福建省福州市聯(lián)盟校2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知由小到大排列的5個樣本數(shù)據(jù)的極差是15，則的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．已知鈍角滿足，則（

）A． B． C．0 D．或03．若圓被直線平分，則（

）A．-2 B． C． D．4．已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．25．設(shè)是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，則“”的充分條件是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6．在數(shù)學(xué)中，自然常數(shù)．小布打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2，7，1，8，2，8進行排列得到密碼．如果排列時要求8不排最后一個，兩個2相鄰，那么小布可以設(shè)置的不同的密碼個數(shù)為（

）．A．30 B．32 C．36 D．487．已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與雙曲線的左支交于兩點，若，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．8．若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且，，，則（

）A． B． C．1 D．2二、多選題（本大題共3小題）9．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為B．的模為C．的共軛復(fù)數(shù)為D．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點在第一象限10．已知，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．，使 D．，使11．數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標方程可表示為，圖形如圖所示．當時，點在這條心形線C上，且，則下列說法正確的是（

）

A．若，則B．若，則C．D．C上有4個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）三、填空題（本大題共3小題）12．已知集合，若，則的取值范圍為.13．已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，若圓錐的表面積為，則該圓錐的體積為.14．已知有窮數(shù)列的首項為1，末項為12，且任意相鄰兩項之間滿足，則符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為．四、解答題（本大題共5小題）15．的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若，求的面積.16．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過棱的中點E作于點，連接．

(1)證明：；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值．17．已知橢圓左?右頂點分別為，短軸長為，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)若第一象限內(nèi)一點在橢圓上，且點與外接圓的圓心的連線交軸于點，設(shè)，求實數(shù)的值.18．已知函數(shù)．(1)當時，判斷的單調(diào)性；(2)證明：當時，．19．對于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得，則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的．(1)證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的．(2)記，證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則或數(shù)列是等比數(shù)列．(3)設(shè)數(shù)列的前項和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，求的通項公式．

參考答案1．【答案】C【分析】由極差的公式求解.【詳解】由題知最小的數(shù)據(jù)是，最大的數(shù)據(jù)是23，則極差為，解得.故選C.2．【答案】B【分析】利用余弦的二倍角公式結(jié)合角的范圍計算即可.【詳解】因為，所以，解得或0，因為為鈍角，所以.故選B.3．【答案】D【分析】由直線經(jīng)過圓心進行求解.【詳解】由題意得圓心在直線上，則，解得.故選D.【思路導(dǎo)引】由題可知，直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程，即可得到答案.4．【答案】B【分析】利用求解．【詳解】因為，故，而，故，故選B.5．【答案】C【分析】根據(jù)充分條件的定義，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理即可.【詳解】對于A，若，則，故A錯誤；對于B，若，則平面與平面可以相交或平行，故B錯誤；對于C，因為，由線面垂直的性質(zhì)，所以，又因為，所以，故C正確；對于D，若，則平面與平面可以相交或平行，故D錯誤；故選C.6．【答案】C【分析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①排在最后一位；②不排在最后一位，由加法計數(shù)原理計算即可.【詳解】根據(jù)題意，分兩種情況：①2排在最后一位，則倒數(shù)第二位也是2，再從剩下4個位置選出2個，安排兩個8，最后安排7和1，此時有個不同的密碼；②2不排在最后一位，則倒數(shù)第一位安排7或1，將兩個2看成一個整體，與兩個8和7或1中剩下的數(shù)排列，此時有個不同的密碼；則一共有個不同的密碼．故選C．7．【答案】B【分析】利用雙曲線定義、已知條件求出、，設(shè)，由余弦定理、求出可得答案.【詳解】如圖，由于，有4，可得，又由，可得，設(shè)，在中，由余弦定理有，在中，由余弦定理有，又由，有，可得，解得，所以雙曲線的焦距為.故選B.【思路導(dǎo)引】由雙曲線定義可知，根據(jù)題目條件可得，假設(shè)，結(jié)合余弦定理、可得，解得，從而計算出雙曲線的焦距.8．【答案】A【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)表達式，根據(jù)單調(diào)性與函數(shù)值，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，確定與的值，兩式相減，即可求出的值.【詳解】由題知，因為，，所以，又因為在區(qū)間上是減函數(shù)，所以，兩式相減，得，因為，所以.故選A.9．【答案】BCD【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出，再逐項判斷可得答案.【詳解】由，對于A，的虛部應(yīng)為1，故A錯誤；對于B，的模為，故B正確；對于C，的共軛復(fù)數(shù)應(yīng)為，故C正確；對于D，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為，顯然在第一象限，故D正確.故選BCD.10．【答案】AC【分析】求解函數(shù)的定義域判斷B，代入求值判斷A，求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值并畫出圖象即可判斷CD.【詳解】要使函數(shù)有意義，則有，且，即定義域，B錯誤；，，，A正確；，記，，則，時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，又時，，令，則單調(diào)遞增，又，存在唯一，使得，此時，時，，時，，時，，時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，.作出函數(shù)的圖象，如圖：

C正確，D錯誤.故選AC.11．【答案】ACD【分析】根據(jù)三點共線可得直線過原點，聯(lián)立直線與曲線的方程，求解，即可根據(jù)弦長公式求解AB，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解C，利用換元法，結(jié)合判別式，即可求解方程的整數(shù)根.【詳解】依題意，心形線C的直角坐標方程為，過原點,由，可知三點共線，可設(shè)直線，由消去y，得．不妨設(shè)，則．∴，故A正確；，當時，，故B錯誤；設(shè)點在心形線C上，，角以x軸非負半軸為起始邊，則心形線C的方程轉(zhuǎn)化為，即，∴，又，∴，故C正確；由，可知．令，則心形線C的方程可化為：，∴，當，或，進而可得或0，當時，方程無整數(shù)解；當時，，故∴C上有4個整點，故D正確，故選ACD．【方法總結(jié)】對于給定的曲線方程，要研究該曲線的性質(zhì)，往往需要結(jié)合曲線方程的特征合理換元（如平方和轉(zhuǎn)化為距離等）.12．【答案】【分析】解不等式求出集合，再根據(jù)可得答案.【詳解】由題意知或，又且，故，即的取值范圍為.故答案為：.13．【答案】【分析】設(shè)圓錐母線長為，底面圓半徑長，根據(jù)圓面積解得，進而求得圓錐的高，即可求解體積.【詳解】設(shè)圓錐母線長為，底面圓半徑長，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，此半圓半徑為，半圓弧長為，所以，即，因為表面積是側(cè)面積與底面積的和，所以，所以，則圓錐的高，所以.故答案為：.14．【答案】144【分析】首末項相差11，從首項到末項的運算方法進行分類，結(jié)合組合計數(shù)問題列式計算即得.【詳解】依題意，首項和末項相差11，而任意相鄰兩項之間滿足，，當時，即后一項與前一項的差均為1，數(shù)列的個數(shù)為1；當時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)一個2，九個1，數(shù)列的個數(shù)為；當時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)兩個2，七個1，數(shù)列的個數(shù)為；當時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)三個2，五個1，數(shù)列的個數(shù)為；當時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)四個2，三個1，數(shù)列的個數(shù)為；當時，即后一項與前一項的差出現(xiàn)五個2，一個1，數(shù)列的個數(shù)為，所以符合上述要求的不同數(shù)列的個數(shù)為.故答案為：144.【關(guān)鍵點撥】按后一項與前一項的差2出現(xiàn)的次數(shù)分類是解決本問題的關(guān)鍵.15．【答案】(1)(2).【分析】（1）由正余弦定理求解即可；（2）由（1）先求出，再由三角形的面積公式求解．【詳解】（1）因為，由正弦定理可得.可化為.又由余弦定理，有.又，所以.（2）因為，由（1）有.可化為.又由，有.所以.16．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證平面得，再證，推得平面,得，推得平面，即得；（2）依題建系，根據(jù)（1）的結(jié)論，可得平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求得.【詳解】（1）∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，點E是的中點，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）

如圖，因兩兩垂直，故可以A為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，．由（1）可知，可看成平面的一個法向量，可看成平面的一個法向量．設(shè)平面與平面的所成角為，∴，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．17．【答案】(1)(2)【分析】（1）用橢圓的基本量的數(shù)量關(guān)系，就可求得橢圓方程；（2）關(guān)鍵要用坐標法來研究，設(shè)圓心M坐標和點P坐標，然后來求出點Q坐標，再利用圓心M坐標和點P坐標滿足的相等關(guān)系，就可解出點的橫坐標為，從而用向量的坐標關(guān)系就可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為短軸長為，所以，又橢圓的離心率為，則有，解得，所以的方程為.（2）因為外接圓經(jīng)過橢圓的左?右頂點，所以圓心在軸上，設(shè)圓心，則圓的半徑為，所以，所以又點在橢圓上，所以，兩方程消去得：再由直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，令，所以點的橫坐標為又，所以，解得【思路導(dǎo)引】設(shè)坐標，解得假設(shè)的變量之間的關(guān)系，再利用直線方程求出相關(guān)點的橫坐標為，即可以用向量關(guān)系求解結(jié)果了.18．【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）把代入解析式對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解；（2）分類討論，當時成立；當時，，構(gòu)造函數(shù)即可證明．【詳解】（1）當時，，則，令，則恒成立，在上單調(diào)遞增，又因為，則當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當時，，又，有，即單調(diào)遞減；，即單調(diào)遞增，所以，而此時，所以當時，成立；當時，可得，所以，所以，又，所以存在，使得，即，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由可得，，下面證明，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即得證，即成立，綜上，當時，成立．19．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）是等差數(shù)列，則，令，可得結(jié)論；（2）設(shè)，可得，進而可得結(jié)論；（3）設(shè)，可得是首項為2，公比為的等比