高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市新化縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)、是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，，∴.故選：B.2.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由題，將代入，等式成立，所以“”是“”的充分條件；求解，得到，故“”是“”的不必要條件.故選：A.3.當(dāng)時(shí)，下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，若，則，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，若，則，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以D正確.故選：D.4.下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)法則不一致，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，因?yàn)槎x域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，所以?xún)珊瘮?shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對(duì)于C，因?yàn)槎x域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以?xún)珊瘮?shù)的定義域不同，故不能表示同一函數(shù)；對(duì)于D，，的定義域均為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，值域也相同，故能表示同一函數(shù).故選：D.5.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】要使函數(shù)有意義，需要，解得，即得函數(shù)定義域?yàn)椋?故選：B.6.已知，且，且，下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)換底公式可知，，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向下或向上平移個(gè)單位得到的，由函數(shù)的圖象可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，則，令得，則，則函數(shù)的大致圖象為A選項(xiàng).故選：A.8.已知函數(shù)對(duì)任意，都有成立，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，則（）A.－3 B.－1 C.1 D.3【答案】A【解析】因?yàn)閷?duì)任意，都有，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，即，則，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以，所以，所以8是函數(shù)的一個(gè)周期，故.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題的否定中，是全稱(chēng)量詞命題且為真命題的是（）A.， B.所有的正方形都是矩形C.， D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使【答案】AC【解析】A.原命題的否定為：，，是全稱(chēng)量詞命題；因?yàn)?，所以原命題的否定為真命題，所以該選項(xiàng)符合題意；B.原命題為全稱(chēng)量詞命題，其否定為存在量詞命題，所以該選項(xiàng)不符合題意；C.原命題為存在量詞命題，所以其否定為全稱(chēng)量詞命題，對(duì)于方程，，所以，所以原命題為假命題，即其否定為真命題，所以該選項(xiàng)符合題意；D.原命題的否定為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有，如時(shí)，，所以原命題的否定不是真命題，所以該選項(xiàng)不符合題意.故選：AC.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值是3B.的最大值是5C.的最小值是2D.的最大值是【答案】ABD【解析】選項(xiàng)A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確.選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確.對(duì)于C，，當(dāng)且僅，即時(shí)，等號(hào)不成立，令，則在上單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最小值為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為，故D正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.若，則的最小值為C.函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)D.若，則【答案】ABD【解析】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)可得，；解得，；又，所以，可得；對(duì)于A，由，可得，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，中一個(gè)為函數(shù)的最大值，一個(gè)是最小值，因此，因此B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在只有2個(gè)零點(diǎn)，因此C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以；所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______________.【答案】【解析】.13.已知扇形的周長(zhǎng)為8，中心角為2弧度，則該扇形的面積為_(kāi)__________.【答案】4【解析】設(shè)扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，則由題意得：，解得：，，所以該扇形面積為.14.若函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足：（?。?duì)于定義域上的任意，恒有；（ⅱ）對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱(chēng)函數(shù)為“理想函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)中：①；②；③；④.能被稱(chēng)為“理想函數(shù)”的有_________（填相應(yīng)的序號(hào)）.【答案】①【解析】由對(duì)于定義域上的任意，當(dāng)時(shí)，恒有，得在其定義域上單調(diào)遞減，對(duì)于①，定義域?yàn)镽，，函數(shù)是R上的減函數(shù)，①是；對(duì)于②，的定義域?yàn)镽，不恒為0，②不是；對(duì)于③，的定義域?yàn)镽，不恒為0，③不是；對(duì)于④，函數(shù)在其定義域上不單調(diào)，④不是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）化簡(jiǎn)：；（2）已知，求的值．解：（1）原式.（2）原式.16.已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求的取值范圍．解：（1）由題設(shè)，則，或，則.（2）由，若時(shí)，，滿(mǎn)足；若時(shí)，；綜上，.17.已知且滿(mǎn)足不等式．（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并解不等式．（2）若函數(shù)在區(qū)間有最小值為，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）由且滿(mǎn)足不等式可得，解得，由可得，解得，所以原不等式的解集為.（2）因?yàn)?，所以函?shù)在定義域單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間有最小值為，解得.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；（3）將函數(shù)的圖像的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將其橫坐標(biāo)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像．若，函數(shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以的最小正周?（2）當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）由題意，函數(shù)，因?yàn)椋?，又因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則滿(mǎn)足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．19.“函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意都滿(mǎn)足”.（1）若定義在上的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，求函數(shù)的解析式；（2）類(lèi)比上述結(jié)論，得到以下真命題：“函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)”的充要條件是“函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意都滿(mǎn)足”.若函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，，（i）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）關(guān)于的方程在上有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)槎x在上的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（2）（i）設(shè)是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，，因?yàn)椋裕?，因此函?shù)在上單調(diào)遞增.（ii）設(shè)是上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，，因?yàn)?，所以，因此函?shù)在上單調(diào)