上課手機(jī)關(guān)了嗎？6/11/20251第三章向量與線性方程組為敘述方便，本章所討論的方程組給予固定編號:非齊次齊次(1)(2)第3章向量與線性方程組返回(2)－(1)×3;(3)－(1)×2得3.1線性方程組解的存在性一、消元法一一對應(yīng)消元3x1＋6x2－2x3＝11x1＋3x2－2x3＝42x1＋x2＋x3＝3－3x2＋4x3＝－1－5x2＋5x3＝－5－3x2＋4x3＝－1x1＋3x2－2x3＝4x2－x3＝1x1＋3x2－2x3＝4換2、33線性方程組的初等變換

矩陣的初等

變換:行消元階梯形方程組

行階梯形矩陣1.交換兩方程

1.交換矩陣的兩行2.某方程兩邊同乘以非零數(shù)

2.矩陣某行乘以非零數(shù)3.某方程k倍加至另一方程

3.矩陣某行k倍加至另一行－3x2＋4x3＝－1x1＋3x2－2x3＝4x2－x3＝1返回x3＝2x1＋3x2－2x3＝4x2－x3＝1返回4返回結(jié)論：對線性方程組的增廣矩陣施以初等行變換,所得矩陣對應(yīng)的新方程組與原方程組同解.

回代系數(shù)矩陣:A(m×n矩陣);x3＝2x1＋3x2＝8x2

＝3x3＝2x1

＝－1x2

＝3增廣矩陣:(m×(n+1)矩陣)6/11/20255第三章向量與線性方程組例2解20=-2為矛盾方程,故原方程組無解.例3返回6解3任取

x4的值,可確定

x3的對應(yīng)值,x3＝1＋x4x1＝2－2x2－x4取得方程組全部解:x4＝k2x2＝k1x3＝1＋k2x1＝2－2k1－k2x2＝k1x4＝k2(k1、k2為任意常數(shù))∴x2、均x1、

從而得一組解(有無窮多組解)x2、x4稱為自由未知量.返回7①用初等行變換化方程組的增廣矩陣為行階梯形消元法解線性方程組一般步驟:(必要時(shí)可重新安排未知量的順序)…cii≠0(i=1,2,…,r)二、解的存在性返回8返回原方程組(1)的同解方程組為：顯然，末尾的“0＝0”是多余方程(原方程組中的相應(yīng)方程可由其它方程經(jīng)初等變換得到),去掉.6/11/20259第三章向量與線性方程組②方程組解的判定：1o若dr+1≠0,則原方程組無解(0=dr+1≠0是矛盾方程)2o若dr+1＝0

，則原方程組有解：③有解時(shí)回代求出解(回代過程全在矩陣上進(jìn)行!)當(dāng)r=n時(shí)，有唯一解；當(dāng)r<n時(shí)，有無窮多解.定理1

設(shè)非齊次方程組Am×nX＝b，則(1)r(A)≠r(A)，原方程組無解(2)r(A)＝r(A)＝n，原方程組有唯一解(2)r(A)＝r(A)<n，原方程組有無窮多組解用初等行變換化行階梯形矩陣為簡化行階梯形!返回6/11/202510第三章向量與線性方程組r＝n時(shí)，r<n時(shí),將x1,x2,…,xr用n-r個自由未知量xr+1,xr+2,…,xn表示，x1＝

令xr+1=k1,xr+2=k2,…,xn=kn-r

(k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù)),得無窮多個解的一般形式.如唯一解為：xi＝di￠

(i＝1,2,…,n).d1￠－c1￠r+1xr+1－c1￠r+2xr+2－…－c1￠nxn;返回例4解方程組解:返回12x3＝6＋2x4x1＝－8取自由未知量x4＝k得方程組全部解:x3＝6＋2kx1＝－8x2＝3＋kx4＝k(k為任意常數(shù))x2＝3＋x4∴簡化行階梯形矩陣每行首非零元為1，且其所在列其它元均為零.r(A)=r(A)=3<n=4，原方程組有無窮多組解.返回13例5解方程組解:

r(A)＝2≠r(A)＝3，原方程組無解返回6/11/202514第三章向量與線性方程組齊次線性方程組(2)必有零解,當(dāng)r=n時(shí),只有零解；當(dāng)r<n時(shí),除零解外,還有非零解,即有無窮多解.推論1

當(dāng)齊次線性方程組方程個數(shù)m<未知數(shù)個數(shù)n時(shí)，必有非零解.定理2

設(shè)齊次方程組Am×nX＝O，r(A)＝r，則(1)r＝n，原方程組有唯一零解(2)r<n，原方程組有非零解(有無窮多組解)∵r(A)≤m

<n推論2若齊次方程組An×nX＝O系數(shù)行列式|A|＝0，則必有非零解.∵r(A)

<n齊次線性方程組有非零解返回例6解方程組解:(對系數(shù)矩陣作變換即可,不必用增廣矩陣)取得x4＝k2x3＝k1返回

為何值時(shí),線性方程組

(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多組解，有無窮多組解時(shí)求出解.解:例7返回6/11/202517第三章向量與線性方程組時(shí)，方程組有唯一解

時(shí),方程組有唯一解

(1)返回6/11/2025第三章向量與線性方程組(2)時(shí),(3)時(shí),原方程組有無窮多組解.原方程組等價(jià)于：(k1、k2為任意常數(shù))取得方程組全部解:x3＝k2x2＝k1x1＝1－x2－x3x3＝k2x1＝1－k1－k2x2＝k1

r(A)＝2≠r(A)＝3，