2025年天津市初中數(shù)學(xué)競賽真題匯編與詳解一、填空題1.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，則斜邊AC的長度為____cm。2.若x是方程2(x-1)^2-3(x-1)+1=0的解，則x的值為____。3.在等腰三角形ABC中，底邊BC=8cm，腰AB=AC=10cm，則該等腰三角形的面積為____cm2。4.若函數(shù)f(x)=3x2-2x-1的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(2,9)，則該函數(shù)的對稱軸方程為____。5.已知數(shù)列{an}中，a?=1，an+1=2an+3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為____。6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)，點(diǎn)B(-2,-1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為____。二、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)，則下列說法正確的是（）。A.a>0，b=4，c=3B.a>0，b=-4，c=3C.a<0，b=4，c=3D.a<0，b=-4，c=32.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(m,n)到點(diǎn)A(2,3)的距離等于點(diǎn)P到直線x+2y-4=0的距離，則下列說法正確的是（）。A.m=2，n=3B.m=4，n=1C.m=1，n=4D.m=-2，n=-33.已知數(shù)列{an}中，a?=1，an+1=2an-1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S?為（）。A.S?=(2^n-1)/3B.S?=(2^n-1)/2C.S?=(2^n-1)/3D.S?=(2^n-1)/2三、解答題1.已知等差數(shù)列{an}中，a?=3，公差d=2，求：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S??。2.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求：（1）函數(shù)f(x)的對稱軸方程；（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。四、證明題1.證明：在直角三角形ABC中，若∠C=90°，且AC=√2AB，則∠B=45°。2.已知數(shù)列{an}中，a?=2，an+1=3an+2，求證：數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n都滿足an>0。五、應(yīng)用題1.某市自來水公司對居民用水實(shí)行階梯式計(jì)費(fèi)，用水量超過120噸的部分，每噸水價提高0.5元。某戶居民上個月用水量為150噸，求該戶居民上個月的水費(fèi)。2.一輛汽車從甲地出發(fā)，以60km/h的速度勻速行駛，2小時后到達(dá)乙地。然后汽車以80km/h的速度返回甲地，返回過程中因路況原因，平均速度降低到70km/h。求汽車從甲地到乙地的距離。六、解答題1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+4x+1，求：（1）函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。本次試卷答案如下：一、填空題1.已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，則斜邊AC的長度為____cm。答案：AC=√(AB2+BC2)=√(52+32)=√(25+9)=√34cm。2.若x是方程2(x-1)^2-3(x-1)+1=0的解，則x的值為____。答案：x=1或x=1/2。3.在等腰三角形ABC中，底邊BC=8cm，腰AB=AC=10cm，則該等腰三角形的面積為____cm2。答案：面積=(底邊×高)/2=(8×(102-42)^(1/2))/2=(8×6)/2=24cm2。4.若函數(shù)f(x)=3x2-2x-1的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(2,9)，則該函數(shù)的對稱軸方程為____。答案：對稱軸方程為x=-b/(2a)=2/(2×3)=1/3。5.已知數(shù)列{an}中，a?=1，an+1=2an+3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為____。答案：an=2^n-1。6.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(3,4)，點(diǎn)B(-2,-1)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為____。答案：中點(diǎn)坐標(biāo)為((3+(-2))/2,(4+(-1))/2)=(1/2,3/2)。二、選擇題1.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)，則下列說法正確的是（）。答案：B.a>0，b=-4，c=3。2.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P(m,n)到點(diǎn)A(2,3)的距離等于點(diǎn)P到直線x+2y-4=0的距離，則下列說法正確的是（）。答案：A.m=2，n=3。3.已知數(shù)列{an}中，a?=1，an+1=2an-1，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S?為（）。答案：A.S?=(2^n-1)/3。三、解答題1.已知等差數(shù)列{an}中，a?=3，公差d=2，求：（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；答案：an=a?+(n-1)d=3+(n-1)×2=2n+1。（2）數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S??。答案：S??=n/2×(a?+a?)=10/2×(3+(2×10+1))=5×21=105。2.已知函數(shù)f(x)=x2-4x+3，求：（1）函數(shù)f(x)的對稱軸方程；答案：對稱軸方程為x=-b/(2a)=4/(2×1)=2。（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。答案：函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的最大值為f(2)=22-4×2+3=-1，最小值為f(1)=12-4×1+3=0。四、證明題1.證明：在直角三角形ABC中，若∠C=90°，且AC=√2AB，則∠B=45°。解析：由題意知AC=√2AB，即AC2=2AB2。由勾股定理得AC2=AB2+BC2，代入AC2=2AB2得AB2+BC2=2AB2，即BC2=AB2。因此，三角形ABC是一個等腰直角三角形，所以∠B=45°。2.已知數(shù)列{an}中，a?=2，an+1=3an+2，求證：數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n都滿足an>0。解析：首先，a?=2>0。假設(shè)當(dāng)n=k時，an>0成立，即a?>0。那么當(dāng)n=k+1時，有an+1=3an+2=3a?+2>0，因?yàn)?a?>0且2>0。所以，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n都滿足an>0。五、應(yīng)用題1.某市自來水公司對居民用水實(shí)行階梯式計(jì)費(fèi)，用水量超過120噸的部分，每噸水價提高0.5元。某戶居民上個月用水量為150噸，求該戶居民上個月的水費(fèi)。解析：首先計(jì)算超過120噸的部分，即150噸-120噸=30噸。超過部分的水費(fèi)為30噸×0.5元/噸=15元。120噸以內(nèi)的水費(fèi)為120噸×原價。假設(shè)原價為x元/噸，則總水費(fèi)為120x+15元。由于題目沒有給出原價，無法計(jì)算具體的水費(fèi)。2.一輛汽車從甲地出發(fā)，以60km/h的速度勻速行駛，2小時后到達(dá)乙地。然后汽車以80km/h的速度返回甲地，返回過程中因路況原因，平均速度降低到70km/h。求汽車從甲地到乙地的距離。解析：汽車從甲地到乙地的時間為2小時，速度為60km/h，所以距離為60km/h×2h=120km。汽車返回甲地的速度為80km/h，但由于平均速度降低到70km/h，我們可以使用平均速度公式計(jì)算總時間：平均速度=總距離/總時間。設(shè)返回甲地的時間為t小時，則總距離為120km+80km/h×t。根據(jù)平均速度公式，70km/h=(120km+80km/h×t)/(2h+t)。解這個方程得到t=1.5小時。因此，汽車從甲地到乙地的總距離為120km+80km/h×1.5h=120km+120km=240km。六、解答題1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+4x+1，求：（1）函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；解析：要找到函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，我們需要解方程f(x)=0，即x3-3x2+4x+1=0。這是一個三次方程，可以通過因式分解或者使用數(shù)值方法求解。這里我們使用數(shù)值方法，得到零點(diǎn)x≈-0.5，x≈1.5，x≈2.5。（2）函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。