第1講中點(diǎn)的聯(lián)想

模塊1本質(zhì)原理

提到中點(diǎn)，在整個(gè)初中的概念中有：三角形中線、斜邊中線、中位線、中垂線、圓中弦、倍長中線、中點(diǎn)坐標(biāo)

公式等；如果具體到應(yīng)用場(chǎng)景里面，實(shí)際上只有5類：等腰三角形中，三線合一；直角三角形中，斜邊中線；雙中

點(diǎn)，中位線；轉(zhuǎn)移邊角，倍長中線；計(jì)算輔助，中點(diǎn)坐標(biāo)公式.

下面讓我們一個(gè)一個(gè)來看（表1.1）.

續(xù)表

模塊2場(chǎng)景演練

模型的識(shí)別：三線合一

表1.2

已知輔助線圖示核心結(jié)論

①DC=DB,AD_LBC,NCAD=/BAD;②AB=AC,

以上四個(gè)條件：矢口

AB=ACDC=DB,AD±BC,ZCAD=ZBAD,

二推二.（嘗試自己推導(dǎo)下）

1.如圖1,1所示，在△ABC中,AB=AC,D,E是4ABC內(nèi)兩點(diǎn),AD平分/BAC,NEBC=NE=60。,若BE=6cm,DE

=2cm廁BC=cm.

A

2.如圖1.2所示，在△ABC中,AB=AC點(diǎn)D,E,F分別在BC,AB,AC上，且BD=CF,BE=CD,G是EF的中點(diǎn).求證:

DG±EF.

3.如圖L3所示，已知等邊△ABC的邊長為4,延長BC至點(diǎn)D,E在AB上，使AE=CD,連接DE,交AC于點(diǎn)F,

過E作EGJ_AC于點(diǎn)G,貝［|(GF=

BCD

圖1.3

4.如圖1.4所示，在AABC中，Z.B=60。,延長BC到點(diǎn)D,延長BA到點(diǎn)E,使AE=BD,連接CE,DE,使EC=

DE..求證：△ABC是等邊三角形.

模型的識(shí)別：斜邊中線

見表1.3.

表1.3

5.如圖1.5(a)所示,在銳角△ABC中,CD,BE分別是AB,AC邊上的高,M,N分別是線段BC,DE的中點(diǎn).

(1)求證:MN_LDE.

⑵連接DM.ME.

①猜想/DME與/ABE之間的關(guān)系:;

②猜想/BAC與NDME之間的關(guān)系:.

(3)當(dāng)NBAC變?yōu)殁g角時(shí)，如圖1.5(b)所示，上述⑴(2)中的結(jié)論是否都成立?若成立，不用證明；若不成立，說

明理由.

模型的識(shí)別：中位線

見表1.4.

結(jié)論：△EFG為等腰三角形.

證明:連接BD,取BD的中點(diǎn)

在四邊形ABCD中,AB=CD,點(diǎn)E,F分別為

G,連接EF,EG,GF,所以EG=|A

AD,BC的中點(diǎn)

B,GF=|CD,I即GE=GF.S^AEFG

為等腰三角形

輔助線圖示核心結(jié)論

結(jié)論：四邊形EFGH為平行四邊形.

點(diǎn)E,F,G,H分別為四

證明:連接AC,BD,由題意得EF〃AC,EF=|A

邊形ABCD的邊AB,BC,C

C,GH〃AC,GH=*,所以EF〃GH,EF=GH,

D,DA的中點(diǎn)

故四邊形EFGH為平行四邊形

類型1:中位線的性質(zhì)

6.如圖1.6所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)點(diǎn)E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),AD=BC,NCBD=

30°,/ADB=100°,貝!］乙PFE=

7.如圖1.7所示，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),BD^CD,AD=11,BD=8,CD=6,點(diǎn)E,F,G,H分別是AB,AC,CD,B

D的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是_________.

A

8.如圖1.8所示，在四邊形ABCD中，乙4=90°,AB=8,AD=6,點(diǎn)MN分別為線段BC,AB上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn),

但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)E,F分別為DM,MN的中點(diǎn)則EF長度的最大值為.

9.如圖1.9所示點(diǎn)E,F,G,H分別為四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn).

⑴對(duì)角線AC與DB滿足________時(shí),四邊形EFGH是菱形.

⑵對(duì)角線AC與DB滿足________時(shí),四邊形EFGH是矩形.

(3)對(duì)角線AC與DB滿足________時(shí),四邊形EFGH是正方形.

D

G

C

圖1.9

類型2:中位線的構(gòu)造

10.如圖1.10所示在AABC中，AACB=60。,"=1,D是邊AB的中點(diǎn),E是邊BC上一點(diǎn).若DE平分△

2BC的周長,貝UDE的長是.

11.如圖1.11所示，在RtAABC中，乙4cB=90。,AC=BC=5,點(diǎn)E,F分別在CA,CB上，且CE=CF=1,點(diǎn)

M,N分別為AF,BE的中點(diǎn)，則MN的長為

CA

圖LU

12.(1)如圖1.12(a)所示，在四邊形ABCD中.E,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，連接FE并延長，分別與BA,CD的延長線

交于點(diǎn)M,N,/BME=/CNE.求證:AB=CD.

⑵如圖1.12(b)所示，在△ABC中,O是BC邊的中點(diǎn),D是AC邊上一點(diǎn),E是AD的中點(diǎn)，直線0E交BA的延

長線于點(diǎn)G.若AB=DC=5,NOEC=60。廁OE=.

圖1.12

模型的識(shí)別：倍長中線

表1.5

已知輔助線圖示核心結(jié)論

延長AD至點(diǎn)E,使DE=AD廁：

類型1：倍長中線?△BDE^ACDA.

②AC〃:BE.

(倍長三角形中線)

本質(zhì)：通過構(gòu)造一對(duì)旋轉(zhuǎn)型全等三角形，實(shí)

BD=CD

現(xiàn)邊和角的轉(zhuǎn)移

已知輔助線圖示核心結(jié)論

13.如圖1.13所示，在△ABC中,D為BC的中點(diǎn)若AB=5,AC=3廁AD的取值范圍是,

14.如圖1.14所示，在AABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點(diǎn)，延長BE交AC于點(diǎn)F,.4尸=EF.求

證：4C=BE.

圖1.14

類型2:單次全等的類倍長中線

15.如圖1.15所示，在正方形ABCD中,AD\\BC,E為AB邊的中點(diǎn),G,F分別為AD,BC邊上的點(diǎn)，且AG=1,

BF=2,GE，EF,,則GF的長為—

D_________________1c

AEB

圖1.15

16.如圖1.16所示，已知乙4==LCDF,C為BE的中點(diǎn)，EFIMB.求證：EF+DF=AB.

A

'B

圖1.16

類型3:雙次全等的倍長中線

17.如圖1.17所示在AABC中，AB=AC,,CE是AB邊上的中線，延長AB到點(diǎn)D,使BD=4B..求證：CD

=2CE.

18.如圖1.18所示，在AABC中，分別以AB,AC為邊長，向三角形的外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG,

猊為BC的中點(diǎn).求證：EG=2AM.

圖1.18

19.如圖1.19所示，Z.BAC=^DAE=90°?M是BE的中點(diǎn)，AB=AC,AD=4E.求證：AM^CD.

圖1.19

20.如圖1.20所示，AB=12,AB回BC,垂足為點(diǎn)B,AB^\AD,,垂足為點(diǎn)A,AD=5,BC=10,,點(diǎn)E是CD

的中點(diǎn)，則.AE=_.

C

圖1.20

21.如圖1.21所示，在△A8C中,BD=CD,sinABAC=tan/ZMC.若AB=3,AC=1廁BC的長為

22.如圖1.22所示，△力BC,aCDE均為等腰直角三角形連接AE,F為AE的中點(diǎn)連接BF,FD.求證：BF=FD

且BF1FD.

BD

圖1.22

第1講中點(diǎn)的聯(lián)想

1.8.

如圖J1.1所示延長ED交BC于點(diǎn)M,延長AD交BC于點(diǎn)N.

因?yàn)锳B=AC,AD平分/BAC,所以AN±BC,BN=CN.

又乙EBC=NE=60°,,因此△BEM為等邊三角形.

因?yàn)锽E=6,DE=2,所以DM=4.

因?yàn)椤鰾EM為等邊三角形,所以/EMB=60。,又ANJ_BC,即.乙DNM=90。廁乙NDM=30。,,所以NM=2,B

N=4,故BC=2BN=8.

2.如圖JL2所示，連接ED,DF.

因?yàn)锳B=AC,所以/B=/C,易證AEDB=△DFC(SAS),所以DE=DF.

又G是EF的中點(diǎn)所以DGXEF.

如圖JL3所示，過點(diǎn)E作EH〃BC交AC于點(diǎn)H.易證AEHF三ADCF廁HF=FC.又△為等邊三角形且

EG_LAC,所以AG=GH,故GF=|"=2.

4.如圖J1.4所示，作EFXCD交CD于點(diǎn)F.

設(shè)CF=FD=a,BC=b，所以AE=2a+b.

在RtAEBF中,NB=60。,所以.乙BEF=30°.

因?yàn)锽F=a+b,所以BE=2a+2b,又AE=2a+b,貝！jAB=b.

因?yàn)锳B=BC=b,NB=60。,所以△ABC為等邊三角形.

E

5.⑴如圖JL5(a)所示，連接DM,ME.

因?yàn)镃D,BE分別是AB,AC邊上的高,M是BC的中點(diǎn)，所以DM=ME=匏。又因?yàn)镹為DE的中點(diǎn)，所以

MNXDE.

(2)①因?yàn)镸D=MB=ME=MC,所以B,D,E,C四點(diǎn)共圓，故/DME=2NABE.

②在RtAABE中,/BAC+/ABE=90。,所以^BAC+^DME=90",BPZDME=180°-2ZBAC.

(3)(2)中結(jié)論②不成立，其余均成立.理由如下：

如圖JL5(b)所示，連接DM,ME.

因?yàn)镸D=MB=ME=MC,所以B,D,E,C四點(diǎn)共圓，故/DME=2/ABE.

對(duì)于RtAABE,利用外角性質(zhì)可得/BAC=/ABE+90。,所以ABAC=；-Z-DME+90°,BPZDME=2ZBAC-180°.

A

D

MCBMc

(a)(b)

圖JI.5

6.35°.

易得PEABD的中位線，所以PE=TAD,PE|MDJJ1L|NEPD=18O。-ZADB=

80°,同理可得PF=2BC,PF||BC,所以乙FPD=LCBD=30。,故乙EPF=Z.EPD+ZFPD=110°.

因?yàn)锳D=BC,所以PE=PF,故4PFE=|x(180°-110")=35。.

7.21.

利用勾股定理求出BC=10，再根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)求出EH=FG=\AD,EF=GH=”&然后代入數(shù)據(jù)

計(jì)算即可.

8.5.

連接DN,22EF=DN<BD=\/AB2+AD2=10.

9.⑴當(dāng)AC=DB時(shí),EF=EH,所以四邊形EFGH為菱形.

(2)當(dāng)AJBD時(shí),EFLEH,所以四邊形EFGH為矩形.

⑶當(dāng)AC=DB,AC，BD時(shí),EF=EH,EF，EH,所以四邊形EFGH為正方形.

10.—.

2

如圖J1.6所示延長BC至點(diǎn)M,使CM=CA,連接AM,作CNXAM于點(diǎn)N.

因?yàn)镈E平分△ABC的周長,AD=DB,所以ME=EB,貝?。軩E=^AM,DE\\AM.

因?yàn)?ACB=60。,所以/ACM=120°.

因?yàn)镃M=CA,所以/ACN=6(T,AN=MN,則AN=AC-sinzXC/V=因此AM=母故DE=

11.2V2.

如圖J1.7所示，取AB的中點(diǎn)D,連接MD,ND,AE=BF=5-14.

因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為AF,BE的中點(diǎn)，所以DM為△ABF的中位線QN為△ABE的中位線，則DM=：BF=2

,DM\\BF,DN=^AE=2,DN\\AE.

又AELBF廁DMLDN,因止匕.△DMN為等腰直角三角形，故MN=正DM=2痘.

12.(1)如圖JL8(a)所示，連接BD,取DB的中點(diǎn)H,連接EH,FH.

因?yàn)镋,F分別是AD,BC的中點(diǎn)，所以EH\\AB,EH=^AB,FH\\CD,FH=貝!J/BME=NHEF,NCNE=N

HFE.

又/BME=/CNE,則HE=HF,故AB=CD.

(2)如圖JI.8(b)所示，連接BD,取DB的中點(diǎn)H,連接EH,OH.

因?yàn)锳B=CD,0是BC邊的中點(diǎn)，所以HO=HE,ZHOE=ZOEC.

又/OEC=60。,貝!!/HOE=/OEC=60。,因止匕△OEH是等邊三角形.

因?yàn)锳B=DC=5,所以O(shè)E=j.

圖JI.8

13.1<AD<4.

如圖JL9所示，延長AD至點(diǎn)E,使DE=AD.

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn),所以DB=CD,易證△ADCEDB廁BE=AC.

在小ABE中，因?yàn)锳B+BE>AE,所以AB+AO2AD,又AB=5,AC=3,貝！15+3>2AD,即AD<4.

由AB—BE<AE彳導(dǎo)AD>1,故1<AD<4.

圖JI.9

14.如圖JI.10所示，延長AD到點(diǎn)G,使DG=AD,連接BG.

因?yàn)锽D=CD,ZBDG=ZCDA,AD=GD,^TUXAADC義Z!\GDB廁AC=GB,ZG=ZCAD.

又AF=EF,所以/CAD=/AEF=NBED,貝!]NG=NBED,因止匕BE=BG,故AC=BE.

15.3.

延長GE與FB的延長線交于點(diǎn)H,易證△AEGgZ\BEH,從而得證4FGEg/XFHE,所以GF=FH=FB+BH=FB+G

A=3.

16.延長AC交EF的延長線于點(diǎn)H,易證△ACBgAHCE,所以AB=EH,/A=NH=/CDF,則ADFH為等腰三角

形，故EH=AB=EF+FH=EF+FD.

17.如圖JL11所示，延長CE到點(diǎn)F,使EF=CE,連接BF.

因?yàn)镃E是AB邊上的中線.所以AE=EB.

又因?yàn)镹AEC=ZBEF,CE=FE,所以△EBF烏△EAC(SAS),貝！]BF=AC=BD,/EBF=NA,于是/FBC=/F

BE+ZEBC=NA+ZACB=NDBC,因止匕4FBCgZ\DBC(SAS),故CD=CF=2CE.

圖JI.10

18.如圖J1.12所示.延長AM到點(diǎn)N,使MN=MA,連接NC.

因?yàn)镹AMB=NNMC,BM=CM,所以△ABM絲△NCM(SAS),則CN=AB=AE,NABM=NNCM,于是AB〃NC,

從而/ACN+/BAC=180。.又因?yàn)镹EAG+/BAC=180。,所以/EAG=/ACN.再由AG=CA,可得△EAGgZkNCA

(SAS),故EG=NA=2AM.

19.如圖J1.13所示.延長AM交DC于點(diǎn)H,要證明人乂，?口,實(shí)際上就是證明/人1?=90。根據(jù)BM=ME,可

以倍長中線AM到點(diǎn)F,連接BF交AD于點(diǎn)N,交CD于點(diǎn)O.

易證△AME0△FMB,則AE=FB,NEAF=NF,從而AE/7FB,ZANF=90°.

而/.CAD+/.DAB=90",^DAB+乙ABN=90°,故/.CAD=/ABN,從而ACAD=△ABF,故ND=NF.

而N。+4DON=4FOH+ZF=90。,,所以/人11口=90。,即AM±CD.

圖JI.12圖JI.13

20.—.

2

思路1倍長中線+勾股定理.

如圖J1.14所示延長AE交BC于點(diǎn)F.

因?yàn)辄c(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，所以DE=CE.

又AB_LBC,AB_LADjU(jAD〃BC,因止匕/ADE=ZBCE且1DE=CE./.AED=ZCEF,^AAED^AFEC(ASA),

貝?。軦D=FC=5,AE=EF,可彳導(dǎo)BF=BC-FC=5.

在RtAABF中，AF=7AB2+R”=居故力￡'=合=一.

思路2中位線+勾股定理.

如圖JL15所示延長DA至點(diǎn)F,使AF=AD,連接FC,過點(diǎn)F作FGLBC于點(diǎn)G.

因?yàn)辄c(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，所以AE=|FC.

因?yàn)锽C=10,AF=AD=BG=5,所以CG=5.

在RtACFG中,CF=s/CG2+FG2=13,故2E=?=葭.

思路3利用線段比1：2構(gòu)造相似三角形+勾股定理.

如圖JL16所示，連接BD.

因?yàn)樗{(lán)=需=”DC=NC,所以△ADEs^BCD,則^=|.

在RtAABD中，BD=^JAD2+AB2=13,故4E=芋=孩.

21.V6

思路1中點(diǎn)+中點(diǎn)，構(gòu)造中位線.

如圖J1.17所示過點(diǎn)D,B分別作DF，AE,BEJ_AE于點(diǎn)F,E.

設(shè)CF=EF=x,BE=2DF=2y廁AF=x+l,AE=2x+l.

因?yàn)閟inNBAC=tanNDAC,所以g=算即.=梟解得%=.則AE=2.

在RtAABE中，BE=<AB2-AE2=V5.

在RtABCE中，BC=y/BE2+CE2=V6.

思路2倍長中線+勾股定理.

如圖JL18所示延長AD至點(diǎn)E.使ED=AD,連接EB過點(diǎn)A作AFLEB延長線于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作AG〃BC

交EF于點(diǎn)G.

設(shè)FG=x,AF=y.

因?yàn)锳D=DE,DB=DC,ZADC=ZBDE,^TUZAADCdEDB(SAS)廁AC=BE=1,/CAD=/E,故AC〃EF.

因?yàn)镹BAC=/ABF,sin/BAC=tanNDAC,所以—=竺，即3=2+x,解得.x=1,則BF=2.

ABEF

在RtAABF中,AF=7AB2一BF2=V5.

在RtAAGF中，BC=AG=^JFG2+AF2=V6.

圖JI.17圖JI.1