三角晶殿y=Asin（tuv十⑺的囹像變換

國方大腦體擄）

作業(yè)完成情而

二學(xué)教學(xué)目標(biāo)）

1結(jié)合具體實(shí)例，理解尸Asin（sx+（p）白例際意義會(huì)用“五相去”畫出函數(shù)尸Asin（以十°）的簡(jiǎn)圖。會(huì)用計(jì)算機(jī)

畫圖，磁場(chǎng)恍皴A,④（p,嶺網(wǎng)確A①（p對(duì)懶圖t的影鞏

2能由汨施俄通過平移、何縮嫌得^尸Asin（m+9）的圖象。

3僻過程利稅岫簡(jiǎn)單至愎雜.悔例般的（朧I雌學(xué)恩根

，業(yè)；趣味引入〕

，⑦知識(shí)梳啕

’1、函數(shù)圖象的左右平移變換

JT7T?

如在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)y=sin*+大）和丁=$皿（工一彳）的簡(jiǎn)圖，并指出它們與y=sn】x

圖象之間的關(guān)系。

解析：函數(shù)），=sin（x+g）的周期為2〃，我們來作這個(gè)函數(shù)在長度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)

圖。

設(shè)x+工=Z,那么sin（.t+C）=sinZ,x=Z~—

333

TC兀？7l1冗54

jr、、、、

當(dāng)Z取0、乃3,7三7，2乃時(shí)，X取36363。所對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)是函數(shù)

22

y=Sin（X+y）,-py圖象上起關(guān)鍵作用的點(diǎn)。

列表:

XTC冗2乃7萬5期

6TTT

71071式3不27r

X+—

32T

sin(x+y)010-10

類似地，對(duì)于函數(shù)丁=$析（彳一四），可列出下表:

■4

X713萬547乃97

44T4T

nn冗342不

X----0

422

.Z%、

sin(x——)010-10

4

描點(diǎn)作圖（如卜）

7F

利用這類函數(shù)的周期性，可把所得到的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得出y=sin（x+g）,XGR及

3個(gè)單位而得到的，y=sin（x—X7T）的圖象可以看作是把）'=s?inx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)

4

冗

4個(gè)單位得到的。

注意：一般地，函數(shù)）'=sin（x+8）（“H0）的圖象，可以看作是把＞=sinx的圖象上所有的點(diǎn)

向左（當(dāng)。＞°時(shí)）或向右（當(dāng)。＜°時(shí)）平行移動(dòng)⑷個(gè)單位而得到的。

推廣到一般有：

將函數(shù)丁=/*）的圖象沿x軸方向平移同個(gè)單位后得到函數(shù),'=/（x+〃）（a0°）的圖象。當(dāng)

a＞0時(shí)向左平移，當(dāng)a＜0時(shí)向右平移。

2、函數(shù)圖象的橫向伸縮變換

.1

.cy~sin-A.

如作函數(shù)丁=01。2%及2的簡(jiǎn)圖，并指出它們與y=sinx圖象間的關(guān)系。

/24

解析：函數(shù)》=sin2x的周期一2一，我們來作工團(tuán)6汨時(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)圖。

設(shè)2x=Z,那么sin2/=sinZ,當(dāng)z取0、乃旦,2萬時(shí)，所對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)是函數(shù)

22

_Z乃笈3萬

y=sinZ,ZG[0,2汨圖象上起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)，這里”-2,所以當(dāng)x取0、4、E、4'"

時(shí)，所對(duì)應(yīng)的五點(diǎn)是函數(shù)）'=sin2x,XG[0,幻的圖象上起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)。

列表:

X0713K7T

42T

2x0717t3兀2不

~2

2

sin2x010-10

=sin，K的周期7=g=4乃，我們來作xw[°'4組時(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)圖。

21

2

列表:

X0712萬3兀4萬

1乃7T3萬2乃

—x0

22T

1

sin-x010-i0

2

描點(diǎn)作圖,

利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上面的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得出）'=sin2x,XQR及

j=sin—x?xeR的簡(jiǎn)圖（圖略）。

2

從上圖可以看出，在函數(shù)），=$山21的圖象上橫坐標(biāo)為會(huì)（/￡/?）的點(diǎn)的縱坐標(biāo)同丫=$也工

xc=-sin（2?—）=sin—=1

上橫坐標(biāo)為/的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同（例如，當(dāng)2時(shí)，22,

s.inx=si.n—71=.1.c.

ft2）o因此，）'=sin2x的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮

\_

短到原來的5倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。

y=sin—x.

類似地，2的圖象可以看作是把y=smx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍

（縱坐標(biāo)不變）而得到的。

注意：一般地，函數(shù)）=411儂（0>°且。工1）的圖象，可以看作是把），=sinx的圖象上所有

J_

點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)口>1時(shí)）或伸長（當(dāng)0<3Vl時(shí)）到原來的。倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。

推廣到一般有：

函數(shù)），=/（5）（°>0,owl）的圖象，可以看作是把函數(shù)y=/（x）的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)

縮短（當(dāng)。>1）或伸長（當(dāng)?！纯赩1）到原來的。倍（縱坐標(biāo)不變）而得到。

3、函數(shù)圖象的縱向伸縮變換

I：

如在同一坐標(biāo)系中作出y=2sinx及），=±sinx的簡(jiǎn)圖，并指出它們的圖象與）'=smx的關(guān)

O

解析：函數(shù)）'=2sinx及）,=gsinx的周期丁=2%，我們先來作工厘仇2汨時(shí)函數(shù)的簡(jiǎn)圖。

列表：

X0乃7T342不

2~2

sinx010-10

2sinx020-20

12

—sinx000

222

描點(diǎn)作圖，如圖:

利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上圖的簡(jiǎn)圖向左、向右擴(kuò)展，得到，'=2sinx,xeR及

1?

y=—sinx,xeRD

2的簡(jiǎn)圖（圖略）。

從上圖可以看出，對(duì)于同一個(gè)x值，）'=2sinx的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于），=sinx的圖象上點(diǎn)

的縱坐標(biāo)的兩倍（橫坐標(biāo)不變），從而）'=2sinx,xwR的值域?yàn)閇-2,2],最大值為2,最小值

為-2。

類似地，y=」sinx的圖象，可以看作是把）'=sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到京來的J_

'22

倍（橫型標(biāo)不變）而得到的，從而），='sinx,XER的值域是-1最大值為最小值

2222

為一5。

注意：對(duì)于函數(shù)）'=Asinx（A>O且A#1）的圖象，可以看作是把）'=sinx的圖象上所有點(diǎn)

的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)A>1時(shí)）或縮短（當(dāng)O<A<1時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到的，

Asinx,XER的值域?yàn)閇-A,A],最大值為A,最小值為一A。

推廣到一般有：

函數(shù)y=V*）（A>0且A#l）的圖象，可以看作是把函數(shù)）'=/（X）圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸

長（當(dāng)A>1）或縮短（當(dāng)0<A<：L）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到。

4、函數(shù)）'=Asin（如+⑷的圖象

作函數(shù)y=4sin（皿+0的圖象主要有以下兩種方法：

（1）用“五點(diǎn)法”作圖

用“五點(diǎn)法"作）'=Asim3T+0）的簡(jiǎn)圖，主要是通過變量代換，設(shè)z=s+。，由z取0,巳,

2

萬，二，24來求出相應(yīng)的x,通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象。

2

（2）由函數(shù)3'=sinx的圖象通過變換得到），=Asin（ST+°）的圖象，有兩種主要途徑：“先平

移后伸縮”與“先伸縮后平移二

法一：先平移后伸縮

sinx向左so）或向右（。<。）>>=sm*+cp）

,平移陽個(gè)單位J

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

___________________.>y=sin(口K+(p)

縱坐標(biāo)不變

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍

”二Asin(dxv+°)

橫坐標(biāo)不變

法二：先伸縮后平移

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹贡?/p>

y=sinx------------生_>

須坐標(biāo)不變

向左（0〉0）或向右（0<0）

y=sin(ux》y=sin(dix-+(p)

平移I第個(gè)單位

緡譙*j=AsinM+°)

..當(dāng)

可以看出，前者平移I?個(gè)單位，后者平移0個(gè)單位。原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)

變量x而言的。因此在用這樣的變換法作圖象時(shí)一定要注意平移的先后順序，否則必然會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

當(dāng)函數(shù)》=Asin（以+0（A>O,口>0,+°°））表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A就表示這個(gè)

量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個(gè)振動(dòng)的振幅；往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間

T=—

。，它叫做振動(dòng)的周期；單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)T24，它叫做振動(dòng)的頻率;

3+夕叫做相位，夕叫做初相（即當(dāng)x=0時(shí)的相位）。

出以典例講練）

.-71

.y=sin（2x+—）

例1.用兩種方法將函數(shù)F=sinx的圖象變換為函數(shù)3的圖象。

C?乃、C汽

x―》2x—>2（xH—）=2xH—

分析1：63

橫坐標(biāo)縮短到原來的;

y=sinx---------------二

解法1：縱坐標(biāo)不變

向左平移烹個(gè)單位

y=sin2x--------6------>

)，=sin[2(x+-)J=sm(2x+-)

63

71.71

X->X4------->Z.X+-

分析2：33

向左平移。個(gè)單位

解法2：)'=smx--------2------>

71橫坐標(biāo)縮短到原來的;

y=sin(xH——)----------------

,3縱坐標(biāo)不變

.TC.

,y=sin(2x+—)

點(diǎn)評(píng)：在解法1中，先伸縮，后平移：在解法2中，先平移，后伸縮，表面上看來，兩種變換

7171

方法中的平移是不同的(即7和5),但由于平移時(shí)平移的對(duì)象已有所變化，所以得到的結(jié)果是一

致的。

練習(xí)：

要得到y(tǒng)=的圖最只要將y=sm2x的圖象

解一，由于y=ssn(2x?q)=sin(2(x?5],所要得到r=sin(2c?1)的圖

，應(yīng)選D

解二；y=sm2量？過點(diǎn)(0.0),y=$m(2x?勺則紹i點(diǎn)(：.0)這是與

36

X軸交點(diǎn)中在原點(diǎn)右邊最接近原點(diǎn)的交點(diǎn),而在原點(diǎn)左邊與X軸交點(diǎn)中最

???只要枷=an2x的圖象向右平移二個(gè)單位，就可得到丫=sn(2x4)

63

的圖象.，選D

例2.用五點(diǎn)法作出函數(shù))，-2sin(2x+q)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)問。

分析：按五點(diǎn)作圖法的要求找出五個(gè)點(diǎn)來，然后作圖。

解析：(1)列表

冗rr34

列表時(shí)21+—取值為0、一、兀、—.2"，再求出相應(yīng)的x值和y值。

322

(2)描點(diǎn)

Xn7T7t7冗5萬

6V2.~312~6

c冗713兀

2x+-0TC

32~2

y020-2()

(3)用平滑的曲線順次連結(jié)各點(diǎn)所得圖象如圖所示:

利用這類函數(shù)的周期性，我們可以把上面所得到的簡(jiǎn)圖向左、右擴(kuò)展，得到y(tǒng)=2sin(2/+C),

xwR的簡(jiǎn)圖(圖略)。

可見在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)在［￡,2］上遞減，乂因函數(shù)的周期為不，所以函數(shù)的遞減區(qū)間

1212

為k7r+—k7r+—,(^eZ)o同理，增區(qū)間為^-―+—,(Z:eZ)o

_12112JL1212_

點(diǎn)評(píng)：五點(diǎn)法作圖，要抓住要害，即抓住五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，使函數(shù)式中的3+夕取0、兀、包、

22

2萬，然后求出相應(yīng)的x,y值。

例3.如圖是函數(shù)'=Asin［5+⑼的圖象，確定人、(0、。的值。

解析：顯然A=2

T=-7V—=7V

66

22r2萬,

二.co=——=——=2

T71

y=2sin(2x+°)

x-------

解法1：由圖知當(dāng)6時(shí)，y=()

7171

2%+69=2X(——)+0=0；m=—

故有6^,3

71

y=2sin(2x+-)

???所求函數(shù)解析式為3

解法2：由圖象可知將)'=2sin2x的圖象向左移Z

y=2sin2(.r+-)y=2sin(2.r+-)

即得6,即3

71

點(diǎn)評(píng)：求函數(shù))'=Asin(@:+0)的解析式難點(diǎn)在于確定初相。，一般可利用圖象變換

例：4.試述如何由尸』s:n(2戶巴)的圖象得到片sinx的圖象。

33

解析：j=-sin(2T^—)

'33

橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍)

縱坐標(biāo)不變

圖象向右平移告?zhèn)€單位1

y=-sinx

縱坐標(biāo)不變'3

縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍)

橫坐標(biāo)不變1丁=sinx

另法答案：

(1)先將片,sin(2產(chǎn)上)的圖象向右平移2個(gè)單位，得片，sin2x的圖象；

3363

(2)再將尸!sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得片!sinx的圖象：

33

(3)再將片,sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到片sinx

3

的圖象。

例5：函數(shù)f(x)=Asin(3x+(p)的圖象如圖2T5,試依圖指出

(l)f(x)的最小正周期；

(2)使②x)=0的x的取值集合;

(3)使f(x)VO的x的取值集合；

(4)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

(5)求使f(x)取最小值的x的集合；

(6)圖象的對(duì)稱軸方程；

(7)圖象的對(duì)稱中心.

解析：這是一道依圖象讀出相應(yīng)函數(shù)性質(zhì)的典型例題，本身就是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，它

根據(jù)f(x)=Asin(3x+(p)的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象的關(guān)系得出.

注：得出函數(shù)f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性質(zhì)，總是先在包含銳角在內(nèi)的一個(gè)

周期中研究，再延伸到整個(gè)定義域中.

(2)在一個(gè)周期內(nèi)芻中，使取)=0的x為x=5或x=n故所

■jr

求的熱集合為口區(qū)二-^+正71，k€Z)(x|x=n+3kn,慶Z)

(3)使f(x)〈O的x的集合為｛x|7+3k"x<^+3kn，k€Z)

(4)￡(x)的遞減區(qū)間是每一個(gè)[：+3k元，?+業(yè)叼k€Z,f(x)的遞

44

增區(qū)間是每一個(gè)卜?+3k冗，￡+弘冗]在2.

44

(5)使F(x)取最小值的x的取值集合是(x|x=7+3k兀，k€Z)

4

(6)f(x)的圖象對(duì)稱軸有無數(shù)條，它們的方程為x=[+竺，kEZ

42

注:實(shí)際上f(x)圖象的對(duì)稱軸方程為x=x°,而其中XD使f(XD)=1或f(Xo)二T

(7)f(x)圖象的對(duì)稱中心有無數(shù)個(gè)，它們的坐標(biāo)為([+挈，0),k￡Z.

?4I

注：f（x）的圖象的對(duì)稱中心為（X。，0）,其中X。使f（x0）=0

【說明】這種依圖讀性的問題是提高數(shù)形結(jié)合能力的重要訓(xùn)練題，其中有兩點(diǎn)要注意反思:

①周期性在研究中的化簡(jiǎn)作用，②三角函數(shù)的“多對(duì)一”性.

練習(xí)：1.（13分）已知函數(shù)*x）=Asin（①x+°）（A>0,刃>0,|^>|<?）

圖象如圖所示.

（1）求函數(shù)/U）的解析式；

（2）如何由函數(shù)y=2sinx的圖象通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到函數(shù)

象.試寫HI變換過程.

解（1）由圖象知A=2.

段）的最小正周期7=4X偌一*心故/=爺=2.

將點(diǎn)備2）代入外）的解析式，得sin修+力=1.

又|沖巧，

故函數(shù)/（X）的解析式為心）=2sin（2x十令）

向左平移至個(gè)坐標(biāo)

（2）方法一），=2sinx------------------------>

橫坐標(biāo)縮短為原來花.（兀、

雙坐嬴變—'=2sin（2x+0

橫坐標(biāo)縮短為原來性

方法二y=2sinx>y=2sin2x

樂坐標(biāo)不變

解（1）由圖象知A=2,7=8,

..7一冽；—o?,、—ZE

又圖象過點(diǎn)(-1,0),.,?2sin(—￡+e)=().

.兀?\/U)=2sin僅+：).

??3=7

(2)y=/(x)+/U+2)

(4x+4)+2sin(?+2+4,

=2sinl

—十2巾cos3.

2-3兀)冗.兀

6,—7.

3-/46

=一方，即尸一|時(shí)，尸危）+兒丫+2）取得最大值加;

當(dāng)%=—兀，即x=-4時(shí)，），=/U）+/（x+2）取得最小值一2吸.

易錯(cuò)分析y=/U）+,/U+2）化簡(jiǎn)錯(cuò)誤，化簡(jiǎn)公式和方法不熟致誤.

向左平移三個(gè)坐標(biāo)

--------12-------->y=2sin|

3.(14分)函數(shù)y=4sin((wx+0)(A>0,m>0,\(p\<^)y的一段

2》

圖象如圖所示.

011J

⑴求函數(shù)y=fix）的解析式;馬

（2）將函數(shù)），=/U）的圖象向右平移;個(gè)單位，得到），=g（x）的圖象，求直線），=&與函數(shù)丁=貝幻+

g（x）的圖象在（0，兀）內(nèi)所有交點(diǎn)的坐標(biāo).

解（1）由題圖知A=2,7'=TI,于是幻=~y=2,

將），=2sin2A-的圖象向左平移自個(gè)單位長度,

得y=2sin(2x+9)的圖象.

于是°=2><g=^，?\/U)=2sin(2x+g.

(2)依題意得g(x)=2si42(工一：)+5

=-2cos(2x+|j.

故y=%)+g(x)=2sin(2x+g-2cos(2x+§

=2y[2sin(2x—~^.

由2^/2sin^2r-^=A/6,得sin(2x-/)=坐.

7T7t7C

V0<r<n,-Y^<Zr-p<2n-

.71兀4c7C，兀

-2"一五='或2r一五=了，

???x=9嚴(yán)或兀,

???所求交點(diǎn)坐標(biāo)為（|去\同）或管.、歷）

易錯(cuò)分析f（x）向右平移:個(gè)單位得g（x）=2sin［2（x\）+段，學(xué)生易錯(cuò)為

g（x）=2sin（2x—忽略了x的系數(shù)2的作用.

一、選擇題

i.將函數(shù)），=sin。一?圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得圖象向

左平移方個(gè)單位，得到圖象的解析式是（）

A.y=sin(2x+^)

C.y=sin(^\—

D.y=sin(Z\—

（答案］C

I解析］將函數(shù)），=sin（x一與圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)），

=sin@一令的圖象，再將所得函數(shù)圖象向左平移三個(gè)單位，得到函數(shù)尸sin曲+引一爭(zhēng)=而肢一奇的

圖象，故選C.

2.函數(shù)y=Asin（cg，+9）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如下，此函數(shù)的解析式為（）

A.y=2sin(2x+，)

C.y=2sin(^―D.y=2sin(2x-

I答案］A

[解析]由圖象可知，A=2,T=2[y^—(—[J)]=n,：.a)=2.：.y=2sin(2r+^),

7T7T

又?12X(一瓦)+9=》

二.9=專，.?.y=2sin(2x+亨).

3.函數(shù)_y=sin|x|的圖象是（）

［答案］B

［解析］令/（x）=sin|M，xER,

-'-fi—x）=sin|-A|=sin|x|=y（A-）,

，函數(shù)_/U）=sin國為偶函數(shù)，排除A；

又當(dāng)時(shí)，y=sin|y|=sin^=l,排除D；

當(dāng)文=當(dāng)時(shí)，y=sin|y|=sin^=-1,排除C,故選B.

4.為了得到函數(shù)），=2sing+。，x￡R的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx,R的圖象上所有的點(diǎn)

（）

A.向左平移之個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（倍（縱坐標(biāo)不變）

B.向右平移2個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的;倍（縱坐標(biāo)不變）

C.向左平移2個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）

D.向右平移2個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變）

I答案］C

［解析］將），=2siru的圖象向左平移某個(gè)單位得到），=2sin（x+g的圖象，將），=2sinG+3圖象上

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），

則得到y(tǒng)=2sin&+施圖象，故選C.

二、填空題

5.已知函數(shù)尸Asin（s+w）（4>0,Q>0）的最大值為3,最小正周期是爭(zhēng)初相是會(huì)則這個(gè)函

數(shù)的解析式為.

［答案］y=3sin（7x+6

［解析］由題意，知4=3,（。=下===7,（p=N，

14JIVZ

.*.>>=3sin(7A+g).

6.函數(shù)I/U)=3sin(2x—§的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)).

④由)，=3sin2x的圖象向右平移與個(gè)單位長度可以得到圖象C.

［答案］???

I解析］啟竽)=3sin￥=-3,①正確；

/⑶的增區(qū)間為［桁一盍，E+得卜￡Z),令攵=0得增區(qū)間［一春寄，③正確；

由)，=3sin2x的圖象向右平移方個(gè)單位長度可以得到圖象C,④錯(cuò)誤.

三、解答題

7.已知函數(shù)丁=擊皿3+3)(4>0,6?0,I?謂)的圖象的-?個(gè)最高點(diǎn)為(2,2啦)，由這個(gè)最高點(diǎn)到

相鄰最低點(diǎn)，圖象與x軸交于點(diǎn)(6,0),試求這個(gè)函數(shù)的解析式.

I解析1已知函數(shù)最高點(diǎn)為(2,2^2),：.A=2yf2.

又由題意知從最高點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)，圖象與x軸相交于點(diǎn)(6,0),而最高點(diǎn)與此交點(diǎn)沿橫軸方向

的距離正好為;個(gè)周期長度，.'.5=6—2=4,即7=16.

.27r兀

??cu=T=g?

，y=2啦sin(,+0).

將點(diǎn)(6,0)的坐標(biāo)代入，有2/啜X6+e)=0,

sin(于+。)=0,

又,.,|夕|號(hào).??3=：.

???函數(shù)的解析式為尸26皿和+力.

8.已知函數(shù)段)=2sin(2x+6+。+1(其中。為常數(shù)).

(1)求7U)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若人引0,和寸，瓜)的最大值為4,求a的值；

(3)求出使人幻取最大值時(shí)x的取值集合.

7T7TJT

I解析］(I)由-］+2E爹+2E(&￡Z),

解得一Z).

???函數(shù)段)的單調(diào)增區(qū)間為［一］+E,1+kn］(keZ).

由壽+2E,k￡Z,

解得看+EWxW皇+E,￡￡Z.

???函數(shù)段)的單調(diào)減區(qū)間為吟+E,空+E］(keZ).

⑵??,OWrW9，狂2r+亞卷,

一〈WsiiQi十1)W1,

.\Ax)的最大值為2+。+1=4,

：?(!=1?

(3)當(dāng)府)取最大值時(shí)，2X+L+2E,kGZ,

.??2X=E+2EkQZ

.,.x=5+H,Z.

...當(dāng)yu)取最大值時(shí)，

x的取值集合是｛小4+E,jtez).

9.(2014.北京文，16)函數(shù)&)=3sin(2x+6的部分圖象如圖所示.

(1)寫出人工)的最小正周期及圖中xo、刈的值；

⑵求段)在區(qū)間［一方一月上的最大值和最小值.

［解析］(1VU)的最小正周期為空=兀

V（X0,也）是最大值點(diǎn),

令2x+戶升2E,k￡Z,結(jié)合圖象得Xo=*yo=3.

（2）因?yàn)楣ぁ辏垡幻粸?

所以2犬+勞￡［一卷，0］.

于是，當(dāng)2x+5=0,即x=一專時(shí)，危）取得最大值0；

當(dāng)2%+為一聚即，=一年時(shí)，危）取得最小值一3.

VJ4J

，心當(dāng)堂總結(jié)）

為,家庭作亞

基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1.函數(shù)y=|cosx|的周期為（）

A.2兀B.71

C.2D-4

I答案］B

［解析］作出函數(shù)y=|cosAi的簡(jiǎn)圖，

由圖象可知，函數(shù)y=|cosx|的周期為兀

2.（2014?浙江臨海市杜橋中學(xué)高一月考）要得到函數(shù)g（x）=cosx的圖象，只需將7U）=COS（L；）

的圖象（）

A.向右平移《個(gè)單位長度B.向左平移盤個(gè)單位長度

OO

C.向右平移;個(gè)單位長度D.向左平移號(hào)個(gè)單位長度

I答案］D

［解析］將.心）=3/一力的圖象向左平移彳個(gè)單位長度得到&a）=3S［。十彳）一$=33,故選

D.

3.（2014.山東濟(jì)南一中高一月考）函數(shù)J=COS2A-的圖象（）

A.關(guān)于直線工=一￡對(duì)稱B.關(guān)于直線1=一宗對(duì)稱

C.關(guān)于直線工=T對(duì)稱D.關(guān)于直線尸竽對(duì)稱

I答案］B

［解析］令2x=E（A￡Z）,

LTT

則x=7，&￡Z.

當(dāng)k=-1時(shí)，x=—故選B.

4.已知函數(shù)），=叵05（5+勿）（。V代）在一個(gè)周期內(nèi)如圖所示.設(shè)其周期為丁，則有（

）

.丁_2_工

A.T—$?0—4

C.T=3it,9=一彳

［答案］A

T3兀_37r12冗3兀6兀

［解析］2=T-20=^0'=-5-,T=~S'

5.要得到函數(shù)y=cos（2t+l）的圖象，只要將函數(shù)），=cos2x的圖象（）

A.向左平移1個(gè)單位B.向右平移I個(gè)單位

C.向左平移3個(gè)單位D.向右平移;個(gè)單位

I答案］C

I解析］本題考查三角函數(shù)（余弦型函數(shù)）圖象的平移問題.

Vy=cos（2x+I）=cos2（x+^）,所以只須將y=cos2x圖象向左平移/個(gè)單位即可得到y(tǒng)=cos（2t+

1）的圖象.注意圖象平移是對(duì)匕”而言的.

cos.｛一

6.設(shè)府）是定義域?yàn)镽,最小正周期為多的函數(shù)，若出尸,則乂一空）的

silLV（0<X<7l）

值等于（）

A.IB.2

C.0D.-當(dāng)

【答案】B

【解析】4一冬)=娉X(-3)+引

—/2_.3兀啦

一44尸呻-2-

二、填空題

7.函數(shù))，=普型的定義域?yàn)?

1?

［答案］(一楙+2E,殲?。?AWZ)

1+sinxWO=siniW-1

［解析］由已知得,

coat。。

結(jié)合正、余弦函數(shù)圖象可知,

—4+2E<x/+2E(&￡Z),

8.(2014.江西九江外國語高一月考)函數(shù)於)=cos(2x—奇+1的對(duì)稱中心坐標(biāo)為

［答案］6+亨，D&WZ

［解析］令2x—5=^+E［ZWZ),

則工=號(hào)+當(dāng)，kQZ.

故函數(shù)/(X)=COS(2A?一奇+1的對(duì)稱中心坐標(biāo)為6+等T)kRZ.

三、解答題

3—1

9.已知函數(shù)y=。一AOSA的最大值是彳，最小值是一,,求函數(shù)y=-4〃sinor的最大值、最小值

及最小正周期.

［解析］-IWCOSAWI,臼題意知》W0.

當(dāng)b>0時(shí)，—b0-bcosxWb,

，“一bW。一/7coSuT〈a+〃.

.、y=-4/?sindx=-4siny,

最大值為4,最小值為一4,最小正周期為4TL

當(dāng)b＜（）時(shí)，-bcGsx&—b,

:.a+b《a-bcosxWa-b.

/.y=—4in4sin~最大值為4,最小值為一4,最小正周期為4n.

JA,

能力提升

一、選擇題

1.函數(shù)y=lncosx（一,々4）的圖象是（）

［答案1A

［解析］由y=lncosx（一聲丫肯）知y=lncosA?是偶函數(shù)，原x=?導(dǎo)y=hgvO,故選A.

2.已知函數(shù)），=Asin（公丫-3）+方的圖象如圖所示，則常數(shù)4、/、然匕的取值是（）

1711n.

A.A=6,CD=y中=%,h=~2B.A=-4,。=2,(p=飛,b=~2

n,-D.A=4,s=；，(P兀,八

C.A=4,①=2,(p=飛b=2=yb=2

［答案］D

［解析］...最大值與最小宜的差=6—（—2）=8,

.\A-4.又\?周期7-竽-（一舒-4兀,

._27T_27i_j_6+(—2)

??co-T-47c-2,且”-2—，，

/.y=4sin+2.

由題意知A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中0都等于故選D.

3.已知危）是定義在（一3,3）上的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<3時(shí)，段）的圖象如圖所示，那么不等式J（x）cosxvO

的解集為（）

A.(一3,一飄(0,1)0佚3)

C.（一3,-^U（0J）U（|,3）D.（-3,-1）U（O,1）U（1,3）

I答案IB

［解析］?r）X）的解集為（一1,O）U（1,3）,危