第頁，共頁郴州市2025年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試第二次監(jiān)測數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項：1．本試卷分試題卷和答題卡.試題卷共6頁，有三道大題，共25道題目，滿分100分.考試時間90分鐘.2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置.3．考生作答時，選擇題和非選擇題均須作答在答題卡上，在本試題卷上答題無效.考生在答題卡上按答題卡中注意事項的要求答題.4．考試結(jié)束后，將答題卡小號在上，大號在下，裝袋密封上交.一、單選題（本大題共18題，每小題3分，共計54分.每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合集合的交集運算求解即可.【詳解】因為集合，所以.故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題分析判斷即可.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：A.3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的形式，直接判斷選項.【詳解】是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，和是非奇非偶函數(shù).故選：B4.從1，2，3，4這四個數(shù)中隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率公式，即可求解.【詳解】這4個數(shù)任取兩個數(shù)，有，，，，，共6種情況，兩個數(shù)的和為偶數(shù)，則這兩個數(shù)是奇數(shù)或是偶數(shù)，有和，共2種情況，所以兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率.故選：A5.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷選項.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的復(fù)平面上的點為，在第一象限.故選：A6.函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，確定函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點.【詳解】由條件可知，，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過的定點是.故選：C7.函數(shù)的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排除法，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】由題意可知：函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，結(jié)合選項可知：ABC錯誤，D正確.故選：D.8.已知x，y是實數(shù)，則“”是“”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的特征，舉例說明充分必要性.【詳解】若，滿足，此時，所以不是的充分條件，反過來，若，滿足，此時，所以也不是的必要條件，所以”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D9.已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意利用基本不等式求最值即可.【詳解】因為正實數(shù)a，b滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.10.函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】使分母不等于，及對數(shù)的真數(shù)大于即可求解.【詳解】要使有意義，則有，解得且，所以的定義域為.故選：D.11.已知球O內(nèi)切于一個邊長為6的正方體，則球O的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定正方體內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式，即可求解.【詳解】正方體的棱長為6，所以其內(nèi)切球的半徑為3，所以球的表面積為.故選：C12.下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對于AB：根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)單調(diào)性分析判斷；對于C：根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值2分析判斷；對于D：根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于選項A：因為，故A錯誤；對于選項B：因為，故B錯誤；對于選項C：因為，，所以，故C正確；對于選項D：由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知：，故D錯誤；故選：C.13.函數(shù)的零點是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】令，結(jié)合對數(shù)解方程即可得結(jié)果.【詳解】令，即，可得，即，所以函數(shù)零點是0.故選：A.14.下列說法正確的是（）A.第一象限角一定是銳角 B.若是鈍角，則是第一象限角C.大于的角一定是鈍角 D.若是銳角，則是第二象限角【答案】B【解析】【分析】對于ACD：舉反例說明即可；對于B：根據(jù)可得的取值范圍，即可分析判斷.【詳解】對于選項A：例如為第一象限角，但不是銳角，故A錯誤；對于選項B：若是鈍角，則，可得，所以是第一象限角，故B正確；對于選項C：例如，但不是鈍角，故C錯誤；對于選項D：例如為銳角，則不是第二象限角，故D錯誤；故選：B.15.已知向量，則的值（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求，即可得模長.【詳解】因為向量，則，所以.故選：D.16.的值是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意利用余弦的倍角公式運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：D.17.已知函數(shù)的周期和振幅分別是（）A.，2 B.，4 C.，2 D.，4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最小正周期公式結(jié)合振幅的定義分析判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期，則周期為，振幅為4，結(jié)合選項可知D正確.故選：D.18.一個質(zhì)地均勻的骰子六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．連續(xù)拋擲這個骰子兩次，并記錄每次正面朝上的數(shù)字，記事件“兩次向上的數(shù)字都為3”，“兩次向上的數(shù)字之和是6”，則下列結(jié)論正確的是（）A.該試驗的樣本空間共有36個樣本點 B.事件A與事件B互斥C. D.【答案】A【解析】【分析】對于A：根據(jù)題意直接判斷即可；對于B：根據(jù)互斥事件的定義分析判斷；對于CD：根據(jù)題意結(jié)合古典概型運算求解即可.【詳解】對于選項A：設(shè)樣本空間為，則，即該試驗的樣本空間共有36個樣本點，故A正確；對于選項B：事件“兩次向上數(shù)字都為3”，事件“兩次向上的數(shù)字之和是6”，顯然事件B包含事件A，所以事件A與事件B不互斥，故B錯誤；對于選項C：因為，所以，故C錯誤；對于選項D：因為，所以，故D錯誤；故選：A.二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）19.計算：______________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的定義和指數(shù)冪運算求解.【詳解】由題意可知：.故答案為：4.20.若，則________.【答案】3【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求得表達式的值.【詳解】由于，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡求值，屬于基礎(chǔ)題.21.若事件A與B互斥，且，則______________．【答案】0.8##【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合互斥事件概率加法公式運算求解.【詳解】因為事件A與B互斥，且，所以.故答案為：.22.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則角___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意利用正弦定理可得，進行化簡，再根據(jù)大邊對大角的原理即可得解.【詳解】由正弦定理可得，所以，由，且則，所以，故答案為：.三、解答題（本大題共3小題，每題10分，滿分30分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）23.如圖，直四棱錐內(nèi)接于圓柱，PA為圓柱的母線，四邊形ABCD是底面的內(nèi)接平行四邊形，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點．（1）證明：平面PCD；（2）若四邊形ABCD為長方形，且，求圓柱的表面積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)可知，進而可得，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）由題意可得，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式可得圓柱的表面積.【小問1詳解】因為，F(xiàn)分別是PA，PB的中點，可知是的中位線，則，又因為，則，且平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD.【小問2詳解】因為四邊形ABCD為長方形則為底面圓的直徑，且，設(shè)r為圓柱的底面圓半徑，l為圓柱的高，則，所以圓柱的表面積.24.已知某班一共有n個學(xué)生，男生比女生多9人，采用分層抽樣的方法從中抽取5名學(xué)生志愿者參加植樹節(jié)活動，若抽取的樣本中男生有3人，女生有2人．（1）該班一共有多少人？（2）從抽取的5名學(xué)生志愿者中再隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)澆灌任務(wù)．設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)均為男生”，求事件M發(fā)生的概率．【答案】（1）45（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)分層比例關(guān)系設(shè)男生人數(shù)和女生人數(shù)，再根據(jù)條件列等式，即可求解；（2）首先將3名男生和2名女生編號，利用列舉法，以及古典概型概率公式，即可求解.【小問1詳解】因為抽取5名同學(xué)中男生和女生的比例為，根據(jù)分層抽樣的方法可知：該班中男生人數(shù)為，女生人數(shù)為因為男生比女生多9人，所以人，解得人．【小問2詳解】由（1）知，設(shè)抽取的3名男生分別記為A，B，C，抽取的兩名女生分別記為a，b從抽取的5名同學(xué)中抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為：共10個．M為事件“抽取的2名同學(xué)均為男生”，則事件M包含的基本事件有：，共3個基本事件，事件M發(fā)生的概率．25.已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)為奇函數(shù)；（2）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）單調(diào)遞增，證明見解析（3）或【解析】