專題27.5相似三角形的應用【七大題型】

【人教版】

【題型?相似三角形的應用（九章算術）】.......................................................1

【題型2相似三角形的應用（影長問題）】......................................................6

【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】......................................................10

【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】....................................................14

【題型5相似三角形的應用（樹高問題）】......................................................19

【題型6相似三角形的應用（河寬問題）】......................................................22

【題型7相似三角形的應用（內接矩形問題）】..................................................26

”。手三

【知識點相似三角形的應用】

在實際生活中，我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時，可以把它們轉化為數(shù)學問題，建立相似

三角形模型，再利用對應邊的比相等來達到求解的目的。同時，需要掌握并應用一些簡單的相似三角形模

型。

【題型1相似三角形的應用（九章算術）】

【例I】（2021?北京大興?九年級期中）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，在“勾股”章中有這樣

一個問題："今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門兒步而見木？〃用今天的話說，大

意是：如圖，QEFG是一座邊長為200步（“步〃是古代的長度單位）的正方形小城，東門，位于G。的中點，

南門K位于的中點，出東門15步的A處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木（即點。

在直線AC上）.

【分析】本題只需要證出ACOKs△。4H,利用相似三角形的性質可以得到：急=詈，然后可以求出CK

的值，得出答案.

【詳解】解：由題意可知：DE=DG=200,AH=15

團”為G。的中點，K為。E的中點

DH=100,DK=100

^CDK=^A

而叵CKO=（a4H。

0△CD?△DAH

脛=絲

DHAH

空=100

10015

0C/C=—

3

答：出南門警步恰好看到位于A處的樹木.

【點睛】本題考查/相似三角形的應用：本題需要把實際問題抽象到相似三角形中，利用視點和盲區(qū)的知

識構建相似三角形，用相似三角形對應邊成比例求出物體的高度.

【變式1-1］（2022?湖南株洲?九年級期末）《九章算術》中記載了一種測量古井水面以上部分深愛的方法.如

圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿A8,從木桿的頂端8觀察井水水岸視線與井口的直

徑AC交于點E,如果測得力8=1米，AC=1.6米，AE=0.4米，那么CO為（）米.

A.5B.4D.2

【答案】C

【分析】由題意知：得出對應邊成比例即可得出CD.

【詳解】解：由題意知：AB^CD,則團84四3C,團8=伺。?！?

團瓦）△CQE,

喘=

0CD=3,

經(jīng)檢驗，CZ>3是所列方程的解，

故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，根據(jù)題意得出I3ABE豳CDE是解決問題的關鍵.

【變式1-2］（2022?河北?二模）《九章算術》的“勾股〃章中有這樣一個問題：“今有邑方不知大小，各中開

I'J.山北門二十步有木，山南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木.問邑方幾何？”大意是：如圖，

四邊形EFG”是一座正方形小城，北門A位于尸G的中點，南門8位于E"的中點.從北門出去正北方向

20步遠的C處有一樹木，從南門出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看見C處的樹木，則正

【答案】C

【分析】此題文字敘述比較多，解題時首先要理解題意，找到相似三角形，利用相似三角形的性質解題，

相似三角形的對應邊成比例.

【詳解】設小城的邊長為X步，根據(jù)題意，

Rt^CAF^Rt^CDM,

啜=捻

HnZU_U.5X

'20+14+X-1775’

去分母并整理，

得/+34K71000=0,

解得力=250,M=?284（不合題意，舍去），

回小城的邊長為250步.

故選：C.

【點睛】本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程

即可求出小城的邊長.

【變式1-3］（2021?河南?鶴壁市淇濱中學九年級階段練習）《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學著作，

由劉徽于三國魏景元四年（公元263年）所撰，本為《九章算術注》之第十卷，題為《重差》，所有問題

都是利用兩次或多次測望所得的數(shù)據(jù)來推算可望而不可及的目標的高、深、廣、遠，因首題測算海島的高、

遠得名《海島算經(jīng)》，亦為地圖學提供了數(shù)學基礎.

《海島算經(jīng)》中的第4道“望谷〃的題目為：今有望深谷，偃矩岸匕令勾高六尺.從勺端望谷底，入下股九

尺一寸.又設重矩于上，其矩間相去三丈，更從勺端望谷底，入上股八尺五寸.問谷深幾何？

大致意思是：望一個如圖所示的深谷，深谷的底部為線段MM在III谷邊緣處放置一個直角三角尺ABC,MCB

=90。，AC=6尺，A,C,N在一條直線上，CM3MN,從點A處望山谷底部M處時，視線經(jīng)過8C上的點E

處，測得EC長為9尺1寸；將三角尺沿著射線CA方向向上平移3丈得到△4夕CI從小處望山谷底部M

處時，視線經(jīng)過夕C'上的點尸處，測得尸C'長為8尺5寸.求山谷深CN為兒丈.（注：1丈=10尺，1尺

=10寸）

【答案】山谷深OV為41.9丈.

【分析】根據(jù)題目中的條件，需要兩次利用三角形相似的判定定理及性質，證明兩個三角形相似，再利用

對應邊成比例建立等式，進行求解.

【詳解】：解：由題意知：4c=60寸，EC=91寸，/C'=85寸，44'=300寸.

???Z.EAC=^MAN^ACE=乙ANM,

ACE?AANM.

AC_EC

"AN-MN，

的=包.

71AiMN

???MN=-AN.

60

v￡FA'C=LMA'N.LA'CF=Z.ANM,

???△F4C'?AMA'N.

._Fd_

**A'N~MN，

即=匕

A'A+ANMN

.60_85

"300+4N-：AN'

解得：AN=4250

經(jīng)檢驗：AN=4250符合題意，

ACN=AN-AC=4190寸=41.9丈.

答；山谷深CN為41.9丈.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定定理及性質，解題的關鍵是：熟練掌握相似三角形的判定定理及性

質，根據(jù)對應邊成比例建立等式，再通過等量代換進行求解.

【題型2相似三角形的應用（影長問題）】

【例2】（2022?浙江金華?九年級期末）如圖，小明在8：30測得某樹的影長為16m,13：00時又測得該樹

的影長為4m,若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（）

A.10mB.8mC.6mD.4m

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，證明△EOE3FQC,進而可得略=意，即。C2=EO?F。，代入數(shù)據(jù)可得答

案.

【詳解】解：根據(jù)題意，作團石廠C樹高為CD,且（3ECF=90。，ED=4m,FD=16m；

00E+0F=9O°,0￡：+0ECD=9Oo,

00ECZX3F,

又“DE=乙FDC

00EDCia[3C/）F,

畸=牌，即DC2=ED*FD=4X16=64,

解得CQ=8m（負值舍去）.

故選：B.

【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵.

【變式2-1]（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱A8,其旁邊有一個坡面CQ,

坡角NQCN=30。.在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為120cm,在坡面上的影長為180cm.同一時刻,

小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）.求立柱A8的高度.

【答案】（170+60百）cm

【分析】延長A。交8N于點E,過點。作。距8N于點尸，根據(jù)直角三角形的性質求出。凡根據(jù)余弦的定

義求出CR根據(jù)題意求出ER再根據(jù)題意列出比例式，計算即可.

【詳解】解：延長A。交8N于點E,過點。作。朋BN于點F,

在R3COF中，0CFD=9O°,0DCF=3O°,

貝I」DFWC"=90(cm),CF=CD*cosl?l￡)CF=180x^=90V3(cm),

由題意得，作嗡噂嗡

解得：EF=135,

0BE=BC+CF+￡：F=12O+9OV3+135=(255+9O>/3)cm,

h?|i_B_6°

AJ2S5+90V3~90,

解得：/\B=170+60V3,

答：立柱AB的高度為(170+60V5)cm.

【點睛】此題考查了解直角三角形的應用?坡度坡角問題、平行投影的應用，解題的關鍵是數(shù)形結合，正確

作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)和成比例線段計算.

【變式2-2］（2022?江蘇宿遷?九色級期末）如圖，河對岸有一路燈桿43,在燈光下，小明在點。處，自己

的影長DF=4m,沿BD方向到達點廠處再測自己的影長FG=5m,如果小明的身高為1.6m,求路燈桿48的

高度.

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質即可解答.

【詳解】解：0CD||EF||ABt

回可以得到△48F-△CD/?，AABG~AEFG,

又RCD=EF,

0DF=4,FG=5,BF=BD+DF=BD+4,BG=BD+DF+FG=BD+9,

史4+8。_9+BD

0FD=16,FF=16+4=2O,

嘮哼

解得48=8.

答：路燈桿A8的高度為8米.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，本題只要是把實際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角

形的性質對應邊成比例就可以求出結果.

【變式2-3](2022?黑龍江?大慶市慶新中學八年級期末)如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B,當她走到

0點時，發(fā)現(xiàn)她身后影子的頂端剛好接觸到路燈A的底部，當她向前再步行12m到Q點時，發(fā)現(xiàn)她身前影子的

頂端剛好接觸到路燈3的底部.已知小萌的身高是1.6m,兩路燈的高度都是9.6m,且AP=Q8=xm.

0

⑴求兩路燈之間的距離.

⑵當小萌在4,3之間走動時，在兩燈光下的影子長是變化的，那么兩個影子的長的和變嗎?請說明理由.

【答案】(l)18m

(2)兩個影子的長的和不會變，一直都是3.6m

【分析】(1)連接AC,易證ZMPD(3A4BC,根據(jù)相似三角形對立邊成比例即可求出x的值，兩路燈間的距

離等于PQ+Zi；

(2)根據(jù)題意作出圖形，找出其中的相似三角形，根據(jù)三角形的相思筆即可求出影子的長度和.

(1)

如圖，連接AC,

團。陶4從CI&LB,

WPWCB,

^APD^ABC,

曜=條即逐

解得：x=3,

a48=2x3+12=18(m)

(2)

如圖，當小萌在4,4之間走動時，在4路燈下的影子長度為QM在8路燈下的影子長度為。歷，

蜘DEL4B,BC^AB,Ol^OB,

^ADWOEWBC,

0A4/VD0AO/VE,A8MCI3A0ME,

OE_ONOE_OM

^AD―麗，CB一俞，

則會=黑，蕓=普，整理得：ON=；AN,OM=；BM，

9.6AN9.6BM66

ON+OM上（AN+BM）

6

MN="AB+MN）

6

由（1）得：A8=18m,

團MN2（18+MN）,解得：MN=3.6m,

6

故：兩個影子的長的和不會變，一直都是3.6m

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，要求學生能根據(jù)題意畫出對應圖形，能判定出相似三角形,

以及能利用相似三角形的性質即相似三角形的對應邊的比相等的原理解決求線段長的問題等，蘊含了數(shù)形

結合的思想方法.

【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】

【例3】（2022?山東臨沂?二模）如圖，石少是一個杠桿，可繞支點。自由轉動，若動力F動和阮力產陰的施力

方向都始終保持豎直向下，當阻力『阻不變時，則杠桿向下運動時F動的大小變化情況是（）

A.越來越小B.不變C.越來越大D.無法確定

【答案】B

【分析】由圖證明AMOEs^NOF,從而得到等=黑，即ME-N。=NH-M。，再根據(jù)題意得出答案.

NFNO

【詳解】解：^MOE=Z.NOF,乙M=LONF,

0AMOENOF,

喘=器即ME?NO=NF?MO,

團阻力F阻不變，即ME不變，

乂ROM,ON不變，

團由ME-N。=NF,M。得，NF不變,即尸動的大小不變.

故選：B.

【點睛】本題以實際問題為背景，考查了相似三角形的判定與性質，從實際問題中抽離出數(shù)學圖形，是解

題的關鍵.

【變式3?1】（2019?全國?九年級專題練習）如圖，是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當用力壓杠桿的4端

時，杠桿繞C點轉動，另一端8向上翹起，石頭就被撬動，現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿B端必須向上

翹10cm,已知杠桿上的AC與8c長度之比為5:1,則要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓多少座

米？

【答案】50厘米

【分析】首先根據(jù)題意構造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得端點A向下壓的長度.

【詳解】解：解:如圖；AM、BN都與水平線垂直，BPAM0BN：

B

易知：△ACMEBBCN；

ACAM

''~BC=~BN

（3杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為5：1,

微=三即AM=5BN；

回當BNNlOcm時，AM>50cm；

故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓50cm.

故答案為50

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質的實際應用，正確的構造相似三角形是解題的關鍵.

【變式3-2】一根均勻的木棒OA所受重力G=10N,小亮以木棒的一端。為支點，豎直向上將木棒的另一端

A緩慢拉到如圖所示的位置，保持不動，此時拉力為F,若點8為。4的中點，AC,8。分別垂直地面于點

C,D,則根據(jù)杠桿平衡原理得拉力尸的大小為（）

A.5NB.IONC.15ND.20N

【答案】A

【分析】依據(jù)BDIL4C,B是4。的中點，即可得到。是OC的中點，再根據(jù)杠桿平衡原理，可得GxOD=FxOC,

進而得出拉力產的大小.

【詳解】解：團8以。。，AC^OC,

0BDHAC,

又叫是AO的中點，BPOB=BA,

mOD=DC,

團?！?，

根據(jù)杠桿平衡原理，可得GxOD=FxOC,

團1CX叩X。。,

解得尸=5(N),

故選：A.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及杠桿平衡原理，熟練掌握平行線分線段成比例定

理并準確識圖是解題的關鍵.

【變式3-3］(2021?甘肅白銀?九年級期末)如圖，以點。為支點的杠桿，在A端用豎直向上的拉力將重為

G的物體勻速拉起，當杠桿OA水平時，拉力為F；當杠桿被拉至OA］時，拉力為Fi，過點BJ乍B1GEOA,

過點4作AiD團OA,垂足分別為點C、D.在下列結論中:

①△。&0；②OA?OC=OB?OD；③OC?G=OD?Fi；@F=Fn正確的是（）

A.①②④B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)在同一平面內，垂宜于同一直線的兩直線互相平行判斷出B1C0A1D,然后求出［3OB1C：配1OAQ,

判斷出①正確；

根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到②正確；

根括杠桿平衡原理：動力x動力臂邛且力x阻力臂列式判斷出③正確；

求出F的大小不變，判斷出④正確.

【詳解】0B1C0OA,AiDHOA,

0BiC0AiD?

回回OBiC回回OAiD,故①正確；

由旋轉的性質得，OB=OBi，OA=OAi，

0OA?OC=OB*OD,故②正確：

由杠桿平衡原理，OC?G=OD?Fi，故③正確；

］嚙=舞吟是定值,

I2F1的大小不變,

故④）正確.

l?IF=F1,

綜上所述，說法正確的是①②③④.

故選：D.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，杠桿平衡原理，熟練掌握相似三角形的判定方法和性質并

準確識圖是解題的關鍵.

【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】

【例4】（2019?四川?成都市雙流區(qū)立格實驗學校九年級階段練習）劉徽，公元3世紀人，是中國歷史上最

杰出的數(shù)學家之一.《九章算術注》和《海島算經(jīng)》是他留給后世最寶貴的數(shù)學遺產.《海島算經(jīng)》第一

個問題的大意是：如圖，要測量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高3丈的標桿BC和DE,兩桿之間的

距離BD=1000步，點D、B、H成一線，從B處退行123步到點F處，人的眼睛貼著地面觀察點A,點A、

C、F也成一線，從DE退行127步到點G處，從G觀察A點，A,E,G三點也成一線，試計算山峰的高度

AH及BH的長（這里古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步，結果用步來表示）.

【分析】根據(jù)題意得出△FCBGEFAH,AEDGOSAHG,進而利用相似三角形的性質求出即可.

【詳解】解：由題意,得，AH0HG,CB0HG,

團團AHF=90°,團CBF=90°,

團團AHF=?CBF,

00AFB=0CFB,

00CBFE0AHF,

段=竺

AHHF

同理可得意=瑞

團BF=123,BD=1000,DG=127,

0HF=HB+123,HG=HB+1000+127=HB+1127,BC=DE=3丈=3x^=5步，

0A=1235=127

HAHB+123'HAWB+1127

解得HB=30750,HA=1255步，

答：AH為1255步，HB為30750步.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定和性質.

【變式4-1］（2022?陜西?武功縣教育局教育教學研究室一模）千佛鐵塔位于陜西省咸陽市之北杜鎮(zhèn)，用純

鐵鑄成，中空有梯可攀登，四角柱鑄成金剛力士像，頂立層樓，各層環(huán)周鑄鐵佛多尊，故名“千佛塔”，此塔

為中國現(xiàn)存鐵塔中最高的一座.某數(shù)學興趣小組本著用數(shù)學知識解決實際問題的想法，欲測量該塔的高

度.如圖，在點C處有一建筑物，小麗同學站在建筑物上，眼睛位于點。處，她手拿一支長0.5米的竹竿

EF.邊觀察邊移動竹竿（竹竿石尸始終與地面垂直），當移動到如圖所示的位置時，眼睛。與竹竿、塔的

頂端從A共線，同時眼睛。與它們的底端F、4也恰好共線，此時測得NBOC=63。，小麗的眼睛距竹竿

的距離為0.5米，小麗的眼睛距地面的高度CO=17米，已知力DC_LBC.請你根據(jù)以上測量結果

計算該塔的高度A4.【參考數(shù)據(jù)：tan63o《2】

【答案】該塔的高度為34米

【分析】過點。作DG_L48于點G,交￡“于點〃，再根據(jù)￡人取8可得出△0A8?△OEF,由相似三角形的

對應邊成比例即可求出AB的長.

【詳解】過點。作DG1AB于點G,交EF于點、H,如圖.

易得〃G=BC,DH1EF,DH=U.5米.

(3CD=17米,Z.BDC=63°,zC=90°,tan63°?2,

嚷=2,(3BC=34米，即DG=34米.

團￡71148,

0ZDEF=LA,Z.DFE=LDBA,

（?!△DAB^△DEF,

齦=咯即竺=空

EFDH0.50.5

解得AB=34米，

即該塔的高度AB為34米.

【點睛】本題考查的是相似三角形的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

【變式4-2］（2022?陜西?模擬預測）延安寶塔，是歷史名城延安的標志，是革命圣地的象征，坐落在陜西

省延安市主城東南的寶塔山景區(qū)內.周末，數(shù)學實踐小組的同學帶著測量工具測量延安寶塔的高度.測量

方案如下：首先，在A處豎立一根高4m的標桿A8,發(fā)現(xiàn)地面.匕的點。、標桿頂端8與寶塔頂端M在一條

直線上，測得力。=4.3m；然后，移開標桿，在A處放置測角儀，調整測角儀的高度，當測角儀高AC為1m

時，恰好測得點M的仰角為45。已知MN1ND,ABJ.ND,點D、A、N在一條直線上，點A,C、8在一

條直線上，求延安寶塔的高MM

DA

【答案】延安寶塔的高MN為44m.

【分析】根據(jù)已知條件推出AMND?A8/10,得到黑二瞿，即可求得.

ABDA

【詳解】解：過點C作CE1MN于點E,則CE=AN,EN=AC=1,

團4MCE=45°,

(3ME=CE.

⑦ME=CE=AN=MN—1,

乙MND=々BAD,乙MDN=^BDA,

必4ND?LBAD,

MN_DN_M/V-l+4.3

AB一荷''"43'

團MN=44

團延安寶塔的高MN為44m.

【點睛】本題主要考查相似三角形的應用，證明AMND~ABAD是解決本題的關鍵.

【變式4-3］（2022?陜西西安?一模）“攬月閣”位于西安市雁塔南路最南端，是西安唐文化的標志性建筑，

陽光明媚的一天，某校九年級一班的興趣小組去測量攬月閣的高度.攬月閣前面有個高1米的平臺，身高

1.8米的小強在臺上走動，當小強走到點C處，小紅蹲在臺下點N處，其視線通過邊緣點M和小強頭頂點。

正好看到塔頂A點，測得CM=0.9米，然后小強從正前方跳下后，往前走到點E處，此時發(fā)現(xiàn)小強頭頂尸

在太陽下的影子恰好和塔頂人在地面上的影子重合于點P處，測得NE=5米，EP=1米.請你根據(jù)以上數(shù)

據(jù)幫助興趣小組求出攬月閣的高度.

【答案】99米

【分析】過點M作MQ_L48于點Q,則四邊形Q8NM為矩形，設.48的長為％,則4Q=%-1,根據(jù)DC_L

MQ,AQ1MQ,可得△AQM-△DCM,進而求得MQ的長度，即8N的長度，根據(jù)力8||",可得△PEFPBA,

進而根據(jù)相似二角形的性質列出比例式，解方程求解即可求出攬月閣的高度.

【詳解】解：如圖，過點M作MQ148于點Q,

?:AB1.BN,MN工BN

訓邊形QBNM為矩形，

設48的長為％,則/Q=x-1,

vDC1MQ,AQ1MQ

???AQWC

:.AAQMDCM

AQ_QM

DC-CM

???AQ=x-1,DC=1.8,CM=0.9

AQ-CM(x-1)x0.9x-1

QM=

DC1.82

x-1

BN=QM=—

???AB\\EF

???△PEFPBA

ABPB

EFPE

x-1x+11

VEF=1.9,PB=PE+NE+BN=1+5+—

2

X+11

1.81

解得％=99

攬月閣的高度為99米

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

【題型5相似三角形的應用（極高問題）】

【例5】（2011?遼寧大連?中考真題）為了測量校園內一棵不可攀的樹的高度，學校數(shù)學應用實踐小組做了

如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設計如圖所示的測量方案：把鏡子放在高樹（AB）8.7m

的點E處,然后觀測考沿著直線BE后退到點D,這時恰好在鏡子旦看到樹梢頂點A,再用皮尺量得DE=2.7m,

觀測者目高CD=1.6m,則樹高AB約是.（精確到0.1m）

A

C1

DEB

【答案】5.2

【詳解】如圖容易知道CD團BD,ABmBE,即團CDE=l3ABE=90°.由光的反射原理可知團CED=（3AEB,這樣可以得

到加AW,然后利用對應邊成比例就可以求出AB.

解：由題意知團CED=ZAEB,0CDE=0ABE=9O0,

00CEDG0AEB.

陋_AB,L6_AB

DE-BE*"27-87

0AB-5.2米.

故答案為5.2m.

【變式5-1］（2021?全國?九年級專題練習）據(jù)《九章算術》記載；“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，

木高九丈西尺，人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”

大意如下：如圖，今有山48位于樹CD的西面.山高為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺，人站在離

樹3里的尸處，觀察到樹梢C恰好與山峰力處在同一斜線上，人眼離地7尺，問山AB的高約為多少丈？（1丈二10

尺，結果精確到個位）

【答案】由力8的高約為165丈.

【分析】由題意得3。=53里，CD=95尺，EF=7尺,0/=3里，過點￡作EG1于點G,交CD于點、H,

得BG=DH=EF=7尺,GH=BD=53里，HE=DF=3里,根據(jù)相似三角形的性質即可求出.

【詳解】解：由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺,DF=3里.

如圖，過點E作EG148于點G,交CD于點H.

則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里,

???CD//AB,

00ECH00EAG,

95-7_3

/，AG=3+53

AG?164.3丈，AB=AG+0.7?165丈.

答：由A8的高約為165丈.

【點睛】此題主要考查了相似三角形在實際生活中的應用，能夠將實際問題轉化成相似三角形是解題的關

鍵.

【變式5-2］（2022?全國?九年級單元測試）小明想用鏡子測量一棵松樹的高度，但因樹旁有一條河，不能

測量鏡子與樹之間的距離，于是他兩次利用鏡子，如圖所示，第一次他把鏡子放在C點，人在F點時正好

在鏡子中看到樹尖A；第二次把鏡子放在D點，人在G點正好看到樹尖A.己知小明的眼睛距離地面1.70m,

量得CD=12m,CF=1.8m,DH=3.8m.請你求出松樹的高.

【答案】這棵古松的高約為10.2米.

【分析】根據(jù)反射定律可以推出團ACB=I3ECF,0ADB=SDGH,所以可得團BAC0團FEC、0ADB回I3GDH,再根據(jù)相似

三角形的性質解答.

【詳解】解：根據(jù)反射定律可以推出0ACB=EIECF,0ADB=0GDH,

團AB團BC,EF0BC,GH0BC,

00EAC00FEC.0ADBE0GDF,

設AB=x,BC=y

1.70_L8

J70；8，

1./V0.0

（x—y+12

解能：露

答；這棵古松的高約為10.2米

【變式5?3】（2021?陜西寶雞?一模）傍晚，小張和媽媽在某公園散步，發(fā)現(xiàn)公園的一路燈旁有一棵古老的

大樹，小華激動地說：媽媽，我可以通過測量您的影長，測得媽媽的影長。F=1.6m.媽媽沿8。的方向到

達點尸處，此時小華測得媽媽的影長/G=2m.已知媽媽的身高為1.6m（即。。=七/=1.6〃?），A83BG,

【答案】8米

【分析】在同一時刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質即可解答.

【詳解】解：

團團C?！?M4b，^ABG^EFG,

CD_DF_EF__FG_

AB-BF'AB一BG'

ySLCD=EF,CD=DF

戰(zhàn)二，

ABAB+GF

團OP=1.6/〃，F(xiàn)G=2m,

膽二^—

ABAB+2

解得，AB=8.

答：這棵大樹的高度是

【點睛】本題考查了相似三角形的有關知識，能夠借助兩組三角形相似求解是解決問題的關鍵.

【題型6相似二角形的應用（河寬問題）】

【例6】（2021?河北?石家莊市笫四十一中學九年級期中）為了估計河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選

定一個目標記為點4,再在河的這一邊選點B和點C,使得4B_LBC,CE1BC,設BC與4E交于點。，如圖所

示測得80=120m,DC=40m,EC=30/n,那么這條河的大致寬度是（）

A

E

A.607nB.90mC.100mD.120m

【答案】B

【分析】證明△QEQa/kDW即可.

【詳解】EL4F1BC,CE1BC,

^DBA^DCE.

^BDA^CDE,

^LDEC^^DAB,

0DC：DB=EC：AB,

團8D=120m,DC=40m,EC=30m,

回4C：120=30：AB,

團48=90（/n）,

故選B.

【點睛】本題考查了三角形相似的判定和性質，熟練掌握三角形相似的判定定理和性質是解題的關鍵.

【變式6-1］（2019?全國?九年級單元測試）如圖，為了估計河的寬度，在河的對岸選定一個目標點A,在

近岸取點B,C,D,E,使點A,B,D在一條直線上，且ADmDE,點A,C,E也在一條直線上且DE0BC.如

果BC=24m,BD=12m,DE=40m,則河的寬度AB約為（）

A.20mB.18mC.28mD.30m

【答案】B

【分析】證明13ABe02ADE,利用相似比得到言然后根據(jù)比例的性質求AB的長度.

DEAH^BD

【詳解】0BC0DE,

團團ABO23ADE,

BCAB

0ra—=-----------

DEAB+BD

24AB

即nn一=-----

40AB+12

0AB=18m.

故選B.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度（測量距離）；

借助標桿或直尺測量物體的高度.

【變式6-2］（2022?貴州畢節(jié)?二模）如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸岸邊每隔5m有一棵

樹，小華站在離南岸20m的點。處看北岸，在兩棵樹之間的空隙中，恰好看見一條龍舟的龍頭和龍尾（假

設龍頭、龍尾和小華的眼睛位于同一水平平面內），己知龍舟的長為18.5m,若龍舟行駛在河的中心，且龍

舟與河岸平行，則河寬為F.

北岸

【答案】108

【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，過點。作PF_LCD于點凡交AB于點E,證明△R4B?△PCO,再借助相

似三角形的性質計算。尸的長，再由題意計算河寬即可.

【詳解】解：根據(jù)題意畫出示意圖，過點F作于點八交AB于點E,

由題意可知，兩樹之間的距離力8=5m,龍舟的長CD=18.5m,點P到南岸的距離PE=20m,

斯B〃CD,

OAPABPCD,

於=些，即衛(wèi)=旦，

PFCDPF18.5

回PF=74m,

團￡7=PF-PE=74-20=54m,

團龍舟行駛在河的中心，

回河寬為54x2=108m.

故答案為；108.

【點睛】本題主要考查了利用相似三角形解決實際問題，解題關鍵是根據(jù)題意作出示意圖，構建相似三角

形.

【變式6-3］（2022?陜西?西安工業(yè)大學附中九年級期中）為了加快城市發(fā)展，保障市民出行方便，某市在

流經(jīng)該市的河流上架起一座橋，連通南北，鋪就城市繁榮之路.小明和小穎想通過自己所學的數(shù)學知識計

算該橋A/的長.如圖，該橋兩側河岸平行，他們在河的對岸選定一個目標作為點A,再在河岸的這一邊選

出點B和點C,分別在4B、AC的延長線上取點。、E,使得。EII8C.經(jīng)測量，BC=120米，。七=210米,

且點石到河岸BC的距離為60米.已知4對8C于點F,請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計算橋A尸的長度.

【答案】橋A尸的長度為80米.

【分析］過E作EG0BC于G,依據(jù)8cm4OE,即可得出告二：,依據(jù)△ACR30ECG,即可得到蕓=翌,

EC3EGEC

進而得出人尸的長.

【詳解】解：如圖所示，過七作￡54。于G,

0DEHBC,

^ABC^ADE,

"CBC1204

0—=—=—=

AEDE2107

噴?

M酹BC,EG^BC,

(MFHEG,

能L4C*型ECG,

述二任，即竺=±,

EGEC603

解得A尸=80,

田橋A尸的長度為80米.

【點睛】本題主要考看了利用相似測量河的寬度（測量距離）.測量不能直接到達的兩點間的距離，常常

構造“〃型或"X”型相似圖，三點應在一條直線上.必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構造直角

三角形.方法是通過測量易于測量的線段，利用三角形相似，對應邊成比例可求出河的寬度.

【題型7相似三角形的應用（內接矩形問題）】

【例7】（2020?江蘇無錫?九年級期中）一塊直角三角形木板，它的一條直角邊AC長為1cm,面積為lcm2,

甲、乙兩人分別按圖①、②把它加工成一個正方形桌面，則①、②中正方形的面積較大的是（）

D.無法判斷

【答案】A

【分析】分別利用平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質求出兩個正方形的邊長，然后利用正方

形的面積公式求出面積，然后進行比較即可.

【詳解】解：由AC長為Isn,△4BC的面積為lcm?,可得BC=2sn,

如圖①，設加工桌面的邊長為xcm

vDE//CB,

DE_AD

~EC~就,

即T

解得：x=\（cm）：

如圖②，設加工桌面的邊長為ycm,

過點C作分別交DE、48于點N、M,

vAC=lcm,BC=2cm,

:.AB=>JAC2+BC2=V5,

???△ABC的面積為lcm2,

???CM=誓cm,

???DE//AB,

.*.△CUE-△CAB,

DE_CN

AB-CM'

解得：y=與cm,

...x2=1=20?2=空,

945,49

...x2>y2f

即Si>52>

故選：A.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質，掌握平行線分線段成比例及相似三角形的判定及性質是

解題的關鍵.

【變式7-1]（2021?遼寧?沈陽市第七中學九年級期中）如圖有一塊直角邊AB=4cm,BC=3cm的R3ABC

的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個正方形（加工中的損耗忽略不計），則正方形的邊長為（）

【答案】D

【分析】過點8作