延長線交于點M,若功=3,BC=6,當點E從點C運動到

點。時，則點M運動的路徑長是（）

試卷第5頁，共27頁

M

八

（24-25八年級?全國?專題練習）

14.如圖，在四邊形中，AC,8。相交于點O,S.OA=OB=OC=OD,點￡從點8

開始，沿四邊形的邊運動至點。停止，CE與8。相交于點N,點尸是線段CE的中

點.連接。尸，下列選項不正確的是（）

B.當點￡是N8的中點時，OF=\CD

4

C.當AB=6,2c=8時，線段。尸長度的最大值為4

D.當點E在邊48上，且/CO尸=60。時，△0N是等邊三角形

（24-25八年級?浙江臺州?期中）

15.如圖，在矩形48。中，AB=4,乙4。8=30。.點P從點/出發(fā)沿以每秒1個單

位長度的速度向終點B運動，點。從點C出發(fā)沿C4以每秒2個單位長度的速度向終點A

運動.連接尸。，當時間是1秒時，尸。的長度是（）

A.741B.6C.VMD.4

（24-25?河南?模擬預測）

16.如圖，在矩形48。中，AB=6,4D=4,點E是邊延長線上一點，BE=8,點、M

從點￡出發(fā)，先以每秒2個單位長的速度向點8運動，點到達點8后，再以每秒6個單位

長的速度沿射線BE方向運動，同時點N從點。出發(fā)，沿射線。C方向以每秒4個單位長的

試卷第6頁，共27頁

速度運動，設(shè)運動時間為:(s),若以E,M,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形，貝卜的

值為()

^1*iC

A1~一77

A.1或3B.3或13C.1或13D.1或3或13

(24-25八年級?四川自貢?期末)

17.如圖.在四邊形/BCD中，AD//BC,zB=90°,AB=8cm,

4D=10cm.8c=12cm.點尸從點/出發(fā)，以Icm/s的速度向點。運動，點。從點C同

時出發(fā)，以4cm/s的速度在線段3C上來回運動，當點P當?shù)竭_點。時，尸、。兩點停止運

動.在此運動過程中，出現(xiàn)尸。〃。和的次數(shù)分別是()

A.3,6B.3,7C.4,6D.4,7

(24-25八年級?天津薊州?期末)

18.如圖，在四邊形N8C。中，AD//BC,乙4=90。，4D=12,8C=18,點尸從點。出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點/運動，點Q從點2同時出發(fā)，以每秒2個單位長度

的速度向點C運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.設(shè)點P

(1)當點P運動停止時，/=,線段。尸的長為；

(2)①用含f的式子填空：DP=,BQ=,AP=；

②/為何值時，四邊形尸為矩形，求出f的值；

(3)在運動的過程中，是否存在某一時刻3使以尸，D,C,。為頂點的四邊形為平行四邊

試卷第7頁，共27頁

形？若存在，請求出/的值，若不存在，請說明理由.

(24-25八年級?云南昭通?階段練習)

19.如圖，在矩形A8CD中，AB=6,8c=11,延長8c到點使CE=8.連接DE.動

點尸從點3出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿折線BC-CD向終點。運動，設(shè)點尸運動的時間

為/秒9>0).

(備用圖)

(1)求。E的長；

(2)連接ZP,當四邊形/尸暇)是平行四邊形時，求f的值；

⑶連接2尸、PD,設(shè)四邊形的面積為S,求S與/之間的函數(shù)關(guān)系式.

(24-25八年級?浙江溫州?期中)

20.如圖，在四邊形/BCD中，AD//BC,ZB=45°,AB=6也刖=CD=10cm.

⑴求8c的長；

(2)點P從點A開始沿著邊向點。以1cm/s的速度移動，點。從點C開始沿著C8邊向點

8以2cm/s的速度移動，如果尸，。分別從A,C同時出發(fā)，當點尸運動到點。時，點。也

隨之停止運動.若設(shè)運動的時間為/秒，當尸。與四邊形/BCD的其中一邊平行時，求此時/

的值.

(3)如圖，點、E,G分別在邊AB,AD上，將A/EG沿EG折疊，點A恰好落在2C邊上的

點尸處.若5BE=AE,則/G長度為

【題型3與菱形形有關(guān)的動點問題】

(24-25八年級?北京?期中)

21.在菱形48co中，ABAD=120°,動點尸在直線BC上運動，作/4PM=60。，且直線PM

與直線CD相交于點G,G點到直線BC的距離為GH.

試卷第8頁，共27頁

M

(2)若尸在線段8c上運動，求證：CP=DG；

(3)若P在線段5c上運動，探求線段NC,CP,C〃的一個數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(24-25八年級?江蘇蘇州?期中)

22.如圖，在菱形中，對角線/C與8。相交于點。，4B=16,NBAD=60。,點、E

從點/出發(fā)，沿以每秒4個單位長度的速度向終點2運動，當點E與點/不重合時，

過點￡作￡尸上40于點尸，作EG〃4D交/C于點G,過點G作射線ND垂線段G”,垂

(1)當點〃與點。重合時，/=

(2)設(shè)矩形EF/7G與菱形N2CD重疊部分圖形的面積為S,求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶設(shè)矩形跳HG的對角線E"與FG相交于點O',

①當時，/的值為；

②當。時，求出f的值.

(24-25八年級?廣西柳州?期中)

23.如圖，在四邊形中，AB//CD,ZADC=90°,AD=12cm,^5=18cm,

CD=23cm,動點尸從點A出發(fā)，以lcm/s的速度向終點8運動，同時動點。從點8出發(fā)，

以2cm/s的速度沿折線B-C-D向終點。運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨

之停止運動，設(shè)運動時間為/秒.

(1)當t為何值時，直線尸。把四邊形分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形?

試卷第9頁，共27頁

(2)只改變點。的運動速度，使運動過程中某一時刻四邊形尸8C。為菱形，則點。的運動速度

應為多少？

(24-25八年級?江蘇無錫?期中)

24.如圖1,在菱形/BCD中，UBC=60。,對角線/C、AD交于點。，尸從2點出發(fā)，

沿BfD—C方向勻速運動，P點運動速度為1cm/s.圖2是點尸運動時，AAPC的面積y

(cm2)隨尸點運動時間x(s)變化的函數(shù)圖像.

(1)/3=_cm,a=_；

(2)尸點在AD上運動時，x為何值時，四邊形ADCP的面積為?百；

(3)在尸點運動過程中，是否存在某一時刻使得△/依為直角三角形，若存在，求x的值;

若不存在，請說明理由.

(24-25八年級?全國?課后作業(yè))

25.已知點尸，。分別在菱形/BCD的邊BC，CO上運動(點p不與8,C重合)，且

ZPAQ=AB.

圖①

(1)如圖①，若AP工BC,求證:

(2)如圖②，若NP與不垂直,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請

說明理由.

(24-25八年級?廣東廣州?期中)

26.已知菱形中，/ABC=60。，點P為菱形內(nèi)部或邊上一點.

試卷第10頁，共27頁

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若點P在對角線2D上運動，以4P為邊向右側(cè)作等邊點￡在菱形

內(nèi)部或邊上，連接CE,求證：BP=CE.

(2)如圖2,若點尸在對角線AD上運動，以/P為邊向右側(cè)作等邊點￡在菱形/8O

的外部，若/8=4,DP=1,求CE；

(3)如圖3,若N4PB=60°,點E,尸分別在4尸，BP上,且/￡=8尸，連接/尸，EF,

N4FE=30。，求證：AF2+FE2=AB2.

(24-25八年級?江蘇徐州?期中)

27.如圖，四邊形4BCZ1為平行四邊形，延長/。到點E,使DE=4D,且BELDC.

⑴求證：四邊形OBCE為菱形；

(2)若△OBC是邊長為1的等邊三角形，點尸、M、N分別在線段。C、DE、CE上運動，

求PM+PN的最小值.

(24-25八年級?河北廊坊?期中)

28.如圖，在菱形N8CD中，44=60。，E,尸分別是邊42、8C上的點，且/瓦才'=60。.

(1)若點￡是的中點，則。E與DF之間的數(shù)量關(guān)系為；

(2)若點￡不是的中點，判斷DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

(3)若48=4,直接寫出AE。尸周長的最小值；

試卷第11頁，共27頁

(4)當點E在42邊上運動時，小亮發(fā)現(xiàn)，四邊形?！?廠的面積保持不變，請你幫助小亮驗證

他的發(fā)現(xiàn).

(24-25八年級?遼寧沈陽?期末)

29.如圖1,已知△4BD當△CBD,AB=4D,CB=CD,點、E仄點、A出發(fā),沿的方

向以lcm/s的速度勻速運動到點B.圖2是點E運動時AEBC的面積Men?)隨時間x(s)變

化的關(guān)系圖象.

圖1圖2

(1)BD=；

⑵求。的值.

(24-25八年級?重慶北硝?期中)

30.如圖，在菱形N8C。中，AB=6,N/=60。.點、P,。分別以每秒2個單位長度的速度

同時從點/出發(fā)，點P沿折線/—C方向勻速運動，點0沿折線/fB-?C方向勻速

運動，當兩者相遇時停止運動.設(shè)運動時間為x秒，點尸，。的距離為外

⑴請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);

⑶結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出當y?4時％的取值范圍.

【題型4與正方形有關(guān)的動點問題】

(24-25?山東臨沂?八年級期末)

試卷第12頁，共27頁

31.在正方形中，E是5c邊上一點(點￡不與點8,C重合)，AELEF,垂足為點

E,EF與正方形的外角ZDCG的平分線交于點F.

圖1圖2

(1)如圖1,若點￡是8c的中點，猜想/￡與斯的數(shù)量關(guān)系是；證明此猜想時，

可取的中點尸，連接EP,根據(jù)此圖形易證A/E尸絲△￡人?,則判斷的依

據(jù)是.

(2)點E在3c邊上運動，如圖2,(1)中的猜想是否仍然成立？請說明理由.

(24-25八年級?廣東廣州?期中)

32.如圖，在正方形/BCD中，點/在CD邊上，點N在正方形/BCD外部，且滿足

ZCMN=90°,CM=MN,連接NN,CN,取NN的中點E,連接BE,AC,交于下點.

(1)依題意補全圖形;

(2)求N/5E的度數(shù)；

⑶設(shè)48=2,若點〃沿著線段從點C運動到點。，則在該運動過程中，線段所掃

過的面積為多少？

(24-25八年級?河南周口?期末)

33.正方形的邊長為4,點￡從點8出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿5c向點C

運動.AE交BD于點、F,OGLNE于點G,/DGE的平分線GH分別交8D,CD于點尸,

H,連接FH,FC.設(shè)點E的運動時間為J

(1)在點E的運動過程中，/D//G與NDPC有什么數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；

(2)當NE把正方形/BCD的面積分成1:2兩部分時，請直接寫出f的值.

試卷第13頁，共27頁

D

H

BEC

（24-25八年級?山西太原?期中）

34.綜合與實踐

問題情境

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“大小不等的兩個正方形”為主題開展數(shù)學活動，如圖

1,現(xiàn)有一個邊長為6cm的正方形/BCD,點E從對角線/C的點A出發(fā)向點C運動，連接旗

并延長至點尸，使EF>4B,以E尸為邊在跖右側(cè)作正方形EFGH,邊E"與射線DC交

于點〃.

圖1備用圖1

操作發(fā)現(xiàn)

（1）點E在運動過程中，判斷線段8E與線段EN之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

實踐探究

（2）在點￡的運動過程中，某時刻正方形/BCD與正方形EFG"重疊的四邊形的面

積是16cm2,求此時AE的長；

探究拓廣

（3）請借助備用圖2,探究當點E不與點A,C重合時，線段EC與之間存在的

數(shù)量關(guān)系，請直接寫出.

試卷第14頁，共27頁

備用圖2

（24-25八年級?山東煙臺?期中）

35.如圖，正方形ABCD中，對角線/C=8（?.射線NEUC,垂足為4.動點P從點C出

發(fā)在◎上運動，動點。從點/出發(fā)在射線/尸上運動，兩點的運動速度都是2c/?/s.若兩

點同時出發(fā)，多少時間后，四邊形尸是特殊四邊形？請說明特殊四邊形的名稱及理由.

（24-25八年級?河南安陽?期末）

36.【問題情境】數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖，在正方形/BCD中，E是邊2c

上一動點（點E與點B,。不重合），連接4E,作￡尸與正方形的外角乙DCG

的平分線交于尸點.

圖1圖2圖3備用圖

【思考嘗試】（1）如圖1,當E是邊8c的中點時,觀察并猜想AE與EP的數(shù)量關(guān)系:；

【實踐探究】（2）小王同學受問題（1）的啟發(fā)，提出了新的問題：如圖2,在正方形/BCD

中，若E是邊上一動點（點￡與點8,C不重合），那么問題（1）中的結(jié)論是否仍然成

立？請說明理由；

【拓展遷移】（3）小李同學深入研究了小王同學提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點:

如圖3,在正方形ABCD中，當E在邊上運動時（點￡與點B,C不重合），連接。尸，

AP.若知道正方形的邊長，則可以求出△ADP周長的最小值.當月2=4時，請你直接寫出

△40尸周長的最小值：.（說明：備用圖中C/是外角ZDCG的平分線）

試卷第15頁，共27頁

(24-25八年級?吉林四平?期中)

37.如圖1,在△4BC中，Z5=9O°,AB=BC=2.動點尸從點A出發(fā)，以每秒1個單位

的速度沿線段向終點8運動，過點P作PEL48交NC于點E.以PE為一邊向右作正方

形PEFG.設(shè)點尸的運動時間為/秒.正方形尸母'G與△NBC重疊部分圖形的面積為S.

圖1圖2

⑴當t時，5=；

(2)當點尸落在8c上時，t=；

3一

⑶當f=5時，在圖2中畫出圖形，并求出S的值；

(4)連接CF,當4CE尸是等腰三角形時，直接寫出/的值.

(24-25八年級?山東濟南?期末)

38.已知四邊形4BCD是邊長為8cm的正方形，P,0是正方形邊上的兩個動點，點P從點

A出發(fā)，以2cm/s的速度沿8fC方向運動，點0同時從點。出發(fā)以lcm/s速度沿DfC

方向運動.設(shè)點尸運動的時間為《。</<8).

(1)如圖1,點尸在A8邊上，PQ，4C相交于點。，當PQ,NC互相平分時，求才的值;

(2)如圖2,點尸在邊上，AP,80相交于點，，當4PL30時，求才的值.

(24-25八年級?吉林?階段練習)

39.如圖，已知正方形/8CZ)的邊長為16,

===點尸為正方形邊上的動點，動點尸

試卷第16頁，共27頁

從點A出發(fā)，沿著運動到。點時停止，設(shè)點P經(jīng)過的路程為范^/尸。的面

積為九

備用圖

(1)當x=4時，y=；

⑵當點尸在邊8c上運動時，夕=；

⑶若點￡是邊8c上一點且CE=6,連接?！?是否存在一點P,使得△DCE與ABCP全

等？若存在，求出此時無的值；若不存在，請說明理由.

(24-25八年級?吉林?期中)

40.如圖，AC為正方形4BCD的對角線，AB=4.動點尸、0分別從點/、C同時出發(fā),

均以每秒2個單位長度的速度分別沿42、CD向終點8、。運動.連接尸。交NC于點O,

過點。作OE，尸。交邊AD于點E.設(shè)點P運動的時間為f秒.

(1)當點P運動到邊43的中點時，四邊形。石。0的面積為；

⑵連接PC,求證：四邊形/PC。是平行四邊形；

⑶求四邊形APOE的面積；

(4)當。4將四邊形/尸OE分成面積比為2:3兩部分時，直接寫出/的值.

【題型5與梯形形有關(guān)的動點問題】

(24-25八年級?吉林?期中)

41.如圖，在四邊形/8C。中，AD//BC,

ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,3C=26cm.點P從點/出發(fā)，以Icm/s的速度向點。

運動；點。從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點8運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時,

另一個動點也隨之停止運動.設(shè)點Q的運動時間為t(s).

試卷第17頁，共27頁

（1）當I=5時，P,。兩點之間的距離為cm；

（2）線段尸C與。0互相平分時，求f的值；

3

（3?為何值時，四邊形么尸。8的面積為梯形/BCD面積的歷？

（24-25八年級?山東濟寧?階段練習）

42.如圖，在梯形4BC。中，AD//BC,AD=9cm,BC=24cm,E是3c的中點.動點

產(chǎn)從點/出發(fā)沿AD向終點。運動，動點尸平均每秒運動1cm；同時動點。從點C出發(fā)沿

C8向終點3運動，動點。平均每秒運動2cm,當動點尸停止運動時，動點。也隨之停止

（1）當動點尸運動《0</<9）秒時，則PO=；（用含f的代數(shù)式直接表示）

（2）當動點。運動，秒時，

①若0</<6,則石。=；（用含f的代數(shù)式直接表示）

②若6</<9,則￡。=；（用含，的代數(shù)式直接表示）

⑶當運動時間f為多少秒時，以點尸，Q,D,E為頂點的四邊形是平行四邊形？

（24-25八年級?廣東廣州?期中）

43.如圖①，在必AABC中，已知//=90。,48=工。,6,戶分別是48、NC上的兩點，且

GF//BC.AF=2,BG=4.

（1）求梯形3CFG的面積；

（2）如圖②，有一梯形。斯G與梯形8CFG重合，固定△48C,將梯形DMG向右運動,

當點D與點C重合時梯形。斯G停止運動；

試卷第18頁，共27頁

①若某時段運動后形成的四邊形中，DG1BG',求運動路程2。的長，并求此時

GR2的值；

②設(shè)運動中BD的長度為x,試用含x的代數(shù)式表示梯形。斯G與重合部分面積S.

（24-25八年級?廣東廣州?期末）

44.如圖，在梯形ABCD+,N/=90。，AD//BC,AD=20cm,AB=8cm,

BC=26cm，動點尸從A點開始沿邊向。以1cm/秒的速度運動，動點。從C點開始沿CB

邊向8以3cm/秒的速度運動，尸、0分別從4C同時出發(fā)，當其中一點到端點時，另一點

也隨之停止運動，設(shè)運動時間為/秒.問：

/—>PD

BQ<——C

（1）月產(chǎn)的長度為_cm,尸〃的長度為_cm,（用t的式子表示），其中/的取值范圍為

⑵當/為何值時，四邊形尸2。。是平行四邊形，請說明理由；

（3）朱華同學研究發(fā)現(xiàn)：按以上變化，四邊形尸80。在變化過程中不可能為菱形，除非改變

動點的運動速度.請?zhí)骄咳绾胃淖?。點的速度（勻速運動），使四邊形尸2。。在某一時刻為

菱形，求此時點。的速度.

（24-25八年級?上海虹口?期末）

45.如圖，已知N/8尸=90。，/8=8,點C、E在射線8P上（點C、E不與點B重合且點

C在點E的左側(cè)），連接/C、AE,。為/C的中點，過點C作。尸〃交的延長線

（1）求證：四邊形48CF是梯形;

試卷第19頁，共27頁

(2)如果CE=5,當為等腰三角形時，求2C的長.

(24-25八年級?廣東惠州?期中)

46.如圖，梯形/BCD中，AD//BC,ABLCB,AB=6cm,5C=14cm,AD=8cm,點、E

為上一點，且4E=2cm,點尸為40上一動點，以彷為邊作菱形EFGH,且點〃落

在邊8c上，點G在梯形的內(nèi)部或邊CD上，設(shè)/尸=xcm.

⑴直接寫出CD的長與ZDCB的度數(shù).

(2)在點尸運動過程中，是否存在某個x的值，使得四邊形EFGH為正方形？若存在，請求

出x的值；若不存在，請說明理由.

⑶若菱形EFG”的頂點G恰好在邊CD上，則求出此時x的值.

(24-25八年級?上海?專題練習)

47.如圖1,梯形/3CZ)中，AD//BC,zB=9Q0,4)=18,8c=21.點尸從點N出發(fā)

沿以每秒1個單位的速度向點D勻速運動，點。從點C沿CB以每秒2個單位的速度向

點8勻速運動.點P、。同時出發(fā)，其中一個點到達終點時兩點停止運動，設(shè)運動的時間為

f秒.

圖1備用圖

⑴當48=10時，設(shè)/、B、0、尸四點構(gòu)成的圖形的面積為S,求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式,

并寫出定義域；

試卷第20頁，共27頁

（2）設(shè)￡、F為4B、CO的中點，求四邊形尸尸是平行四邊形時/的值.

（24-25八年級?山東淄博?期末）

48.如圖，在直角梯形中，AD//BC,Z5=9O°,AB=8cm,AD=24cm,

BC=26cm,動點尸從點/開始沿4D邊向點。以Icm/s速度運動，動點0從點C開始沿

C8邊向點8以3cm/s的速度運動.點P、。分別從點/、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點

時，另一點隨之停止運動.設(shè)運動時間為/秒.求：

（1W為何值時，四邊形尸。CD為平行四邊形？

（2）f為何值時，四邊形/2QP為矩形？

（3）是否存在f,使梯形N80P的面積為24cm2?若存在請求出，若不存在請說明理由.

（24-25八年級?廣東惠州?期中）

49.如圖，梯形/8CD中，AD//BC,ABLCB,AB=6cm,BC=14cm,AD=8cm,點、E

為上一點，且NE=2cm；點廠為4D上一動點，以所為邊作菱形EFG8,且點反落在

邊8c上，點G在梯形的內(nèi)部或邊。上，設(shè)4/=xcm.

（1）直接寫出CD的長與/DC8的度數(shù)：CD=,ZDCB=；

（2）在點尸運動過程中，是否存在某個x的值，使得四邊形EFG"為正方形？若存在，請

求出x的值；若不存在，請說明理由；

（3）若菱形E/G”的頂點G恰好在邊CZ）上，則求出點G在CA上的位置和此時x的值.

（24-25八年級?海南?？?期中）

50.如圖，在直角梯形ABCD中，ADIIBC,N8=90。，AD=6,BC=8,/嬲后礴，點M

試卷第21頁，共27頁

是BC的中點.點P從點M出發(fā)沿MB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，到達點B

后立刻以原速度沿BM返回；點Q從點M出發(fā)以每秒1個單位長的速度在射線MC上勻速

運動.在點P,Q的運動過程中，以PQ為邊作等邊三角形EPQ,使它與梯形ABCD在射線

BC的同側(cè).點P,Q同時出發(fā)，當點P返回到點M時停止運動，點Q也隨之停止.

設(shè)點P,Q運動的時間是t秒(t>0).

(1)設(shè)PQ的長為y,在點P從點M向點B運動的過程中，寫出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式

(不必寫t的取值范圍).

(2)當BP=1時，求4EPQ與梯形ABCD重疊部分的面積.

(3)隨著時間t的變化，線段AD會有一部分被aEPQ覆蓋，被覆蓋線段的長度在某個時

刻會達到最大值，請回答：該最大值能否持續(xù)一個時段？若能，直接寫出t的取值范圍；若

不能，請說明理由.

【題型6平面直角坐標系中與特殊四邊形有關(guān)的動點問題】

(24-25八年級?甘肅定西?階段練習)

51.如圖，平行四邊形0/3C的頂點O為坐標原點，/點在x軸正半軸上，ZCOA=60°,

OA=10cm,OC=4cm,點P從C點出發(fā)沿C8方向，以lcm/s的速度向點8運動；點0

從/點同時出發(fā)沿方向，以3cm/s的速度向原點運動，其中一個動點達到終點時，另一

⑵從運動開始，經(jīng)過多少時間，四邊形。CP0是平行四邊形；

⑶在點P、0運動過程中，四邊形0cp。有可能成為菱形嗎？若能，求出運動時間；若不能,

試卷第22頁，共27頁

請說明理由.

（24-25八年級?浙江金華?期中）

52.如圖，在平面直角坐標系中，矩形043c的頂點43的坐標分別為4（0,4）,8（8,4）,

點。為對角線08中點，點￡在x軸上運動，連接。E,把AOAE沿翻折，點。的對應

點為點尸，連接B尸.

⑵當點尸落在矩形的某條邊上時，求取的長.

⑶是否存在點E,使得以DE,F,8為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點E的坐

標；若不存在，請說明理由.

（24-25八年級?江蘇揚州?階段練習）

53.已知，如圖，。為坐標原點，四邊形O/8C為矩形，^（10,0）,。（0,3）,點。是。/的

中點，動點尸在線段上以每秒2個單位長的速度由點C向B運動.設(shè)動點尸的運動時間

⑵在直線C8上是否存在一點。，使得。、D、°、尸四點為頂點的四邊形是菱形？若存在,

求/的值，并求出。點的坐標；若不存在，請說明理由；

⑶在線段尸B上有一點M且尸M=5,直接寫出四邊形。尸的周長的最小值并在圖上畫

圖標出點河的位置，

（24-25八年級?安徽阜陽?期中）

試卷第23頁，共27頁

54.如圖，在菱形CM3C中，。為坐標原點，點/的坐標為（6,0）,ZCOA=60°.動點尸

從點/出發(fā)，沿著射線以每秒3個單位長度的速度運動，動點。從點C出發(fā)，沿著射

線C2以每秒1個單位長度的速度運動.點尸，。同時出發(fā)，設(shè)運動時間為f?>0）秒.

（1）求點C的坐標.

⑵當”1時，求△尸。。的面積.

⑶試探究在點P,。運動的過程中，是否存在某一時刻，使得以C,O,P,0四點為頂點

的四邊形是平行四邊形?若存在，請求出此時/的值與點。的坐標；若不存在，請說明理由.

（24-25八年級?江蘇無錫?期中）

55.如圖，正方形CMBC的頂點。在坐標原點，定點/的坐標為（4,3）.

（1）求正方形。48c頂點C的坐標為（_,_）頂點3的坐標為（_,_）；

（2）現(xiàn)有一動點尸從C點出發(fā)，沿線段C3向終點8運動，尸的速度為每秒1個單位長度，同

時另一動點0從點/出發(fā)沿N—O-C向終點C運動，速度為每秒左個單位長度.設(shè)運動時

間為2秒時，將三角形。尸。沿它的一邊翻折，若翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱

形，求人的值.

（24-25八年級?江蘇揚州?期末）

56.如圖，在平面直角坐標系xQy中，矩形043c的頂點2坐標為（12,5）,點。在C8邊上

從點C運動到點8,以為邊作正方形/OE產(chǎn)，連BE、BF,在點。運動過程中，請?zhí)?/p>

究以下問題：

試卷第24頁，共27頁

(1)若48跖為直角三角形，求此時正方形NDE尸的邊長；

(2)的面積是否改變，如果不變，求出該定值；如果改變，請說明理由；

(3)設(shè)E(xj),直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍.

(24-25八年級?江蘇無錫?期中)

57.如圖，正方形0N3C的頂點8的坐標為(2,-2),。(刃,0)為x軸上的一個動點(">2),

以80為邊作正方形8DEF,點E在第四象限.

(1)線段CD的長為(用m的代數(shù)式表示).

(2)試判斷線段與CF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶設(shè)正方形ADE尸的對稱中心為M,直線CM交y軸于點G.隨著點。的運動，點G的位

置是否會發(fā)生變化？若保持不變，請求出點G的坐標；若發(fā)生變化，請說明理由.

(24-25八年級?福建福州?期中)

58.如圖①所示，以正方形N8CO的點。為坐標原點建立平面直角坐標系，其中線段。4

在y軸上，線段OC在x軸上，其中正方形/8C。的周長為16.

圖①圖②圖③

試卷第25頁，共27頁

⑴直接寫出3、C兩點坐標；

(2)如圖②，連接。2,若點P在y軸上，且國88=25〃?！?求尸點坐標.

(3)如圖③，若02//L區(qū)點尸從點。出發(fā)，沿x軸正方向運動，連接尸貝Ij/OAP,

NDEP,—APE三個角之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系(不考慮點尸與點。，D,C重合的情

況)？并說明理由.

(24-25八年級?江蘇宿遷?期中)

59.)如圖，正方形O48C的邊0/,0c在坐標軸上，點B的坐標為(-3,3).點尸從點A出

發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿x軸的正方向運動；點。從點。同時出發(fā)，以相同的速度

沿x軸的正方向運動，連接過尸點作的垂線，與過點。平行于了軸的直線/相交于

點、D.3。與了軸交于點E,連接尸￡,設(shè)點尸運動的時間為Ms).

(D/E8P的度數(shù)為，點D的坐標為(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當f=l時，平面內(nèi)是否存在點使以點P、D、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形,

若存在，請直接寫出點”的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)在整個運動過程中，判斷線段尸E、NP與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(24-25八年級?吉林四平?期末)

60.如圖1,四邊形N8CD為菱形，ZABC=120°.S(-V3,0),C(V3,0),￡>(0,3).

(1)點/坐標為四邊形/8OD的面積為」

(2)如圖2,點E在線段/C上運動，力EF為等邊三角形.

①求證：AF=BE,并求4月的最小值；

試卷第26頁，共27頁

②點￡在線段NC上運動時，點尸的橫坐標是否發(fā)生變化？若不變，請求出點尸的橫坐

標.若變化，請說明理由.

試卷第27頁，共27頁

1.c

【分析】記/c、尸。相交于點。，過點。做于點P,以尸N,尸C為鄰邊作平行

四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)可知。是中點，P。最短也就是PO最短，當尸0^/8時P。最

短，即尸與P重合，然后根據(jù)等腰三角形和含30。角的直角三角形的性質(zhì)即可求出尸。的最

小值.

【詳解】解：記NC、尸。相交于點。，過點。做。于點P,

???四邊形/0C尸是平行四邊形,

，要尸。最短就是尸。最短，當尸。_L48時尸。最短,

即P與P'重合,

AB=AC=2,ZB=75°,

：.^ABC是等腰三角形,

...N胡C=180°-2N5=30°,

AO=CO=-AC=1,

2

根據(jù)直角三角形中30。角對應的邊等于斜邊的一半,

:.OP'=-AO=~,

22

尸。最小值=20尸'=1,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形、等腰三角形性質(zhì)以及垂線

段最短的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是適當輔助線構(gòu)造含30。角的直角三角形.

2.C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì),

由等腰三角形的性質(zhì)可得=ZC,由平行線的性質(zhì)可得=NCHK=NB,進

而得到ZBKQ=ZB,ZCHK=ZC,即得3Q=K0,KH=CH,由平行四邊形的性質(zhì)可得

KQ=AH,即可得到陋+爪2=。//+///=/。，AQ+QK=AQ+BQ,

AC-AQ=AB-AQ=BQ,據(jù)此可判斷求解，掌握等腰三角形和平行四邊形的性質(zhì)是解題

答案第1頁，共101頁

的關(guān)鍵.

【詳解】解：???4B=ZC,

:"B=NC,

■:KQ//AC,KH〃AB,

.-.ZB