2017全國(guó)1卷試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{x^2-1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(y'=\frac{x^2+1}{x^2}\)B.\(y'=\frac{x^2-1}{x^2}\)C.\(y'=1\)D.\(y'=\frac{2x}{x}\)2.已知集合\(A=\{x|x^2-2x-3\leq0\}\)，\(B=\{x|x\gt2\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\((2,3]\)B.\((1,3]\)C.\([2,3]\)D.\((-1,2)\)3.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+2i}{1-i}\)的虛部為（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{3}{2}i\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(\frac{1}{2}i\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_7=10\)，則\(a_5\)的值為（）A.5B.6C.8D.105.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\tan\alpha\)的值為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)6.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-1)\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((-1,1)\)B.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)C.\((-1,1]\)D.\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,x)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x\)的值為（）A.4B.-4C.1D.-18.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入\(n=4\)，則輸出\(S\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{5}{6}\)C.\(\frac{7}{12}\)D.\(\frac{11}{12}\)9.已知\(F_1,F_2\)是橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的兩個(gè)焦點(diǎn)，\(P\)為橢圓\(C\)上一點(diǎn)，且\(\overrightarrow{PF_1}\perp\overrightarrow{PF_2}\)，若\(\trianglePF_1F_2\)的面積為9，則\(b\)的值為（）A.3B.4C.5D.610.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為（）A.\(y=x-1\)B.\(y=-x+1\)C.\(y=2x-2\)D.\(y=-2x+2\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\log_2x\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)與直線\(l_2:x+ay+1=0\)平行，則\(a\)的值可能為（）A.1B.-1C.0D.23.下列命題中，真命題是（）A.\(\existsx_0\inR\)，\(x_0^2-x_0+1\leq0\)B.\(\forallx\inR\)，\(x^2+x+1\gt0\)C.\(\forallx\inR\)，\(x^2\gtx\)D.\(\existsx_0\inR\)，\(x_0^2+2x_0+5=0\)4.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)，則“\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)”是“\(f(x)\)為偶函數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖的五個(gè)正方形如圖陰影部分，第六個(gè)正方形在編號(hào)1-5的某個(gè)位置上，其中可折成正方體的是（）A.1處B.2處C.3處D.4處E.5處6.已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)C.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)D.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)7.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0)\)的部分圖象如圖所示，則（）A.\(A=2\)B.\(\omega=\frac{\pi}{2}\)C.\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為\([2k\pi-\frac{\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3}],k\inZ\)8.已知\(F\)是拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)，\(P\)是拋物線上一點(diǎn)，若\(|PF|=5\)，則點(diǎn)\(P\)的坐標(biāo)可能是（）A.\((4,4)\)B.\((4,-4)\)C.\((-4,4)\)D.\((-4,-4)\)9.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-x\)，則（）A.\(f(0)=0\)B.當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-x\)C.\(f(-1)=0\)D.函數(shù)\(f(x)\)有三個(gè)零點(diǎn)10.下列關(guān)于圓錐曲線的命題中，正確的是（）A.設(shè)\(A,B\)為兩個(gè)定點(diǎn)，\(k\)為非零常數(shù)，若\(|\overrightarrow{PA}|-|\overrightarrow{PB}|=k\)，則動(dòng)點(diǎn)\(P\)的軌跡為雙曲線B.設(shè)定圓\(C\)上一定點(diǎn)\(A\)作圓的動(dòng)弦\(AB\)，\(O\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若\(\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)，則動(dòng)點(diǎn)\(P\)的軌跡為橢圓C.方程\(2x^2-5x+2=0\)的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D.雙曲線\(\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1\)與橢圓\(\frac{x^2}{35}+y^2=1\)有相同的焦點(diǎn)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（）2.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）3.直線\(x+\sqrt{3}y+1=0\)的傾斜角為\(150^{\circ}\)。（）4.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）5.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上一定是增函數(shù)。（）6.若\(a,b,c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（）7.正方體的體對(duì)角線與面對(duì)角線一定垂直。（）8.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。（）9.若直線\(l\)與平面\(\alpha\)內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直，則\(l\perp\alpha\)。（）10.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距），且\(0\lte\lt1\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{3}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{6},k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{3},k\pi+\frac{\pi}{6}],k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。答案：設(shè)公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)。通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)以及\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角的余弦值。答案：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(-3)+2\times4=5\)。\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，\(|\overrightarrow|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5\)，夾角余弦值\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|\times|\overrightarrow|}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)。4.求過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線斜率\(k=2\)，由點(diǎn)斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)，則直線方程為\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)性與極值情況。答案：對(duì)\(y=x^3-3x\)求導(dǎo)得\(y'=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y'\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，函數(shù)遞增；令\(y'\lt0\)，得\(-1\ltx\lt1\)，函數(shù)遞減。極大值為\(y(-1)=2\)，極小值為\(y(1)=-2\)。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系。答案：圓\(x^2+y^2=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)的距離\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。當(dāng)\(d\ltr\)即\(k\neq0\)時(shí)，相交；當(dāng)\(d=r\)即\(k=0\)時(shí)，相切；不存在\(d\gtr\)的情況。3.討論二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c(a\neq0)\)的圖象與性質(zhì)。答案：圖象是拋物線。\(a\gt0\)開(kāi)口向上，\(a\lt0\)開(kāi)口向下。對(duì)稱軸