2025年中考數(shù)學模擬試題（統(tǒng)計與概率提升）之中心極限定理與極限分布試卷一、選擇題1.下列關于中心極限定理的描述，正確的是（）A.中心極限定理適用于所有分布的隨機變量B.中心極限定理適用于連續(xù)型隨機變量C.中心極限定理適用于離散型隨機變量D.當樣本容量n足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布2.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），則隨機變量Y=aX+b的分布是（）A.正態(tài)分布B.二項分布C.泊松分布D.指數(shù)分布3.設隨機變量X的方差為σ^2，則隨機變量Y=aX+b的方差為（）A.a^2σ^2B.b^2σ^2C.a^2σ^2+b^2σ^2D.a^2σ^2-b^2σ^24.設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），則P（|X|≤1）的值約為（）A.0.68B.0.95C.0.99D.0.9975.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），則隨機變量Y=X^2的分布是（）A.正態(tài)分布B.二項分布C.泊松分布D.卡方分布二、填空題6.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），則隨機變量Y=aX+b的期望值E（Y）為______。7.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），則隨機變量Y=aX+b的方差D（Y）為______。8.設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），則P（X≤1）的值約為______。9.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），則隨機變量Y=X^2的分布參數(shù)為______。三、解答題10.（本大題共10分，每小題2分）（1）設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），求隨機變量Y=aX+b的分布類型。（2）設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），求隨機變量Y=X^2的分布類型。11.（本大題共10分，每小題2分）（1）設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），求隨機變量Y=aX+b的期望值E（Y）。（2）設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），求隨機變量Y=X^2的期望值E（Y）。12.（本大題共10分，每小題2分）（1）設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），求隨機變量Y=aX+b的方差D（Y）。（2）設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），求隨機變量Y=X^2的方差D（Y）。四、計算題要求：根據所給條件，計算隨機變量的分布參數(shù)。13.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（100，25），求P（90<X<110）的值。14.設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），求P（-1.96<X<1.96）的值。15.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），其中μ未知，σ^2=16，求P（X>80）的值。16.設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），求P（|X|>2）的值。17.設隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），其中μ未知，σ^2=36，求P（X<60）的值。18.設隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），求P（X<-0.5）的值。五、應用題要求：根據實際情境，運用中心極限定理和極限分布解決實際問題。19.某廠生產的產品長度X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），其中μ和σ^2未知。從該廠生產的100個產品中隨機抽取10個，測量其長度，得到樣本均值為10.5厘米，樣本標準差為0.2厘米。請估計該廠生產的產品長度總體均值的95%置信區(qū)間。20.某次考試中，學生的成績X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），其中μ和σ^2未知。從該次考試中隨機抽取了50名學生，計算得到他們的平均成績?yōu)?0分，標準差為10分。請估計該次考試學生成績總體均值的95%置信區(qū)間。六、證明題要求：根據所給條件，證明隨機變量的分布類型。21.證明：若隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），則隨機變量Y=aX+b服從正態(tài)分布N（aμ+b，a^2σ^2）。22.證明：若隨機變量X服從標準正態(tài)分布N（0，1），則隨機變量Y=X^2服從卡方分布χ^2（1）。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D解析：中心極限定理指出，當樣本容量n足夠大時，無論原始分布是什么，樣本均值的分布都將近似于正態(tài)分布。2.A解析：當隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2）時，隨機變量Y=aX+b仍然服從正態(tài)分布，其均值為aμ+b，方差為a^2σ^2。3.A解析：方差是方差的平方，所以隨機變量Y=aX+b的方差是a^2倍的X的方差。4.A解析：標準正態(tài)分布N（0，1）中，大約68%的數(shù)據位于均值的一個標準差范圍內，即|X|≤1。5.D解析：隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2）時，其平方Y=X^2服從卡方分布。二、填空題6.aμ+b解析：隨機變量Y=aX+b的期望值E（Y）等于a乘以X的期望值E（X）加上b。7.a^2σ^2解析：隨機變量Y=aX+b的方差D（Y）等于a^2乘以X的方差D（X）。8.0.68解析：標準正態(tài)分布N（0，1）中，大約68%的數(shù)據位于均值的一個標準差范圍內。9.μ，σ^2解析：隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ^2），則其平方Y=X^2的分布參數(shù)仍然是μ和σ^2。三、解答題10.（1）正態(tài)分布解析：根據中心極限定理，當樣本容量n足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。（2）卡方分布解析：隨機變量X服從正態(tài)分布N（0，1）時，其平方Y=X^2服從卡方分布χ^2（1）。11.（1）aμ+b解析：根據期望的線性性質，隨機變量Y=aX+b的期望值E（Y）等于a乘以X的期望值E（X）加上b。（2）1解析：標準正態(tài)分布N（0，1）的平方的期望值E（Y）等于1。12.（1）a^2σ^2解析：方差的線性性質，隨機變量Y=aX+b的方差D（Y）等于a^2乘以X的方差D（X）。（2）2解析：標準正態(tài)分布N（0，1）的平方的方差D（Y）等于2。四、計算題13.0.6826解析：使用標準正態(tài)分布表或計算器，可以找到Z分數(shù)對應于90和110的值，然后計算它們之間的概率。14.0.95解析：使用標準正態(tài)分布表或計算器，可以找到Z分數(shù)對應于-1.96和1.96的值，然后計算它們之間的概率。15.0.1587解析：使用標準正態(tài)分布表或計算器，找到Z分數(shù)對應于80的值，然后計算其右側尾部的概率。16.0.0228解析：使用標準正態(tài)分布表或計算器，找到Z分數(shù)對應于-2的值，然后計算其左側尾部的概率。17.0.1587解析：使用標準正態(tài)分布表或計算器，找到Z分數(shù)對應于60的值，然后計算其左側尾部的概率。18.0.3085解析：使用標準正態(tài)分布表或計算器，找到Z分數(shù)對應于-0.5的值，然后計算其左側尾部的概率。五、應用題19.（μ-1.96*σ/√n,μ+1.96*σ/√n）解析：使用置信區(qū)間的公式，其中n是樣本大小，σ是樣本標準差，μ是樣本均值。20.（μ-1.96*σ/√n,μ+1.96