高考數學選擇填空題經典模型突破專項訓練_第四章模型20立體幾何中動態(tài)與軌跡問題答案一、選擇題要求：在下列各題中，只有一個選項是符合題目要求的。1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5，點P是棱AA1上的一點，且AP=3，那么點P到平面ABCD的距離為：A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.$2\sqrt{2}$D.$2\sqrt{3}$2.在空間直角坐標系中，設點A（2，1，0），點B（0，2，1），點C（1，0，1），則直線AB與直線BC的夾角大小為：A.$60^\circ$B.$45^\circ$C.$90^\circ$D.$30^\circ$二、填空題要求：在下列各題中，把正確答案填在題中的橫線上。3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若棱長為1，則對角線AC1的長度為________。4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，A1D1=2，則該長方體的體積為________。三、解答題要求：解答應寫出文字說明，證明過程或計算過程。5.（1）已知點A（1，0，0），點B（0，1，0），點C（0，0，1），求直線AB與平面BCD所成的角的大小。（2）設點M是直線AB上的一點，且AM=2，求點M到平面BCD的距離。6.（1）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，求對角線AC1與平面ABCD所成的角的大小。（2）設點M是棱AA1上的一點，且AM=2，求點M到平面ABCD的距離。四、解答題要求：解答應寫出文字說明，證明過程或計算過程。7.（1）已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，且∠ABC=∠BCD=90°，求二面角B-CD-A的余弦值。（2）設點E是線段CD上的一點，且CE=1，求點E到平面ABD的距離。五、解答題要求：解答應寫出文字說明，證明過程或計算過程。8.在空間直角坐標系中，設點O為原點，點A（1，0，0），點B（0，1，0），點C（0，0，1），點D（1，1，1），求：（1）直線AB與平面BCD所成的角的大??；（2）二面角B-CD-A的余弦值；（3）點D到平面ABC的距離。六、解答題要求：解答應寫出文字說明，證明過程或計算過程。9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，點P是棱AB上的動點，點Q是棱AD上的動點，且AP=2a/3，AQ=a/3，求：（1）點P到平面B1C1D1的距離；（2）點Q到平面B1C1D1的距離；（3）點PQ的長度。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：點P到平面ABCD的距離即為點P到點D的距離，由于ABCD為長方體，所以AD=3，PD=AA1-AP=5-3=2，故點P到平面ABCD的距離為√(3^2+2^2)=√13。2.D解析：直線AB的方向向量為(2,1,0)，直線BC的方向向量為(-1,2,0)，計算兩向量的點積得到2*(-1)+1*2+0*0=0，因此兩直線垂直，夾角為$30^\circ$。二、填空題3.√3解析：正方體的對角線AC1即為空間對角線，其長度為√(1^2+1^2+1^2)=√3。4.24解析：長方體的體積為底面積乘以高，底面積為AB*BC=4*3=12，高為A1D1=2，所以體積為12*2=24。三、解答題5.（1）求直線AB與平面BCD所成的角的大小解析：直線AB的方向向量為(2,1,0)，平面BCD的法向量可以通過向量BC和向量BD的叉積得到，BC=(0,2,1)，BD=(1,0,1)，叉積結果為(2,1,-2)，因此直線AB與平面BCD所成的角的大小為∠BAC1，其中AC1為平面BCD上的任意一點到點A的連線，由于AC1與平面BCD垂直，所以∠BAC1即為直線AB與平面BCD所成的角，計算∠BAC1的正弦值sin∠BAC1=AC1/AB，AC1的長度為√(2^2+1^2+1^2)=√6，所以sin∠BAC1=√6/2，∠BAC1=30°。（2）求點M到平面BCD的距離解析：點M到平面BCD的距離即為點M到直線AB的距離，由于點M在直線AB上，所以點M到平面BCD的距離等于點A到平面BCD的距離，即點A到直線AB的垂線段長度，由于AB垂直于平面BCD，所以點A到平面BCD的距離即為點A到直線AB的距離，即點A到點B的距離，計算得到AB的長度為√(2^2+1^2+0^2)=√5。6.（1）求對角線AC1與平面ABCD所成的角的大小解析：對角線AC1的方向向量為(1,1,1)，平面ABCD的法向量為(0,0,1)，計算兩向量的點積得到1*0+1*0+1*1=1，因此對角線AC1與平面ABCD所成的角的大小為∠AC1D1，其中D1為平面ABCD上的任意一點到點A的連線，由于D1與平面ABCD垂直，所以∠AC1D1即為對角線AC1與平面ABCD所成的角，計算∠AC1D1的正弦值sin∠AC1D1=AC1/AD1，AC1的長度為√(1^2+1^2+1^2)=√3，AD1的長度為√(4^2+3^2)=5，所以sin∠AC1D1=√3/5，∠AC1D1=arcsin(√3/5)。（2）求點M到平面ABCD的距離解析：點M到平面ABCD的距離即為點M到點A的距離，由于點M在棱AA1上，所以點M到點A的距離即為AM的長度，AM=2。四、解答題7.（1）求二面角B-CD-A的余弦值解析：二面角B-CD-A的余弦值即為直線BC與平面ACD所成的角的余弦值，直線BC的方向向量為(-1,2,0)，平面ACD的法向量為向量AC與向量AD的叉積，AC=(1,0,1)，AD=(1,1,0)，叉積結果為(1,-1,1)，計算直線BC與平面ACD所成的角的余弦值cos∠BCD=BC·ACD/|BC|·|ACD|，BC·ACD=1*(-1)+2*(-1)+0*1=-3，|BC|=√((-1)^2+2^2+0^2)=√5，|ACD|=√(1^2+0^2+1^2)=√2，所以cos∠BCD=-3/√(5*2)=-3/√10。（2）求點E到平面ABD的距離解析：點E到平面ABD的距離即為點E到直線AB的距離，由于點E在直線CD上，所以點E到平面ABD的距離等于點C到平面ABD的距離，即點C到直線AB的垂線段長度，由于AB垂直于平面ABD，所以點C到平面ABD的距離即為點C到直線AB的距離，即點C到點A的距離，計算得到CA的長度為√(1^2+0^2+1^2)=√2。五、解答題8.（1）求直線AB與平面BCD所成的角的大小解析：直線AB的方向向量為(1,0,0)，平面BCD的法向量為向量BC與向量BD的叉積，BC=(0,1,0)，BD=(1,0,1)，叉積結果為(1,0,-1)，計算直線AB與平面BCD所成的角的余弦值cos∠ABD=AB·BCD/|AB|·|BCD|，AB·BCD=1*0+0*0+0*1=0，|AB|=√(1^2+0^2+0^2)=1，|BCD|=√(1^2+1^2+1^2)=√3，所以cos∠ABD=0/√3=0，∠ABD=90°。（2）求二面角B-CD-A的余弦值解析：二面角B-CD-A的余弦值即為直線BC與平面ACD所成的角的余弦值，直線BC的方向向量為(0,1,0)，平面ACD的法向量為向量AC與向量AD的叉積，AC=(1,0,1)，AD=(1,1,0)，叉積結果為(1,-1,1)，計算直線BC與平面ACD所成的角的余弦值cos∠BCD=BC·ACD/|BC|·|ACD|，BC·ACD=0*1+1*(-1)+0*1=-1，|BC|=√(0^2+1^2+0^2)=1，|ACD|=√(1^2+0^2+1^2)=√2，所以cos∠BCD=-1/√2=-√2/2。（3）求點D到平面ABC的距離解析：點D到平面ABC的距離即為點D到直線AB的距離，由于點D在直線AB上，所以點D到平面ABC的距離等于點A到平面ABC的距離，即點A到直線AB的垂線段長度，由于AB垂直于平面ABC，所以點A到平面ABC的距離即為點A到直線AB的距離，即點A到點B的距離，計算得到AB的長度為√(1^2+0^2+0^2)=1。六、解答題9.（1）求點P到平面B1C1D1的距離解析：點P到平面B1C1D1的距離即為點P到直線B1C1的距離，由于點P在棱AB上，所以點P到平面B1C1D1的距離等于點A到平面B1C1D1的距離，即點A到直線B1C1的垂線段長度，由于B1C1垂直于平面B1C1D1，所以點A到平面B1C1D1的距離即為點A到直線B1C1的距離，即點A到點B1的距離，計算得到AB1的長度為√(1^2+1^2+1^2)=√3。（2）求點Q到平面B1C1D1的距離解析：點Q到平面B1C1D1的距離即為點Q到直線B1C1的距離，由于點Q在棱AD上，所以點Q到平面B1C1D1的距離等于點A到平面B1C1D1的距離，即點A到直線B