湖南省岳陽(yáng)市2025屆高三下學(xué)期考情信息卷（一）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）．A． B．C． D．2．設(shè)，為復(fù)數(shù)，且，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．若，則 D．3．設(shè)向量，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則與的夾角為鈍角 B．若，則C．與共線的單位向量有且只有 D．若，則或4．已知函數(shù)，其中.若函數(shù)的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，取最大值，是A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．在區(qū)間上是減函數(shù) D．在區(qū)間上是增函數(shù)5．?dāng)?shù)列中，，若是數(shù)列的前項(xiàng)積，則的最大值（

）A． B． C． D．6．已知，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．如圖所示，在正方體中，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，給出下面幾個(gè)命題：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④設(shè)與DC的延長(zhǎng)線交于M，與DA的延長(zhǎng)線交于N，則M?N?B三點(diǎn)共線；⑤四棱錐的體積為定值.以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．某校高二年級(jí)有男生600人，女生400人，張華按男生、女生進(jìn)行分層，通過(guò)分層抽樣的方法，得到一個(gè)總樣本量為100的樣本，計(jì)算得到男生、女生的平均身高分別為170cm和160cm，方差分別為15和30，則下列說(shuō)法正確的有（）A．若張華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則男生、女生分別應(yīng)抽取60人和40人；B．若張華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的方差為37.8；C．若張華采用樣本量比例分配的方式進(jìn)行抽樣，則樣本的平均數(shù)為166，此時(shí)可用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)；D．若張華采用等額抽取，即男生、女生分別抽取50人，則某男生甲被抽到的概率為.10．三次函數(shù)敘述正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．過(guò)點(diǎn)的切線有兩條 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)11．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，，，則（

）A．的值為4B．C．D．的面積與的面積之比為4三、填空題12．已知的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為8，則實(shí)數(shù).13．已知雙曲線，雙曲線的離心率為.14．已知，，且，則.四、解答題15．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）如圖，若為外一點(diǎn)，且，，，，求的面積．16．一個(gè)不透明的袋子中裝有10個(gè)質(zhì)地、大小均相同的小球，其中2個(gè)白球，8個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，若抽到的是黑球，則放回袋子中，不做任何改變；若抽到的是白球，則用一個(gè)質(zhì)地、大小均與袋中的黑球相同的黑球替換該白球放回袋子中（例：若第一次抽到的是白球，則第二次抽取時(shí)袋中就有1個(gè)白球，9個(gè)黑球）.（1）若從袋子中隨機(jī)抽取小球3次，記為抽到白球的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記第（且）次恰好抽到第二個(gè)白球的概率為，求.17．如圖，在正方體中，，，，分別是所在棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在處的切線方程為：（1）求的值；（2）若，成立，求的取值范圍.19．已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).定義第n（）次操作為：經(jīng)過(guò)C上點(diǎn)作斜率為k的直線與C交于另一點(diǎn)，記關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若與重合，則操作停止；否則一直繼續(xù)下去.（1）求C的方程；（2）若為C的左頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)3次操作后停止，求k的值；（3）若，是C在第一象限與A不重合的一點(diǎn)，證明：的面積為定值.

參考答案1．【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，，所以．故選B．2．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，且，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，，則，，所以，故B正確；對(duì)于C，若，例如，，滿足，但，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，，所以，故D正確.故選C.3．【答案】C【詳解】對(duì)于A，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，又，，則，解得且，所以當(dāng)時(shí)，與的夾角為鈍角，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，得，故B正確；對(duì)于C，易得，與共線的單位向量為，即與共線的單位向量為或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，即，解得，故D正確．故選C.4．【答案】B【詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，故，即，.所以.由，解得，故函數(shù)的遞增區(qū)間是，令，則遞增區(qū)間為，故B選項(xiàng)正確.所以本小題選B.5．【答案】A【詳解】依題意得，，所以，所以，因?yàn)椋援?dāng)或8時(shí)，取得最大值為，故選A.6．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，則，A對(duì)B錯(cuò)；若，則成立，但，C錯(cuò)；若，則成立，則不成立，D錯(cuò).故選A.7．【答案】C【詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，易知當(dāng)時(shí)，，即是減函數(shù)，∴時(shí)，，又時(shí)，且，而時(shí)，是增函數(shù)，．有兩個(gè)零點(diǎn)，即的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的圖象如下所示：所以．故選:C．8．【答案】C【詳解】因?yàn)槠矫媾c平面平行，截面與它們交于，BF，可得，同樣可得，所以四邊形是一個(gè)平行四邊形，故①正確；如果四邊形是正方形，則，因?yàn)?，所以平面，又平面，E與A重合，此時(shí)不是正方形，故②錯(cuò)誤；當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，平面，此時(shí)四邊形垂直于平面，故③正確；由與DC的延長(zhǎng)線交于M，可得，且，又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，所以平面，平面ABCD，又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，所以平面平面，同理平面平面，所以BM，BN都是平面與平面ABCD的交線，所以B，M，N三點(diǎn)共線，故④正確；由于，平面，則E，F(xiàn)到平面的距離相等，且為正方體的棱長(zhǎng)，三角形的面積為定值，所以四棱錐的體積為定值，故⑤正確.故選:C.9．【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)，男生抽取，女生抽取人，A選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，樣本平均數(shù)為，可以用樣本平均數(shù)估計(jì)總體的平均數(shù)，C選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，樣本方差為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，男生甲被抽到的概率為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選AC10．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，，，，單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，，解得，即只有一個(gè)切點(diǎn)，即只有一條切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又有極大值為，所以若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則有極小值為，得到，故D正確．故選ABD．11．【答案】ABD【詳解】如圖：

設(shè)，，聯(lián)立可得，所以，，故．對(duì)A：因?yàn)?，，所以，則，解得或．因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)B：因?yàn)?，．又，所以，，則，故B成立；對(duì)C：因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?，故D正確.故選ABD12．【答案】3【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為解得13．【答案】【詳解】由曲線，整理可得，離心率.14．【答案】【詳解】因?yàn)?，，且，則，即，于是，所以.15．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由，得，即，由正弦定理，得，整理，得，∴，又，∴，∴；又，∴；（2）連接BD，因?yàn)?，，，所以，，所以，所以．又，所以，在中，由正弦定理可得，即，所以，所以；綜上，.16．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)第次抽到第一個(gè)白球，則第次抽到第二個(gè)白球的概率為：.所以.17．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【詳解】（1）證明：正方形中，分別是、中點(diǎn)，則，均為銳角，所以，所以，所以，平面，平面，所以，又，平面，所以平面．（2）也是中點(diǎn)，，且，作出完整的截面，設(shè)，，如圖，連接，由，平面，平面，所以平面，又截面平面，截面，所以，由（1）平面，所以在平面內(nèi)的射影是，所以與平面所成的角，即為與的夾角，也即為與的夾角，設(shè)，易得，，．所以直線與平面所成角的正弦值．18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）,由題意可得，解得.（2）(方法1)由得，∵x>0∴l(xiāng)nx+(1k)xk+3<0恒成立設(shè)g(x)=lnx+(1k)xk+3

(x>0)當(dāng)k≤1時(shí)，g′(x)≥0，y=g(x)在x(0,+∞)上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去當(dāng)k>1時(shí)，y=g(x)在x(0,)上單調(diào)遞增，在x(,+∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)≤g()=ln+2k<0設(shè)h(k)=2kln(k1),h′(k)=1<0,y=h(k)在k(1,+∞)上單調(diào)遞減∵h(yuǎn)（2）=0∴由h(k)<0解得k>2綜上所述，k的取值范圍是(2,+∞).（方法2）得，∵x>0∴l(xiāng)nx+(1k)xk+3<0恒成立，整理得：k>，令g(x)=,則令h(x)=-lnx-1,(x>0),h(x)=--<0在x>0時(shí)恒成立所以，h(x)單調(diào)遞減，又h（1）=0，所以，x∈(0,1)，h(x)>0,即g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增x∈(1,+∞)，h(x)<0,即g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減g(x)在x=1處有最大值g（1）=2所以k>2,k的取值范圍是(2,+∞)19．【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題設(shè)有，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，則直線的方程為，與的方程聯(lián)立，消去得.因