6.2.4向量的數(shù)量積的概念-2025年高一數(shù)學(xué)新教材同步課堂精講練導(dǎo)學(xué)案（人教A版2019必修第二冊）含答案6.2.4向量的數(shù)量積第1課時向量的數(shù)量積的概念導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩個向量夾角的定義，兩向量垂直的定義；2.知道向量的投影向量；3.記住數(shù)量積的幾個重要性質(zhì)．【自主學(xué)習(xí)】知識點(diǎn)1向量的夾角(1)已知兩個非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉，并規(guī)定它的范圍是0≤〈a，b〉≤π.www-2-1-cnjy-com在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，我們說向量a和向量b互相垂直，記作a⊥b.知識點(diǎn)2向量數(shù)量積的定義(1)定義：已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．2-1-c-n-j-y(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為.知識點(diǎn)3投影向量如圖(1)，設(shè)a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我們考慮如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的；如圖(2)，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量．知識點(diǎn)4數(shù)量積的幾個性質(zhì)設(shè)a、b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝.(2)a⊥b?.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝；當(dāng)a與b反向時，a·b＝.特別地，a·a＝或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|.【合作探究】探究一向量的夾角問題【例1】在△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)．求：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角大小；(2)eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角大?。畾w納總結(jié)：【練習(xí)1】已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，設(shè)a＋b與a的夾角為α，a－b與a的夾角是β.求α＋β.

探究二向量數(shù)量積的運(yùn)算【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積．【版權(quán)所有：21教育】歸納總結(jié)：【練習(xí)2】已知|a|＝4，|b|＝3，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為60°時，分別求a與b的數(shù)量積．探究三向量的投影【例3】已知a·b＝－9，a在b方向上的投影為－3，b在a方向上的投影為－eq\f(3,2)，求a與b的夾角θ.歸納總結(jié)：【練習(xí)3】已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夾角為120°，計(jì)算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．

探究四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【例4】已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.歸納總結(jié)：【練習(xí)4】已知單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夾角．

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，則向量b在a方向上的投影為()A．4B．－4C．2D．－22．已知a、b為單位向量，其夾角為60°，則(2a－b)·b等于()A．－1B．0C．1D．23．已知|a|＝9，|b|＝6eq\r(2)，a·b＝－54，則a與b的夾角θ為()A．45°B．135°C．120°D．150°4．|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，則向量a在向量b方向上的投影等于()A．－3B．－2C．2D．－15．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ等于()A.eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2)D．16．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|等于()A．0B．2eq\r(2)C．4D．8二、填空題7．已知|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝120°，則向量b在向量a方向上的投影是____，向量a在向量b方向上的投影是____．【來源：】8．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為120°，則a·a＋a·b＝________.9．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝12，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值是________．10．已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝________.

三、解答題11．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，當(dāng)a·b滿足下列條件時，能確定△ABC的形狀嗎？(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.12．已知正三角形ABC的邊長為1，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).13．已知向量a，b滿足|a|＝12，|b|＝15，|a＋b|＝25，求|a－b|.14．在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影．

B組能力提升一、選擇題1．設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉等于()A．150°B．120°C．60°D．30°2．如圖，圓心為C的圓的半徑為r，弦AB的長度為2，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))的值為()A．r B．2rC．1 D．23．(多選題)對于非零向量a，b，c，下列命題正確的是()A．若a·b＝b·c，則a＝bB．若a⊥b，則a·b＝(a·b)2C．若a∥b，則a在b上的投影的數(shù)量為|a|D．若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，則a∥b二、填空題4．已知a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b·(a－b)＝0，則|b|的取值范圍是________．5．如圖所示，一個大小為5N，與水平方向夾角37°的拉力F作用在小車上，小車沿水平方向向右運(yùn)動．運(yùn)動過程中，小車受到的阻力大小為3N，方向水平向左．小車向右運(yùn)動的距離為2m的過程中，小車受到的各個力都沒有發(fā)生變化．求在此過程中：拉力F對小車做的功(取cos37°≈0.8)為________．小車克服阻力做的功為________．6．已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿足b·(e1－e2)＝0，且b·e1＝1，則|b|＝________.三、解答題7．已知△ABC的面積為S滿足eq\r(,3)≤2S≤3，且eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝3，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))的夾角為θ.求eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))夾角的取值范圍．6.2.4向量的數(shù)量積第1課時向量的數(shù)量積的概念導(dǎo)學(xué)案編寫：廖云波初審：孫銳終審：孫銳廖云波【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩個向量夾角的定義，兩向量垂直的定義；2.知道向量的投影向量；3.記住數(shù)量積的幾個重要性質(zhì)．【自主學(xué)習(xí)】知識點(diǎn)1向量的夾角(1)已知兩個非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a，b〉，并規(guī)定它的范圍是0≤〈a，b〉≤π.www-2-1-cnjy-com在這個規(guī)定下，兩個向量的夾角被唯一確定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．(2)當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，我們說向量a和向量b互相垂直，記作a⊥b.知識點(diǎn)2向量數(shù)量積的定義(1)定義：已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角．2-1-c-n-j-y(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.知識點(diǎn)3投影向量如圖(1)，設(shè)a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我們考慮如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量；如圖(2)，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．知識點(diǎn)4數(shù)量積的幾個性質(zhì)設(shè)a、b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|.特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.【合作探究】探究一向量的夾角問題【例1】在△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)．求：(1)eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角大??；(2)eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角大?。甗分析]由勾股定理可知題中三角形為直角三角形，然后結(jié)合直角三角形相關(guān)知識和向量夾角知識解答本題．[解](1)如圖所示，在△ABC中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，AC＝2，∴AB2＋BC2＝(eq\r(3))2＋12＝22＝AC2，∴△ABC為直角三角形．∴tanA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°.∵D為AC的中點(diǎn)，∴∠ABD＝∠A＝30°，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).在△ABD中，∠BDA＝180°－∠A－∠ABD＝180°－30°－30°＝120°.∴eq\o(AD,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角為120°.(2)∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(BD,\s\up6(→))的夾角也為120°.歸納總結(jié)：求兩個向量的夾角關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點(diǎn)重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.【練習(xí)1】已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，設(shè)a＋b與a的夾角為α，a－b與a的夾角是β.求α＋β.解：如圖，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且∠AOB＝60°，以O(shè)A、OB為鄰邊作?OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.因?yàn)閨a|＝|b|＝2，所以△OAB為正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b與a的夾角β＝60°.因?yàn)閨a|＝|b|，所以平行四邊形OACB為菱形，所以O(shè)C⊥AB.所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b與a的夾角α＝30°，∴α＋β＝90°.探究二向量數(shù)量積的運(yùn)算【例2】已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積．【版權(quán)所有：21教育】解(1)a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.(2)當(dāng)a⊥b時，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為30°時，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3).歸納總結(jié)：已知|a|，|b|求a·b時，需先確定兩向量的夾角θ，再利用數(shù)量積的定義求解.本題中注意a∥b時，要分θ＝0°和θ＝180°兩種情況討論.【練習(xí)2】已知|a|＝4，|b|＝3，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為60°時，分別求a與b的數(shù)量積．解(1)當(dāng)a∥b時，若a與b同向，則a與b的夾角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3×cos0°＝12.若a與b反向，則a與b的夾角為θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)當(dāng)a⊥b時，向量a與b的夾角為90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝4×3×0＝0.(3)當(dāng)a與b的夾角為60°時，∴a·b＝|a||b|cos60°＝4×3×eq\f(1,2)＝6.探究三向量的投影【例3】已知a·b＝－9，a在b方向上的投影為－3，b在a方向上的投影為－eq\f(3,2)，求a與b的夾角θ.解∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|cosθ＝－3，,|b|cosθ＝－\f(3,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|b|)＝－3，,\f(a·b,|a|)＝－\f(3,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(－9,|b|)＝－3，,\f(－9,|a|)＝－\f(3,2)，))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝6，,|b|＝3.))∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－9,6×3)＝－eq\f(1,2).∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.歸納總結(jié)：【練習(xí)3】已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夾角為120°，計(jì)算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．解(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝eq\f(1,2).|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(1＋2×1×1×cos120°＋1)＝1.∴eq\f(2a－b·a＋b,|a＋b|)＝eq\f(1,2).探究四平面向量數(shù)量積的性質(zhì)【例4】已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|.解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3).|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.歸納總結(jié)：此類求解向量的模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方，與向量數(shù)量積聯(lián)系，要靈活應(yīng)用a2＝|a|2，勿忘記開方．【練習(xí)4】已知單位向量e1，e2的夾角為60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夾角．解∵e1，e2為單位向量且夾角為60°，∴e1·e2＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－eq\f(1,2)＋1＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(1＋2×\f(1,2)＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e2－2e12)＝eq\r(1＋4－4×\f(1,2))＝eq\r(3)，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(3,2)×eq\f(1,\r(3)×\r(3))＝－eq\f(1,2).又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.∴a與b的夾角為120°.

課后作業(yè)A組基礎(chǔ)題一、選擇題1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，則向量b在a方向上的投影為()A．4B．－4C．2D．－2答案D解析b在a方向上的投影為|b|cos〈a，b〉＝4×cos120°＝－2.2．已知a、b為單位向量，其夾角為60°，則(2a－b)·b等于()A．－1B．0C．1D．2答案B解析因?yàn)閍、b為單位向量，且其夾角為60°，所以a·b＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×eq\f(1,2)－1＝0.3．已知|a|＝9，|b|＝6eq\r(2)，a·b＝－54，則a與b的夾角θ為()A．45°B．135°C．120°D．150°答案B解析∵cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－54,9×6\r(2))＝－eq\f(\r(2),2)，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.4．|a|＝2，|b|＝4，向量a與向量b的夾角為120°，則向量a在向量b方向上的投影等于()A．－3B．－2C．2D．－1答案D解析a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.5．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則λ等于()A.eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2)D．1答案A解析∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝eq\f(3,2).6．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|等于()A．0B．2eq\r(2)C．4D．8答案B解析|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2eq\r(2).二、填空題7．已知|a|＝2，|b|＝10，〈a，b〉＝120°，則向量b在向量a方向上的投影是____，向量a在向量b方向上的投影是____．【來源：】答案－5－1解析b在a方向上的投影為|b|cos〈a，b〉＝10×cos120°＝－5，a在b方向上的投影為|a|cos〈a，b〉＝2×cos120°＝－1.8．若向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a與b的夾角為120°，則a·a＋a·b＝________.答案eq\f(1,2)解析a·a＋a·b＝12＋1×1×cos120°＝eq\f(1,2).9．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝13，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝12，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的值是________．答案－25解析易知|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(CA,\s\up6(→))|2，C＝90°.cosB＝eq\f(5,13)，∴cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝cos(180°－B)＝－cosB＝－eq\f(5,13).∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos(180°－B)＝13×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＝－25.10．已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝________.答案3解析|a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×eq\f(1,3)＋4＝9.∴|a|＝3.三、解答題11．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，當(dāng)a·b滿足下列條件時，能確定△ABC的形狀嗎？(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.解∵a·b＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cosA.(1)當(dāng)a·b<0時，∠A為鈍角，△ABC為鈍角三角形；(2)當(dāng)a·b＝0時，∠A為直角，△ABC為直角三角形；(3)當(dāng)a·b>0時，∠A為銳角，△ABC的形狀不確定．12．已知正三角形ABC的邊長為1，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)).解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為60°.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為120°.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos120°＝1×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).(3)∵eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為60°，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cos60°＝1×1×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).13．已知向量a，b滿足|a|＝12，|b|＝15，|a＋b|＝25，求|a－b|.解∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝122＋152＋2a·b＝252，∴2a·b＝256.∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝122＋152－256＝113.∴|a－b|＝eq\r(113).14．在△ABC中，已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3，求：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影．解∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝3.∴△ABC為直角三角形，且C＝90°.∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,5).(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5×4×eq\f(4,5)＝－16；(2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(5×3×\f(3,5),5)＝eq\f(9,5)；(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－5×4×\f(4,5),4)＝－4.

B組能力提升一、選擇題1．設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則〈a，b〉等于()A．150°B．120°C．60°D．30°答案B解析∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.2．如圖，圓心為C的圓的半徑為r，弦AB的長度為2，則eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))的值為()A．r B．2rC．1 D．2答案：D[如圖，作AB的中點(diǎn)H，連接CH，則向量eq\o(AC,\s\up7(→))在eq\o(AB,\s\up7(→))方向上的投影的數(shù)量為AH＝|eq\o(AC,\s\up7(→))|cos∠CAB，所以eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(AC,\s\up7(→))|cos∠CAB＝|eq\o(AB,\s\up7(→))||eq\o(AH,\s\up7(→))|＝2.]3．(多選題)對于非零向量a，b，c，下列命題正確的是()A．若a·b＝b·c，則a＝bB．若a⊥b，則a·b＝(a·b)2C．若a∥b，則a在b上的投影的數(shù)量為|a|D．若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，則a∥b答案：BD[對于選項(xiàng)A，若a·b＝b·c，則(a－c)·b＝0，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，若a⊥b，所以a·b＝0，則a·b＝(a·b)2，故B正確；對于選項(xiàng)C，若a∥b，則a在b上的投影的數(shù)量為±|a|，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，若λ1a＋λ2b＝0(λ1，λ2∈R，且λ1·λ2≠0)，推出a＝－eq\f(λ2,λ1)b，由平行向量基本定理可知a∥b，故D正確．故選BD．]二、填空題4．已知a是平面內(nèi)的單位向量，若向量b滿足b·(a－b)＝0，則|b|的取值范圍是________．答案[0,1]解析b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ(θ為a與b的夾角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b|≤1.5．如圖所示，一個大小為5N，與水平方向夾角37°的拉力F作用在小車上，小車沿水平方向