變換法解決題目及答案變換法是一種數(shù)學(xué)解題技巧，它通過改變題目中的某些元素或條件，使得問題變得更容易解決。以下是一些使用變換法解決的題目及其答案：1.題目：求解方程\(x^2-5x+6=0\)。答案：首先，我們可以通過因式分解來變換這個(gè)二次方程。方程可以分解為\((x-2)(x-3)=0\)。這樣，我們可以直接得到兩個(gè)解：\(x=2\)和\(x=3\)。2.題目：一個(gè)長方形的長是寬的兩倍，如果寬增加2米，長減少2米，面積不變，求原來長方形的長和寬。答案：設(shè)原來長方形的寬為\(w\)米，那么長為\(2w\)米。根據(jù)題意，新的長方形的長為\(2w-2\)米，寬為\(w+2\)米，且面積不變。因此，我們有方程\(w(2w)=(2w-2)(w+2)\)。展開并簡化得到\(2w^2=2w^2+4w-2w-4\)，進(jìn)一步簡化得到\(0=4w-4\)，解得\(w=1\)米。因此，原來的寬為1米，長為\(2\times1=2\)米。3.題目：計(jì)算\(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^n}\)的和。答案：這是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)\(a=\frac{1}{2}\)，公比\(r=\frac{1}{2}\)。等比數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式為\(S_n=a\frac{1-r^n}{1-r}\)。將\(a\)和\(r\)的值代入公式，得到\(S_n=\frac{1}{2}\frac{1-(\frac{1}{2})^n}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}\)。4.題目：證明對于任意正整數(shù)\(n\)，\(1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2\)。答案：左邊是前\(n\)個(gè)自然數(shù)的立方和，右邊是前\(n\)個(gè)自然數(shù)的和的平方。我們可以通過數(shù)學(xué)歸納法來證明這個(gè)等式。首先，當(dāng)\(n=1\)時(shí)，等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)\(n=k\)時(shí)等式成立，即\(1^3+2^3+\ldots+k^3=(1+2+\ldots+k)^2\)。那么當(dāng)\(n=k+1\)時(shí)，左邊變?yōu)閈(1^3+2^3+\ldots+k^3+(k+1)^3\)，根據(jù)歸納假設(shè)，這等于\((1+2+\ldots+k)^2+(k+1)^3\)。右邊變?yōu)閈((1+2+\ldots+k+(k+1))^2=((1+2+\ldots+k)+(k+1))^2\)。展開右邊，我們得到\((1+2+\ldots+k)^2+2(1+2+\ldots+k)(k+1)+(k+1)^2\)。注意到\(2(1+2+\ldots+k)(k+1)=2(k+1)(1+2+\ldots+k)=2(k+1)\frac{k(k+1)}{2}=k(k+1)^2\)，所以右邊等于\((1+2+\ldots+k)^2+(k+1)^3\)，這與左邊相等，因此等式對\(n=k+1\)也成立。由數(shù)學(xué)歸納法，等式對所有正整數(shù)\(n\)成立。5.題目：一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本是10元，售價(jià)是15元，每售出一件產(chǎn)品，工廠可以獲得5元的利潤。如果工廠想要獲得10000元的利潤，需要售出多少件產(chǎn)品？答案：設(shè)需要售出的產(chǎn)品數(shù)量為\(x\)件。根據(jù)題意，每件產(chǎn)品的利潤是5元，所以總利潤是\(5x\)元。我們需要解方程\(5x=10000\)，解得\(x=2000\)。因此，工廠需要售出2000件產(chǎn)品才能獲得10000元的利潤。6.題目：一個(gè)數(shù)列\(zhòng)(a_1,a_2,a_3,\ldots\)滿足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)對于所有\(zhòng)(n\geq1\)。求\(a_{10}\)的值。答案：我們可以通過遞推關(guān)系來求解這個(gè)數(shù)列。首先，\(a_1=1\)。然后，\(a_2=2a_1+1=2\times1+1=3\)。接著，\(a_3=2a_2+1=2\times3+1=7\)。以此類推，我們可以計(jì)算出\(a_4=15\)，\(a_5=31\)，\(a_6=63\)，\(a_7=127\)，\(a_8=255\)，\(a_9=511\)，最后\(a_{10}=1023\)。7.題目：一個(gè)圓的半徑為\(r\)，求圓的面積。答案：圓的面積公式是\(A=\pir^2\)。這是一個(gè)直接應(yīng)用公式的問題，不需要變換。8.題目：一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是3，公差是2，求第10項(xiàng)的值。答案：等差數(shù)列的第\(n\)項(xiàng)公式是\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(a_1\)是首項(xiàng)，\(d\)是公差。將\(a_1=3\)，\(d