數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)專題14二元一次方程組壓軸題真題分類（原卷版）第一類：二元一次方程組的整數(shù)解問題1.（長郡）方程的正整數(shù)解為________.2.（中雅）若有序數(shù)對，且正整數(shù)滿足等式：，則稱這個有序數(shù)對為“和諧數(shù)對”，“和諧數(shù)對”為.3.（雅禮）解關(guān)于x，y二元一次方程組，（1）用a來表示方程組的解；（2）若方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)a的值．4.（周南）閱讀下列材料，然后解答后面的問題：我們知道二元一次方程組的求解方法是消元法,即可將它化為一元一次方程來解,可求得方程組有唯一解。我們也知道二元一次方程2x+3y=12的解有無數(shù)個，而在實際問題中我們往往只需要求出其正整數(shù)解。下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整數(shù)解的過程：由2x+3y=12得：∵x、y為正整數(shù),∴則有0<x<6，為正整數(shù),則為正整數(shù)，所以x為3的倍數(shù)，又因為0<x<6,從而x=3,代入：=2，∴2x+3y=12的正整數(shù)解為問題：(1)若為正整數(shù),則滿足條件的x的值有。

九年級某班為了獎勵學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)生，花費35元購買了筆記本和鋼筆兩種獎品，其中筆記本的單價為3元/本，鋼筆單價為5元/支，問有種購買方案?(3)試求方程組

的正整數(shù)解。5．（長郡）我們知道方程2x+3y＝12有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由2x+3y＝12，得：、y為正整數(shù)）．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：x為3的倍數(shù)，且，從而x＝3，代入．所以2x+3y＝12的正整數(shù)解為．（1）請你直接寫出方程3x+2y＝8的正整數(shù)解．（2）若為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)x的值有．A．3個B．4個C．5個D．6個（3）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)k的值．6.（長梅）已知關(guān)于x，y的方程組（1）請寫出方程x+2y＝5的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值；（3）m≠﹣3時，方程x﹣2y+mx+9＝0總有一個公共解，你能求出這個方程的公共解嗎？（4）如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)m的值．7.（雅禮）閱讀材料：我們把多元方程（組）的正整數(shù)解叫做這個方程（組）的“好解”，例如：就是方程的一組“好解”；是方程組的一組“好解”.（1）請直接寫出方程的所有“好解”；（2）關(guān)于、、的方程組有“好解”嗎？若有，請求出對應(yīng)的“”好解；若沒有，請說明理由；（3）已知、為方程的“好解”，且，求所有的值.8.（湘一）我們把使得二元一次方程等號兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解，當(dāng)這兩個未知數(shù)的值為整數(shù)時，稱這個解為二元一次方程的一個整數(shù)解。(1)直接寫出符合的三個整數(shù)解；(2)若二元一次方程組無實數(shù)解，求的值；(3)若關(guān)于、的二元一次方程組有整數(shù)解，求整數(shù)的值。第二類：二元一次方程組的新定義壓軸題9.（青竹湖）在一元一次方程中，如果兩個方程的解相同，則稱這兩個方程為同解方程；若關(guān)于的兩個方程與是同解方程，求的值；若關(guān)于的兩個方程與是同解方程，求的值；若關(guān)于的兩個方程與是同解方程，求此時符合要求的正整數(shù)，的值.10．（一中）對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常數(shù)．已知1#1＝1，3⊕2＝8．（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x，y的方程組的解也滿足方程x+y＝3，求m的值；（3）若關(guān)于x，y的方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．11.（青竹湖）規(guī)定：二元一次方程有無數(shù)組解，每組解記為，稱為亮點，將這些亮點連接得到一條直線，稱這條直線是亮點的隱線解答下列問題已知，則是隱線的亮點的是____________；設(shè)是隱線的兩個亮點，求方程中的最小的正整數(shù)解；已知是實數(shù)，且，若是隱線的一個亮點，求隱線中的最大值和最小值的和.12.（雅禮）若方程的解，都是整數(shù)，則稱為該方程的“雅禮點”，如是方程的“雅禮點”①若方程：，求方程的所有“雅禮點”；②已知方程組存在“雅禮點”，求整數(shù)的值；③關(guān)于、的方程，對于任何的值都有“雅禮點”，試求它的“雅禮點”．13.（師大）閱讀下列材料，回答問題：線性方程組是指各個方程未知數(shù)的次數(shù)均為一次的方程組．對線性方程組的研究，中國比歐洲至少早1500年，最早的記載見公元初《九章算術(shù)》方程章中我們初中學(xué)習(xí)的二元一次方程組：是其中一種．定義：可化為其中一個未知數(shù)的系數(shù)都為1，另一個未知數(shù)的系數(shù)互為倒數(shù)，并且常數(shù)項互為相反數(shù)的二元一次方程組，稱為“相關(guān)線性方程組”，其中k，b稱為該方程組的“相關(guān)系數(shù)”．（1）若關(guān)于x，y的方程組可化為“相關(guān)線性方程組”，則該方程組的解為（2）若某“相關(guān)線性方程組”有無數(shù)多組解，求該方程組的兩個相關(guān)系數(shù)之和；（3）已知關(guān)于x，y的“相關(guān)線性方程組”的未知數(shù)x的值為整數(shù)，試寫出符合題意的k的幾個值．14．（雅禮）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點P（x，y）坐標(biāo)中x，y的值是關(guān)于二元一次方程組的解，那么稱點P（x，y）為該方程組的解坐標(biāo)，如（﹣1，﹣2）是二元一次方程組的解坐標(biāo)．求：（1）二元一次方程組的解坐標(biāo)為（4，﹣1）；（2）已知方程組與方程組的解坐標(biāo)相同，求a，b的值．（3）當(dāng)m，n滿足什么條件時，關(guān)于x，y的二元一次方程組，①不存在解坐標(biāo)；②存在無數(shù)多個解坐標(biāo)．專題14二元一次方程組壓軸題真題分類（解析版）第一類：二元一次方程組的整數(shù)解問題1.（長郡）方程的正整數(shù)解為________.【解答】解：2x+5y＝50，得到x＝，當(dāng)y＝2時，x＝20；當(dāng)y＝4時，x＝15；當(dāng)y＝6時，x＝10；當(dāng)y＝8時，x＝5；則方程的所有正整數(shù)解為，，，．故答案為：，，，2.（中雅）若有序數(shù)對，且正整數(shù)滿足等式：，則稱這個有序數(shù)對為“和諧數(shù)對”，“和諧數(shù)對”為.【解答】解：∵實數(shù)x、y滿足等式：x+y＝xy，當(dāng)x＝2時，代入得：2+y＝2y，∴y＝2，故“和諧數(shù)對”為．3.（雅禮）解關(guān)于x，y二元一次方程組（1）用a來表示方程組的解；（2）若方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)a的值．【解答】解：（1），由②得，x＝2y③，把③代入①得，4y+ay＝16，解得y＝，把y＝代入③得，x＝，所以方程組的解是；（2）∵16＝1×16＝2×8＝4×4，方程組有正整數(shù)解，∴a+4＝1或a+4＝16或a+4＝2或a+4＝8或a+4＝4，解得a＝﹣3或a＝12或a＝﹣2或a＝4或a＝0，所以整數(shù)a的值為﹣3、12、﹣2、4、0．4.（周南）閱讀下列材料，然后解答后面的問題：我們知道二元一次方程組的求解方法是消元法,即可將它化為一元一次方程來解,可求得方程組有唯一解。我們也知道二元一次方程2x+3y=12的解有無數(shù)個，而在實際問題中我們往往只需要求出其正整數(shù)解。下面是求二元一次方程2x+3y=12的正整數(shù)解的過程：由2x+3y=12得：∵x、y為正整數(shù),∴則有0<x<6，為正整數(shù),則為正整數(shù)，所以x為3的倍數(shù)，又因為0<x<6,從而x=3,代入：=2，∴2x+3y=12的正整數(shù)解為問題：(1)若為正整數(shù),則滿足條件的x的值有。

九年級某班為了獎勵學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)生，花費35元購買了筆記本和鋼筆兩種獎品，其中筆記本的單價為3元/本，鋼筆單價為5元/支，問有種購買方案?(3)試求方程組

的正整數(shù)解。【解答】解：（1）∵為正整數(shù)，即可得出x﹣2＞0，且x﹣2＝1，或2，或3或6，x＝3，4，5，8，（2）設(shè)購買了筆記本x本，鋼筆y支，根據(jù)題意得出：3x+5y＝35，由題意可得：3x+5y＝35，得y＝＝7﹣x，∵x，y為正整數(shù)，∴，則有：0＜x＜，又y＝7﹣x，為正整數(shù)，則x為正整數(shù)，∴x為5的倍數(shù)，又∵0＜x＜，從而得出x＝5或10，代入：y＝4或1，∴有兩種購買方案：購買的筆記本5本，鋼筆4支；購買的筆記本10本，鋼筆1支；（3）兩式相加消去z得5x+2y＝22，由上題方法可得：或，將代入方程2x+y+z＝10得出z＝0（不合題意舍去）將，代入方程2x+y+z＝10得出z＝1，∴原方程組的解集為：．5．（長郡）我們知道方程2x+3y＝12有無數(shù)個解，但在實際問題中往往只需求出其正整數(shù)解．例：由2x+3y＝12，得：、y為正整數(shù)）．要使為正整數(shù)，則為正整數(shù)，可知：x為3的倍數(shù)，且，從而x＝3，代入．所以2x+3y＝12的正整數(shù)解為．（1）請你直接寫出方程3x+2y＝8的正整數(shù)解．（2）若為自然數(shù)，則滿足條件的正整數(shù)x的值有．A．3個B．4個C．5個D．6個（3）關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是正整數(shù)，求整數(shù)k的值．【解答】解：（1）方程3x+2y＝8的正整數(shù)解為．故答案為：；（2）正整數(shù)有9，6，5，4，共4個，故選：B；（3），①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8，解得：y＝，∵x，y是正整數(shù)，k是整數(shù)，4﹣k＝1，2，4，8，∴k＝3，2，0，﹣4，但k＝3時，x不是正整數(shù)，故k＝2，0，﹣4．6.（長梅）已知關(guān)于x，y的方程組（1）請寫出方程x+2y＝5的所有正整數(shù)解；（2）若方程組的解滿足x+y＝0，求m的值；（3）m≠﹣3時，方程x﹣2y+mx+9＝0總有一個公共解，你能求出這個方程的公共解嗎？（4）如果方程組有整數(shù)解，求整數(shù)m的值．【解答】解：（1）方程x+2y＝5，解得：x＝﹣2y+5，當(dāng)y＝1時，x＝3；y＝2，x＝1；（2）聯(lián)立得：，解得：，代入得：﹣5﹣10﹣5m+9＝0，解得：m＝﹣；（3）∵x﹣2y+mx+9＝0，即（1+m）x﹣2y+9＝0總有一個解，∴方程的解與m無關(guān)，∴mx＝0，x﹣2y+9＝0，解得：x＝0，y＝，則方程的公共解為；（4），①+②得：（m+2）x＝﹣4，解得：x＝﹣，把x＝﹣代入①得：y＝，當(dāng)m+2＝2，1，﹣2，﹣1，4，﹣4時，x為整數(shù)，此時m＝0．﹣1，﹣3，﹣4，2，﹣6，當(dāng)m＝﹣1時，y＝，不符合題意；當(dāng)m＝﹣3時，y＝，不符合題意；當(dāng)m＝2時，y＝3，符合題意；當(dāng)m＝﹣6時，y＝2，符合題意，當(dāng)m＝0時，y＝，不符合題意；當(dāng)m＝﹣4時，y＝，不符合題意，綜上，整數(shù)m的值為﹣6或2．7.（雅禮）閱讀材料：我們把多元方程（組）的正整數(shù)解叫做這個方程（組）的“好解”，例如：就是方程的一組“好解”；是方程組的一組“好解”.（1）請直接寫出方程的所有“好解”；（2）關(guān)于、、的方程組有“好解”嗎？若有，請求出對應(yīng)的“”好解；若沒有，請說明理由；（3）已知、為方程的“好解”，且，求所有的值.【解答】解：（1）由x+2y＝7，得y＝（x、y為正整數(shù)）．∵，即0＜x＜7，∴當(dāng)x＝1時，y＝3；當(dāng)x＝3時，y＝2；當(dāng)x＝5時，y＝1；即方程x+2y＝7的“好解”有，，；（2）由解得，∵，即﹣1＜k＜，∴當(dāng)k＝3時，x＝5，y＝7，∴方程組有“好解“，“好解”為；（3）由解得，∵，即＜m＜，∴當(dāng)m＝63時，x＝57，y＝6；m＝73時，x＝34，y＝39；m＝83時，x＝11，y＝72；∴所有m的值為63，73，83．8.（湘一）我們把使得二元一次方程等號兩邊相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個解，當(dāng)這兩個未知數(shù)的值為整數(shù)時，稱這個解為二元一次方程的一個整數(shù)解。(1)直接寫出符合的三個整數(shù)解；(2)若二元一次方程組無實數(shù)解，求的值；(3)若關(guān)于、的二元一次方程組有整數(shù)解，求整數(shù)的值。【解答】解：（1），，；（2）若無解，則，所以；（3）加減消元得，，當(dāng)＝1，5，﹣1，﹣5時，y為整數(shù)，此時(舍)，1，3，(舍)，當(dāng)時，y＝1，x＝2；當(dāng)時，y＝7，x＝10，綜上，整數(shù)a的值為1或3．第二類：二元一次方程組的新定義壓軸題9.（青竹湖）在一元一次方程中，如果兩個方程的解相同，則稱這兩個方程為同解方程；若關(guān)于的兩個方程與是同解方程，求的值；若關(guān)于的兩個方程與是同解方程，求的值；若關(guān)于的兩個方程與是同解方程，求此時符合要求的正整數(shù)，的值.【解答】解：（1）解方程2x＝4得：x＝2，把x＝2代入mx＝m+1得：2m＝m+1，解得：m＝1；（2）解方程2x＝a+1得：x＝，解方程3x﹣a＝﹣2得：x＝，∵關(guān)于x的兩個方程2x＝a+1與3x﹣a＝﹣2是同解方程，∴＝，解得：a＝﹣7；（3）解方程5x+（m+1）＝mn得：x＝，解方程2x﹣mn＝﹣（m+1）得：x＝，∵關(guān)于x的兩個方程5x+（m+1）＝mn與2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，∴＝，∴mn﹣3m﹣3＝0，mn＝3（m+1），∵m，n是正整數(shù)，∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．10．（一中）對于有理數(shù)x，y，定義新運算：x#y＝ax+by，x⊕y＝ax﹣by，其中a，b是常數(shù)．已知1#1＝1，3⊕2＝8．（1）求a，b的值；（2）若關(guān)于x，y的方程組的解也滿足方程x+y＝3，求m的值；（3）若關(guān)于x，y的方程組的解為，求關(guān)于x，y的方程組的解．【解答】解：（1）由題意得，解得；（2）依題意得，解得，∵x+y＝3，∴m+1+3m﹣2＝3，解得m＝1；（3）由題意得的解為，由組得，整理，得，即，解得或．11.（青竹湖）規(guī)定：二元一次方程有無數(shù)組解，每組解記為，稱為亮點，將這些亮點連接得到一條直線，稱這條直線是亮點的隱線解答下列問題已知，則是隱線的亮點的是____________；設(shè)是隱線的兩個亮點，求方程中的最小的正整數(shù)解；已知是實數(shù)，且，若是隱線的一個亮點，求隱線中的最大值和最小值的和.【解答】解：（1）把三點的坐標(biāo)代入方程3x+2y＝6中，只有B點滿足方程，所以B點是亮點；（2）把P（0，﹣2），Q（1，﹣）代入隱線t2x+hy＝6中，得，∴，把代入（t2+4）x﹣（t2+h+4）y＝26中，得5x﹣6y＝26，∴，∵x、y都為正整數(shù)，∴最小正整數(shù)解為；（3）把P（，|n|）代入隱線2x﹣3y＝s得s＝2﹣3|n|，∵+2|n|＝7，∴＝﹣2|n|+7，∴s＝﹣4|n|+14﹣3|n|＝14﹣7|n|，∵|n|≥0，0≤＝﹣2|n|+7，即0≤|n|≤3.5，∴當(dāng)|n|＝0時，s＝14﹣7|n|有最大值為14，當(dāng)|n|＝3.5時，s＝14﹣7|n|有最小值為﹣10.5，∴s的最大值和最小值的和為14﹣10.5＝3.5．12.（雅禮）若方程的解，都是整數(shù)，則稱為該方程的“雅禮點”，如是方程的“雅禮點”①若方程：，求方程的所有“雅禮點”；②已知方程組存在“雅禮點”，求整數(shù)的值；③關(guān)于、的方程，對于任何的值都有“雅禮點”，試求它的“雅禮點”．【解答】解：（1）由題意得，解得或；加減消元得，，當(dāng)＝1，2，5，10，﹣1，﹣2，﹣5，﹣10時，y為整數(shù)，當(dāng)＝1時，，y＝14；當(dāng)＝2時，，y＝9；當(dāng)＝5時，，y＝6；當(dāng)＝10時，，y＝5；當(dāng)＝-1時，，y＝-6；當(dāng)＝-2時，，y＝-1；當(dāng)＝-5時，，y＝2；當(dāng)＝-10時，，y＝3．原方程可化為，對于任何的值都有“雅禮點”，則，解得．13.（師大）閱讀下列材料，回答問題：線性方程組是指各個方程未知數(shù)的次數(shù)均為一次的方程組．對線性方程組的研究，中國比歐洲至少早1500年，最早的記載見公元初《九章算術(shù)》方程章中我們初中學(xué)習(xí)的二元一次方程組：是其中一種．定義：可化為其中一個未知數(shù)的系數(shù)都為1，另一個未知數(shù)的系數(shù)互為倒數(shù)，并且常數(shù)項互為相反數(shù)的二元一次方程組，稱為“相關(guān)線性方程組”，其中k，b稱為該方程組的“相關(guān)系