第三節(jié)傅里葉變換1.非周期信號的傅里葉變換任何滿足狄里克雷(Dirichlet)條件的非周期連續(xù)信號都可表示為無限多個幅度無窮小、頻率連續(xù)變化的復(fù)正弦信號的疊加，即：

第三節(jié)傅里葉變換傅里葉變換是正交積分變換其存在的充分條件是信號為絕對可積函數(shù)，即借助沖激函數(shù)、階躍函數(shù)等奇異函數(shù)的概念，可使許多非絕對可積的信號，如周期信號、因果斜坡函數(shù)等，存在傅里葉變換。

第三節(jié)傅里葉變換實(shí)信號的頻譜密度函數(shù)：一般為復(fù)數(shù)，其幅度譜為偶函數(shù)，相位譜為奇函數(shù)，因此，該實(shí)信號可以表示成：

第三節(jié)傅里葉變換傅里葉變換的物理意義是，非周期連續(xù)信號可表示為無限多個幅度無窮小的、頻率連續(xù)變化的、有相位函數(shù)的余弦信號的疊加。正因?yàn)槊總€頻率分量的幅度無限小，因此稱為信號的頻譜密度函數(shù)，簡稱為信號的譜。

第三節(jié)傅里葉變換2.典型非周期信號的傅里葉變換（1）單位沖激信號

第三節(jié)傅里葉變換2.典型非周期信號的傅里葉變換（2）單位直流信號

第三節(jié)傅里葉變換2.典型非周期信號的傅里葉變換（3）因果指數(shù)衰減信號

因果指數(shù)衰減信號及其幅度譜和相位譜

第三節(jié)傅里葉變換2.典型非周期信號的傅里葉變換（4）矩形窗信號

信號與系統(tǒng)t0信號與系統(tǒng)第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（1）線性性：傅里葉變換是線性運(yùn)算，滿足疊加定理。

第三節(jié)傅里葉變換求信號的傅里葉變換。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（2）共軛對稱性：對任何信號有：

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（2）共軛對稱性：任何實(shí)信號的頻譜一定是共軛對稱的。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（3）奇偶對稱性：任何實(shí)信號的頻譜實(shí)部偶對稱，虛部奇對稱，幅度偶對稱，相位奇對稱

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（3）奇偶對稱性：實(shí)偶信號的頻譜一定是實(shí)偶函數(shù)，實(shí)奇信號的頻譜一定是虛奇函數(shù)。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（3）奇偶對稱性：實(shí)信號的偶分量的FT是該信號FT的實(shí)部，該信號的奇分量的FT是是虛數(shù)單位j乘以該信號FT的虛部思考：如何證明。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（3）奇偶對稱性：因果信號的偶分量和奇分量都不可能等于零，因此因果信號的FT一定既有實(shí)部，也有虛部。即：它不可能是純實(shí)的，也不可能是純虛的。

例題3-12雙邊指數(shù)衰減信號的頻譜由于雙邊指數(shù)衰減信號是因果指數(shù)衰減信號的偶分量，因此利用上述的對稱性質(zhì)，有：

例題3-13符號函數(shù)的頻譜由于符號函數(shù)是因果指數(shù)衰減信號的奇分量的兩倍當(dāng)時的極限，因此利用上述對稱性質(zhì)，有：

例題3-14求階躍信號頻譜由于，即階躍信號的偶分量是直流信號1/2,奇分量是符號函數(shù)的一半，有：

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（4）時移定理（頻域復(fù)指數(shù)加權(quán)）：時域延遲對應(yīng)于頻域指數(shù)加權(quán)，即頻域附加線性相位滯后：時移定理敘說，信號的延遲不改變信號的幅度譜，僅在相位譜中引入線性相位滯后項

例題3-16利用時移定理：上述兩式是梳狀濾波器的實(shí)現(xiàn)原理，它們有周期等于的周期頻譜，并且在其基周期內(nèi)分別有帶阻特性和帶通特性。

例題：求三脈沖信號的頻譜單矩形脈沖的頻譜為有如下三脈沖信號則其頻譜為

補(bǔ)充例題：求和的傅里葉變換。信號與系統(tǒng)補(bǔ)充例題：求圖示信號的傅里葉變換

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（5）頻移定理（時域復(fù)指數(shù)加權(quán)，復(fù)調(diào)制定理）：頻譜搬移對應(yīng)于時域用復(fù)正弦加權(quán)，即：頻延定理敘說，復(fù)正弦調(diào)制后的信號的頻譜是原信號頻譜向右搬移。復(fù)調(diào)制定理的物理實(shí)現(xiàn)是雙路正交調(diào)制，它用于單邊帶通信。

例題3-17求正弦信號的頻譜：利用頻移定理有：正余弦周期信號在正負(fù)信號頻率上各有一根譜線。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（6）調(diào)制定理：用余弦調(diào)制后的信號頻譜是原頻譜減半后向左和向右頻率搬移

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（6）調(diào)制定理：右圖給出了余弦調(diào)制時的頻譜搬移。其中，是被調(diào)低頻信號的頻譜，

是相應(yīng)的已調(diào)高頻信號的頻譜。調(diào)制定理是雙邊帶通信的基礎(chǔ)。

例題3-18求因果正弦信號的頻譜：利用調(diào)制定理有：

例題3-19求矩形調(diào)幅信號的頻譜（數(shù)字通信中的幅度鍵控ASK信號）：利用調(diào)制定理和矩形窗函數(shù)的頻譜有：

例題3-20求因果指數(shù)衰減正弦信號的頻譜：利用調(diào)制定理有：

升余弦脈沖

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（7）尺度定理：時域壓縮/擴(kuò)展a倍相應(yīng)頻域擴(kuò)展/壓縮a倍，即：測不準(zhǔn)原理敘說，每個信號的時寬－帶寬積為常數(shù)（雖然，此常數(shù)與所論信號有關(guān)），因此當(dāng)它的時寬壓縮a倍時，頻寬就一定要擴(kuò)展a倍，尺度定理就是測不準(zhǔn)原理的具體體現(xiàn)。特別的，當(dāng)a=-1時：

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（7）尺度定理：信號與系統(tǒng)第三節(jié)傅里葉變換尺度定理：

例題3-22已知，求和的FT。利用時移定理和尺度定理有：

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（8）時域微分性質(zhì)：例3-23

求的FT

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（9）時域積分定理：

例題3-24求梯形窗信號的FT。

求解信號的傅里葉變換

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（10）頻域微分定理：

例題3-25求因果冪信號的FT。

例題3-26求因果加權(quán)的指數(shù)衰減信號的FT。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（11）頻域積分定理：

可借助傅里葉變換的對偶性質(zhì)進(jìn)行證明。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（12）卷積定理：時域卷積相應(yīng)于頻域相乘，即推論：對于有沖激響應(yīng)的LTI系統(tǒng)而言，激勵產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為，在頻域中有

系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)沖激響應(yīng)的FT該推論是系統(tǒng)頻域分析以及濾波器理論的基礎(chǔ)，也是用FT計算卷積的依據(jù)。

例題3-27求底邊長2

高

的三角窗信號的FT。與矩形窗的譜具有負(fù)的旁瓣不同，三角窗的譜只有正的旁瓣。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（12）卷積定理：常用公式：

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（13）頻域卷積定理：頻域卷積相應(yīng)于時域相乘，即例3-28，求被矩形窗截斷后的信號的FT信號截斷后，頻譜被矩形窗的頻譜函數(shù)模糊了。

第三節(jié)傅里葉變換例如，ASK信號可視為截斷了的余弦信號，由圖可見兩根沖激譜被頻域Sa函數(shù)模糊后的結(jié)果。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（14）對偶性：對偶性敘說，把時頻域倒過來，原有關(guān)系仍然成立。例如，原有：時域的卷積對應(yīng)于頻域的相乘，則必有：頻域的卷積對應(yīng)于時域的相乘。實(shí)際上，前述關(guān)系都是成對出現(xiàn)的，這并不是巧合，而是對偶性的體現(xiàn)。

對偶性質(zhì)的證明

例題3-29求抽樣信號的FT。，

例題3-29這表明，抽樣信號是理想低通濾波器的沖激響應(yīng)，由于它是非因果無限持續(xù)時間信號，因此是物理不可實(shí)現(xiàn)的，即：理想低通濾波器是物理不可實(shí)現(xiàn)的。

第三節(jié)傅里葉變換3.

傅里葉變換性質(zhì)（15）帕斯瓦爾定理：這表明信號的能量既可以在時域求得，也可以在頻域求得。由于

表示了信號能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數(shù)。

例題3-30信號與系統(tǒng)第三節(jié)傅里葉變換4.

傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的關(guān)系（1）采樣信號的FS和FT

（1）采樣信號的FS和FT

第三節(jié)傅里葉變換4.

傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的關(guān)系（2）周期信號的FT－離散譜

第三節(jié)傅里葉變換4.

傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的關(guān)系（2）周期信號的FT－離散譜周期信號的頻譜是離散的，并且在的譜線強(qiáng)度為給出了利用FT計算FS系數(shù)的方法

第三節(jié)傅里葉變換4.

傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的關(guān)系上式表明：利用連續(xù)非周期信號的傅里葉變換計算由其延拓形成的周期信號傅里葉級數(shù)系數(shù)的方法，即該系數(shù)是對非周期信號連續(xù)頻譜的等間隔采樣。

第三節(jié)傅里葉變換4.

傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的關(guān)系例題3-31：以脈沖信號

、占空比的周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。

第三節(jié)傅里葉變換4.

傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的關(guān)系

第三節(jié)傅里葉變換4.

傅里葉變換與傅里葉級數(shù)的關(guān)系當(dāng)占空比為0.5時，則信號是實(shí)偶信號、且去除直流分量后，是奇諧信號，因此僅有奇次諧波余弦項。

第三節(jié)傅里葉變換