2025屆遼寧省沈陽(yáng)市高三三模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C． D．3．雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A． B． C． D．4．已知向量，滿足，，則等于（

）A．12 B．10 C． D．5．等比數(shù)列中，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務(wù)新模式成為一種趨勢(shì)．某社區(qū)為了優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查的方式調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務(wù)的滿意度，滿意度采用計(jì)分制（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為（

）A．87.5 B．85 C．70 D．62.57．如圖，一個(gè)四分之一球形狀的玩具儲(chǔ)物盒，若放入一個(gè)玩具小球，合上盒蓋．可放小球的最大半徑為．若是放入一個(gè)正方體，合上盒蓋，可放正方體的最大棱長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的圖象的一條對(duì)稱軸方程為（

）A． B． C． D．二、多選題9．塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑這些名詞出自中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)·商功》．如圖1，把一塊長(zhǎng)方體分成相同的兩塊，得到兩個(gè)直三棱柱（塹堵）．如圖2，再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)，其中四棱錐稱為陽(yáng)馬，三棱錐稱為鱉臑．則（

）A．陽(yáng)馬的四個(gè)側(cè)面中僅有兩個(gè)是直角三角形B．鱉臑的四個(gè)面均為直角三角形C．陽(yáng)馬的體積是鱉臑的體積的兩倍D．塹堵、陽(yáng)馬與鱉臑的外接球的半徑都相等10．已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，點(diǎn)M為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則（

）A． B．C．a(chǎn)的最大值為2 D．的最小值為11．已知點(diǎn)，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，且，點(diǎn)P是橢圓上異于，的一動(dòng)點(diǎn)，直線，分別與直線交于點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為三、填空題12．已知函數(shù)，則的值等于．13．函數(shù)的最小值為．14．已知過(guò)點(diǎn)的直線在軸和軸上的截距均為正整數(shù)，則滿足條件的直線的條數(shù)為．四、解答題15．已知數(shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．16．甲、乙兩個(gè)箱子中，各裝有個(gè)球，其中甲箱中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙箱中有個(gè)紅球，其余都是白球．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為或，則從甲箱中隨機(jī)摸出個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為、、、，則從乙箱中隨機(jī)摸出個(gè)球．已知擲次骰子后，摸出的球都是紅球的概率是．(1)求的值；(2)記摸到紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．17．已知圓，拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．(1)求拋物線的方程；(2)當(dāng)軸時(shí)，求直線的斜率；(3)求證：為定值，并求出該定值．18．已知函數(shù)，．(1)已知在處的切線斜率為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且關(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；(3)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．19．如圖所示，在直角梯形中，，A，D分別是，上的點(diǎn)，且，，，，將四邊形沿向上折起，連接，，，在折起的過(guò)程中，記二面角的大小為，記幾何體的體積為V．(1)求證：平面；(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)將V表達(dá)為關(guān)于的函數(shù)，并求該函數(shù)的最大值；(3)若平面和平面垂直，當(dāng)取得最大值時(shí)，求V的值．

參考答案1．【答案】C【分析】由并集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，則.故選：C2．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用共軛復(fù)數(shù)的定義可求得復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，?故選：B.3．【答案】A【詳解】，，，∵漸近線方程為，∴漸近線方程為.故選A.4．【答案】C【分析】由得，又展開(kāi)即可求解.【詳解】由有，所以，所以，故選：C.5．【答案】A【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)、分別求出的取值范圍，利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得，因?yàn)?，則，解得，由可得，因?yàn)?，則，解得或，因?yàn)槭腔虻恼孀蛹虼耍啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件.故選：A.6．【答案】C【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可得的值，再由百分位數(shù)的定義代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，解得，且第一個(gè)小矩形面積為，第二個(gè)小矩形面積為，則第一四分位數(shù)即第百分位數(shù)為.故選：C7．【答案】D【分析】畫出截面圖，設(shè)儲(chǔ)物盒所地球的半徑為，從而利用表達(dá)出小球最大半徑和正方體棱長(zhǎng)，進(jìn)而求出比值.【詳解】設(shè)儲(chǔ)物盒所在球的半徑為，如圖，小球最大半徑滿足，所以，正方體的最大棱長(zhǎng)滿足，解得，所以.故選：D.8．【答案】B【分析】由可求得，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)可求出的取值范圍，再利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱性可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，且，，由可得，所以，，解得，，若無(wú)解，則或，解得或，由于且存在，故或，即或，則有或，故的最大值為，此時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程為，故選：B.9．【答案】BCD【分析】對(duì)于A，根據(jù)陽(yáng)馬的定義結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)分析判斷，對(duì)于B，根據(jù)鱉臑的定義結(jié)合線面垂直的判定與性質(zhì)分析判斷，對(duì)于C，根據(jù)棱錐的體積公式結(jié)合已知條件分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)塹堵、陽(yáng)馬與鱉臑的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于A，如圖，由題意可知平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以?yáng)馬的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，如圖由題意可知平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以鱉臑的四個(gè)面均為直角三角形，所以B正確，對(duì)于C，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)，寬，高分別為，則，所以陽(yáng)馬的體積，鱉臑的體積，所以陽(yáng)馬的體積是鱉臑的體積的兩倍，所以C正確，對(duì)于D，由題意可知塹堵、陽(yáng)馬與鱉臑都是由同一個(gè)長(zhǎng)方體分割而成，且塹堵、陽(yáng)馬與鱉臑的頂點(diǎn)都是原長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，所以塹堵、陽(yáng)馬與鱉臑均可以補(bǔ)成原長(zhǎng)方體，所以它們的外接球的半徑都等于原長(zhǎng)方體外接球的半徑，所以D正確.故選BCD.10．【答案】ABD【分析】由數(shù)量積的定義即可判斷A，由三角形的面積公式即可判斷B，由余弦定理以及基本不等式即可判斷C，由基本不等式的常數(shù)代換，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由可得，則，故A正確；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，由余弦定理可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，且，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD.11．【答案】AB【分析】由條件可得，從而得到其標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合斜率的定義以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程代入計(jì)算，即可判斷A，由直線的方程即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再由A中的結(jié)論代入計(jì)算，即可判斷B，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可判斷C，由條件可得，再結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可判斷D.【詳解】設(shè)點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為，直線的傾斜角為，斜率為，對(duì)于A，由題意可得，且，所以，則橢圓方程為，又由為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以，即，又由，所以，故A正確；對(duì)于B，由，得，令得，，所以，則，所以，故B正確；對(duì)于C，同理，得，令，得，所以，又由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不妨設(shè)且，則，設(shè)分別為直線的傾斜角，則，即，即為鈍角，又由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取最大值，即最大，因此的最小值為，故D錯(cuò)誤；故選：AB12．【答案】【分析】根據(jù)題意，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則.故答案為：13．【答案】【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為，令，，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】，令，，且該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即函數(shù)的最小值為.故答案為：.14．【答案】【分析】設(shè)直線在軸和軸上的截距分別為、，則、，則直線的截距式方程為，由題意可得，化簡(jiǎn)得出，可知為的正約數(shù)，列舉出的所有可能取值，即可得解.【詳解】設(shè)直線在軸和軸上的截距分別為、，則、，則直線的截距式方程為，由于直線過(guò)點(diǎn)，則，故，所以為的正約數(shù)，故.即滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為.因此，滿足題設(shè)條件的直線的條數(shù)為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出數(shù)列的公差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)求和法求出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列中，，，且數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故，所以，故.（2）因?yàn)?，所以，故原不等式成?16．【答案】(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，【分析】（1）設(shè)事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為或”，則事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為、、、”，設(shè)事件為“摸出的球都是紅球”，利用全概率公式可得出關(guān)于的等式，即可解得的值；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、，求出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值.【詳解】（1）設(shè)事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為或”，則事件為“擲出骰子的點(diǎn)數(shù)為、、、”，則，，設(shè)事件為“摸出的球都是紅球”，則，，由全概率公式可得，整理可得，解得或（舍去），故.（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、，則，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：則.17．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析，定值為【分析】（1）求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線與圓相切求出的值，即可得出拋物線的方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、、，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸可求出的值，由此可得出直線的斜率；（3）利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式以及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）由題意可得，圓的圓心為，半徑為，且拋物線的準(zhǔn)線為，與圓詳相切，則，因?yàn)?，解得，故拋物線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)、、，顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，由韋達(dá)定理可得，，則，，即點(diǎn)，因?yàn)檩S，則，解得，因此，直線的斜率為.（3）由拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，由（2）可得，所以.18．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，即可解得實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，由題意可知，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由題意可知，對(duì)任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，由題意可得，解得.（2）當(dāng)時(shí)，，，則，由可得，列表如下：?jiǎn)握{(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又因?yàn)椋?，因?yàn)殛P(guān)于的方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由題意，當(dāng)時(shí)，，則恒成立，令，則，因?yàn)?，，所以?duì)任意的恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；(3)【分析】（1）由面面平行的判定定理可得平面平面，即可證明；（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后分別表示出與，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面，平面的法向量，由可得的最大值，然后代入（2）中的體積公式計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）在梯形中，因?yàn)?，所以翻折后有，且，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，同理可得平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）由題意，在梯形中，，，即，且，所以翻折后有，，且，所以平面，同理，平面