山東省濰坊市2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期診斷性調(diào)研監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知6是t和2的等差中項，則t的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．112．已知隨機變量，若，則（

）A．6 B．8 C．9 D．123．已知數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．24．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．25．已知函數(shù)在處取得極值，則（

）A． B． C．5 D．96．某學(xué)校計劃開設(shè)某門特色課程，現(xiàn)對男女生參加該課程的意愿程度進行調(diào)查，得到以下列聯(lián)表：愿意參加不愿意參加合計男生20女生20合計50100則的值為（

）（附：，）A．4 B． C．5 D．7．已知隨機事件A，B，若，則（

）A． B． C． D．8．若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．若隨機變量X的期望，則B．離散型隨機變量的標準差越大，說明變量離散程度越小C．對應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸圍成圖形的面積與參數(shù)無關(guān)D．回歸分析中，兩個變量的線性相關(guān)性越強，它們的相關(guān)系數(shù)的絕對值越大10．已知定義在上的函數(shù)，部分對應(yīng)的函數(shù)值如表，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）x23120A．在是減函數(shù)B．在定義域上有兩個極值點C．若，則函數(shù)有兩個零點D．若在上的最大值為2，則11．設(shè)數(shù)列的前n項和為，若滿足：對任意的正整數(shù)，存在正整數(shù)m，k，使得，稱數(shù)列是“T數(shù)列”，下列說法正確的是（

）A．若，則為T數(shù)列B．若，則為T數(shù)列C．若，則為T數(shù)列D．若，則存在兩個T數(shù)列，使得三、填空題12．已知等比數(shù)列中，，則．13．若隨機變量，且，則．14．已知函數(shù)，對拋物線持續(xù)實施下面“牛頓切線法”的步驟：在點處作C的切線，交x軸于；在點處作C的切線，交x軸于；在點處作C的切線，交x軸于；……由此能得到一個數(shù)列，稱為“牛頓數(shù)列”，則的值為；若，則的最大值為．四、解答題15．已知等差數(shù)列的前項和為．（1）求的通項公式；（2）求的前項和．16．已知函數(shù)，曲線在處的切線斜率為．（1）求a的值；（2）求在區(qū)間上的最值．17．某科技公司研發(fā)了一種新型電池，測試該新型電池從滿電狀態(tài)，每使用1小時其電量衰減情況，得到剩余電量y（庫侖）與使用時間t（小時）的散點圖，其中t為正整數(shù)．（1）利用散點圖，判斷與哪個更適宜作為回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）在（1）的條件下，（i）求出剩余電量y與使用時間t的回歸方程（精確到0.01）；（ⅱ）當(dāng)電池剩余電量低于0.3庫侖時，電池報警提示需要充電，否則影響電池使用壽命，請利用所求回歸方程，預(yù)判該新型電池從滿電狀態(tài)使用12小時后，是否會報警提示，并說明理由．參考數(shù)據(jù)：記4512.021.5520.2028545.073.42參考公式：．18．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：．19．某種微生物群體可以通過自身繁殖的方式不斷生存下來，且每個個體繁殖后自身消亡．假設(shè)開始時有一個該微生物個體，稱為第0代，經(jīng)過一次繁殖后產(chǎn)生第1代，第1代經(jīng)過一次繁殖后產(chǎn)生第2代，…，每個該微生物個體繁殖產(chǎn)生下一代個數(shù)為1和2的概率均為，假設(shè)每個個體繁殖過程相互獨立，記隨機變量為繁殖產(chǎn)生的第代的個體總數(shù)．（1）若，求的分布列和期望；（2）證明：；（3）定義：的條件下，隨機變量的期望稱為條件期望，記作，且．求．參考公式：

參考答案1．【答案】C【詳解】由于6是t和2的等差中項，故，故，故選C2．【答案】C【詳解】因為，所以由，可得，故選C.3．【答案】A【詳解】因為，，所以，，，.故選A4．【答案】D【詳解】因為，則，解得.故選D5．【答案】D【詳解】函數(shù)，則，因為在處取極值，所以，解得：，經(jīng)檢驗滿足題意.故.故選D.6．【答案】A【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成下列聯(lián)表，如下：愿意參加不愿意參加合計男生302050女生203050合計3050100則.故選A.7．【答案】B【詳解】因為，故，而，故，故，同理，故，故選B.8．【答案】A【詳解】令，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，，且時，恒成立，時，恒成立，而的圖象為過定點的直線，設(shè)與相切時，切點為，則切線斜率，又在上，故，，與聯(lián)立得，解得，當(dāng)時，切線斜率為不合要求，當(dāng)時，切線斜率為，滿足要求，故當(dāng)時，圖象恒在的上方，不合要求，同一坐標系內(nèi)，畫出兩函數(shù)圖象，如下：顯然，當(dāng)經(jīng)過點時，，當(dāng)經(jīng)過點時，，不等式存在唯一的整數(shù)解，顯然此整數(shù)解為-1，需滿足，即.故選A9．【答案】ACD【詳解】由，得，故A對；離散型隨機變量的標準差越大，隨機變量取值越分散，說明變量離散程度越大；故B錯；對應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸圍成圖形的面積與參數(shù)無關(guān)，始終為1，故C對；回歸分析中，兩個變量的線性相關(guān)性越強，它們的相關(guān)系數(shù)的絕對值越大；故D對；故選ACD10．【答案】BCD【詳解】根據(jù)的圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.結(jié)合給定的函數(shù)值，可作出函數(shù)的草圖，如下：對A：由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對B：由圖可知，函數(shù)在上有兩個極值點，分別為和，故B正確；對C：當(dāng)時，方程有兩個不同的解，故C正確；對D：由圖可知，函數(shù)在上要想取到最大值2，須有，故D正確.故選BCD11．【答案】ABD【詳解】對于A，，為：，為周期數(shù)列，則的可能取值為0或1，故當(dāng)，時，可取，時，可取，故為T數(shù)列，A正確；對于B，，則，故對任意的正整數(shù)，為偶數(shù)，令，則，由于為偶數(shù)，則為整數(shù)，總能找到正整數(shù)，使得成立，如，即存在正整數(shù)m，k，使得成立，B正確；對于C，，，當(dāng)時，，令，由于，，故不存在正整數(shù)m，k，使得，C錯誤；對于D，，可取，結(jié)合B的分析可知為T數(shù)列，對于，，令，即，對任意的正整數(shù)，總為正整數(shù)，故總能找到正整數(shù)，使得成立，如，故為T數(shù)列，即存在兩個T數(shù)列，使得，D正確，故選ABD12．【答案】【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，解得.13．【答案】【詳解】因為隨機變量，可知正態(tài)分布曲線的對稱軸是，所以正態(tài)分布的對稱性可得，故.14．【答案】【詳解】由可得，且，，則切線方程為，令可得，解得，即，在點處的切線斜率為，則切線方程為，因為切線交軸于，令，則，即，即，則，則，因為，所以，且，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，所以，且，即的最大值為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，則，所以，所以.16．【答案】（1）（2）最大值為，最小值為.【詳解】（1）由題意可得，因為，則，解得.（2）由（1）可知，則，，令，即，解得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，即時，有極小值，且，又，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．【答案】（1）更適宜作為回歸模型，理由見解析（2）（i）；（ⅱ）會報警提示，理由見解析【詳解】（1）更適宜作為回歸模型，理由如下：從散點圖可以看出，剩余電量y（庫侖）與使用時間t（小時）不呈線性變化，減小速度越來越慢，呈線性變化，不適宜作為回歸模型，故更適宜作為回歸模型；（2）（i）兩邊取對數(shù)得，由于，故，，即，故，（ⅱ）會報警提示，理由如下：中，令得，故會報警提示.18．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【詳解】（1）因為，.若，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，欲使恒成立，須有，且.由.所以的取值范圍為：.（3）當(dāng)時，.設(shè)（），則，因為，所以.所以在上單調(diào)遞增，所以.所以在上恒成立.設(shè)（），則.由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以即在上恒成立.所以在上恒成立.故原不等式成立.19．【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為3；（2）證明見解析；