PAGE1-第六節(jié)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)[考綱傳真]1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，駕馭對數(shù)函數(shù)圖像通過的特別點，會畫底數(shù)為2,10，eq\f(1,2)的對數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．1．對數(shù)概念假如ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).性質(zhì)alogaN＝Nlogaab＝b(a＞0，且a≠1)換底公式換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)運算法則loga(M·N)＝logaM＋logaNa＞0，且a≠1，M＞0，N＞0logaeq\f(M,N)＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)2.對數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)圖像a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過點(1,0)，即x＝1時，y＝0當(dāng)x＞1時，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時，y＜0.當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y＞0.是(0，＋∞)上的增函數(shù)是(0，＋∞)上的減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y＝x對稱．eq\o([常用結(jié)論])1．換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logeq\s\do8(a)mbn＝eq\f(n,m)logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．對數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的關(guān)系如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)漸漸增大．[基礎(chǔ)自測]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)log2x2＝2log2x． ()(2)當(dāng)x＞1時，logax＞0． ()(3)函數(shù)y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)與y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定義域相同． ()(4)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖像過定點(1,0)，且過點(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖像不在其次、三象限． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a＝2eq\s\up18(－eq\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))eq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD[∵0＜a＝2eq\s\up18(－eq\f(1,3))＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))eq\f(1,3)＞logeq\s\do8(eq\f(1,2))eq\f(1,2)＝1，∴c＞a＞b.]3．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)＞1，c＞1B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由圖像可知y＝loga(x＋c)的圖像是由y＝logax的圖像向左平移c個單位得到的，其中0＜c＜1.再依據(jù)單調(diào)性可知0＜a＜1.]4．(教材改編)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．(1，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C[當(dāng)0＜a＜1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；當(dāng)a＞1時，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．]5．計算：2log510＋log5eq\f(1,4)＝________，2log43＝________.2eq\r(3)[2log510＋log5eq\f(1,4)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102×\f(1,4)))＝2，因為log43＝eq\f(1,2)log23＝log2eq\r(3)，所以2log43＝2log2eq\r(3)＝eq\r(3).]對數(shù)式的化簡與求值1．(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25＝________.2[原式＝lg2(lg2＋lg50)＋lg25＝2lg2＋2lg5＝2.]2．2eq\s\up10(log23＋log43)＝________.3eq\r(3)[原式＝2eq\s\up10(log23)·2eq\s\up10(log43)＝3·2eq\s\up10(log2eq\r(3))＝3eq\r(3).]3．log23·log38＋(eq\r(3))eq\s\up10(log34)＝________.5[原式＝3log23·log32＋3eq\s\up10(log32)＝3＋2＝5.]4．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________.eq\r(10)[∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝eq\r(10).][規(guī)律方法]對數(shù)運算的一般思路(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡；(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并；(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要留意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用；(4)利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例1】(1)(2024·大連模擬)函數(shù)y＝lg|x－1|的圖像是()ABCD(2)(2024·廈門模擬)當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時，4x＜logax，則a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)(3)函數(shù)y＝loga(x－2)＋2恒過定點P，則點P的坐標(biāo)為________．(1)A(2)B(3)(3,2)[(1)函數(shù)y＝lg|x－1|的圖像可由函數(shù)y＝lg|x|的圖像向右平移1個單位得到，故選A．(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，要使0＜x≤eq\f(1,2)時，4x＜logax，只需f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的圖像在g(x)的圖像下方即可．當(dāng)a＞1時不滿意條件；當(dāng)0＜a＜1時，畫出兩個函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的圖像，可知只需feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2＜logaeq\f(1,2)，則a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).(3)由x－2＝1得x＝3，當(dāng)x＝3時，y＝2，則點P的坐標(biāo)為(3,2)．][規(guī)律方法]對數(shù)函數(shù)圖像的識別及應(yīng)用(1)在識別函數(shù)圖像時，要擅長利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特別點(與坐標(biāo)軸的交點、最高點、最低點等)解除不符合要求的選項．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．(1)函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的圖像大致為()ABCD(2)函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖像恒過定點P，則點P的坐標(biāo)為________．(3)若不等式(x－1)2＜logax在x∈(1,2)內(nèi)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為________．(1)A(2)(0,0)(3)(1,2][(1)由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱．設(shè)g(x)＝loga|x|，先畫出x＞0時，g(x)的圖像，然后依據(jù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱畫出x＜0時g(x)的圖像，最終由函數(shù)g(x)的圖像向上整體平移一個單位即得f(x)的圖像，結(jié)合圖像知選A．(2)由x＋1＝1得x＝0，當(dāng)x＝0時，y＝0，則點P的坐標(biāo)為(0,0)．(3)設(shè)f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝logax，要使當(dāng)x∈(1,2)時，不等式(x－1)2＜logax恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的圖像在f2(x)＝logax圖像的下方即可．當(dāng)0＜a＜1時，明顯不成立；當(dāng)a＞1時，如圖所示，要使x∈(1,2)時，f1(x)＝(x－1)2的圖像在f2(x)＝logax的圖像下方，只需f1(2)≤f2(2)，即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，所以1＜a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是(1,2]．]對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用?考法1比較對數(shù)值的大小【例2】(1)已知a＝log29－log2eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．c＞b＞a(2)設(shè)a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．b＞c＞a(1)B(2)A[(1)a＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)，b＝1＋log2eq\r(7)＝log22eq\r(7)，c＝eq\f(1,2)＋log2eq\r(13)＝log2eq\r(26)，因為函數(shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且2eq\r(7)＞3eq\r(3)＞eq\r(26)，所以b＞a＞c，故選B．(2)b＝log2eq\r(3)＝eq\f(1,2)log23＞eq\f(1,2)，c＝log3eq\r(2)＝eq\f(1,2)log32＜eq\f(1,2)，則b＞c，又a＝log3π＞log33＝1，b＝log2eq\r(3)＜log22＝1，因此a＞b＞c，故選A．?考法2解對數(shù)不等式【例3】(1)(2024·江蘇高考)函數(shù)f(x)＝eq\r(log2x－1)的定義域為________．(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x＜0.))若f(a)＞f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1)[2，＋∞)(2)(－1,0)∪(1，＋∞)[(1)由題意知，log2x－1≥0，即log2x≥log22.解得x≥2，即函數(shù)f(x)的定義域為[2，＋∞)．(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞－log2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,log\f(1,2)－a＞log2－a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,log2a＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,log2－a＜0，))解得a＞1或－1＜a＜0.]?考法3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域或最值【例4】函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(－x2＋4x＋5)的遞增區(qū)間為_____，值域為________．(2,5)[2logeq\s\do8(eq\f(1,2))3，＋∞)[由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.二次函數(shù)y＝－x2＋4x＋5的對稱軸為x＝2.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)＝logeq\s\do8(eq\f(1,2))(－x2＋4x＋5)的遞增區(qū)間為(2,5)．又－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9≤9，所以f(x)≥logeq\s\do8(eq\f(1,2))9＝2logeq\s\do8(eq\f(1,2))3，即函數(shù)f(x)的值域為[2logeq\s\do8(eq\f(1,2))3，＋∞)．][規(guī)律方法]1.比較對數(shù)值的大小的方法(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性干脆進行推斷；若底數(shù)為同一字母，則需對底數(shù)進行分類討化．(2)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較．(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．2．解對數(shù)不等式的類型及方法(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，假如a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種狀況探討．(2)形如logax＞b的不等式，需先將b化為以a為底的對數(shù)式的形式再進行求解．3．解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟(1)(2024·天津高考)已知a＝log3eq\f(7,2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up18(eq\f(1,3))，c＝logeq\s\do8(eq\f(1,3))eq\f(1,5)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞b＞a D．c＞a＞b(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))則滿意f(x)≤2的x的取值范圍是()A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)(3)若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間(－∞，1]上遞減，則a的取值范圍為()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)(1)D(2)D(3)A[(1)c＝logeq\s\do8(eq\f(1,3))eq\f(1,5)＝log35，則log35＞log3eq\f(7,2)＞log33＝1，又eq\b\lc\(\rc\)