吉林省BEST學(xué)校聯(lián)合體2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．“”是“”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設(shè)集合是4與6的公倍數(shù)，，則（

）A． B． C． D．3．已知，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．144．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．設(shè)等差數(shù)列an的公差為，前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．26．已知函數(shù)則下列說法正確的是（

）A．是上的增函數(shù) B．的值域為C．單調(diào)遞減 D．若關(guān)于的方程恰有一個實根，則7．若，，，則正數(shù)大小關(guān)系是（）A． B．C． D．8．已知，，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題（本大題共3小題）9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．已知函數(shù)，的定義域均為R，函數(shù)f2x+2為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，gx=g4-x，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的一個周期是B．函數(shù)的一個周期是C．若，則f18D．若當(dāng)時，gx=lnx+1，則當(dāng)11．已知數(shù)列an滿足，，則（

）A．a(chǎn)n是遞減數(shù)列 B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若，則.13．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則14．已知集合，A是M的子集，當(dāng)時，，則集合A元素個數(shù)的最大值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.16．已知函數(shù)．(1)若，求在上的最值；(2)若在R上單調(diào)遞減，求a的值．17．醫(yī)生將一瓶含量的A藥在內(nèi)勻速注射到患者的血液中稱為A藥的一次注射．在注射期間，患者血液中A藥的注入量與注射用時的關(guān)系是，當(dāng)時，血液中的A藥注入量達(dá)到，此后，注入血液中的A藥以每小時的速度減少．(1)求k的值；(2)患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時間可以維持多少h？（精確到0.1）(3)患者首次注射后，血液中A藥含量減少到時，立即進(jìn)行第二次注射，首次注射的A藥剩余量繼續(xù)以每小時的速度減少，已知注射期間能保持患者血液中的A藥含量不低于，那么，經(jīng)過兩次注射，患者血液中A藥的含量不低于的時間是否可以維持？（參考數(shù)據(jù)：，，）18．對任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．(1)求的值：(2)若，求數(shù)列的前項和(3)對互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．19．已知函數(shù)在上的極小值點從小到大排列成數(shù)列，函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)求的通項公式；(3)討論的零點個數(shù)．

參考答案1．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.【詳解】由，即，得到或，所以得不出，當(dāng)時，有，即可以得出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選A.2．【答案】B【分析】由題意可知：，則是的真子集，對比選項分析即可.【詳解】由題意可知：，顯然24的倍數(shù)均為12的倍數(shù)，但12的倍數(shù)不一定是24的倍數(shù)，例如12，所以的真子集，對比選項可知B正確，ACD錯誤.故選B.【方法總結(jié)】充分必要條件和對應(yīng)集合的關(guān)系可根據(jù)如下規(guī)則轉(zhuǎn)化(1)若p是q的必要不充分條件,則q對應(yīng)集合是p對應(yīng)集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要條件,則p對應(yīng)集合是q對應(yīng)集合的真子集；(3)若p是q的充要條件,則p對應(yīng)集合與q對應(yīng)集合相等；(4)若p是q的既不充分也不必要條件,則q對應(yīng)集合與p對應(yīng)集合互不包含.3．【答案】C【分析】將變?yōu)?，利用基本不等式即可求得答?【詳解】,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，即的最小值為12.故選C.4．【答案】B【分析】選項A，對求導(dǎo)，得到，即可求解；選項B，利用奇函數(shù)的判斷方法，可得為奇函數(shù)，再對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可求解；選項C，因為的定義域為，不具有奇偶性，即可求解；選項D，利用的性質(zhì)即可求解.【詳解】對于選項A，易知函數(shù)的定義域為，又在上恒成立，得到的減區(qū)間為，，所以選項A錯誤，對于選項B，由，得到，關(guān)于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，又，得到在區(qū)間上恒成立，即在其定義域上是增函數(shù)，所以選項B正確，對于選項C，因為的定義域為，不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，所以選項C錯誤，對于選項D，由性質(zhì)知，在其定義域上不具有單調(diào)性，所以選項D錯誤.故選B.5．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以及的公式計算出，然后計算公差?！驹斀狻?，故.故選C.6．【答案】D【分析】利用基本函數(shù)的圖象，作出的圖象，由圖知的增區(qū)間為，0,+∞，值域為，即可判斷出選項A，B和C的正誤，選項D，將方程恰有一個解轉(zhuǎn)化成與的圖象只有一個交點，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，其圖象如圖所示，對于選項A，由圖知，時，，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當(dāng)x∈0,1時，，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，所以選項C錯誤，對于選項D，由，得到，令，，因為關(guān)于的方程恰有一個實根，所以與的圖象恰有一個交點，由圖知.故選D.7．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點的橫坐標(biāo)，再數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】由，則為與交點的橫坐標(biāo)，由，則為與交點的橫坐標(biāo)，由，即，則為與交點的橫坐標(biāo)，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選B.8．【答案】C【分析】令，根據(jù)題設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化成為函數(shù)與交點的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點的橫坐標(biāo)，再利用與互為反函數(shù)，再結(jié)合圖象，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，令，得到所以為函數(shù)與交點的橫坐標(biāo)，由，得到，所以為函數(shù)與交點的橫坐標(biāo)，又與互為反函數(shù)，故它們的圖象關(guān)于直線對稱，又關(guān)于對稱，由，得到，所以，得到，故選C.【關(guān)鍵點撥】本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)與交點的橫坐標(biāo)及與交點的橫坐標(biāo)之和，再利用與互為反函數(shù)，即可求解.9．【答案】BD【分析】根據(jù)求導(dǎo)公式計算判斷各選項.【詳解】因為，所以錯誤；因為，所以正確；因為，所以錯誤；因為，所以D正確.故選BD.10．【答案】BCD【分析】選項A，根據(jù)條件得到f(-t)=-f(t+4)，f(-x)=f(x-2)，即可求解；選項B，根據(jù)條件得到g(x)=-g(x+4)=g(x+8)，即可求解；選項C，利用選項A和B，可得f18+g68=f(6)+g(4)，再求出f(6),g(4)，即可求解；選項D，利用選項C【詳解】對于選項A，因為f2x+2為奇函數(shù)，所以f令t=2x，得到f2-t即有f(-t)=-f(t+4)，故可得f(-x)=-f(x+4)，又fx-1為偶函數(shù)，所以f-x-1=f(x-1)所以f(x-2)=-f(x+4)，得到f(x)=-f(x+6)，所以f(x)=-f(x+6)=f(x+12)，即函數(shù)的一個周期是，故A錯誤；對于選項B，因為為奇函數(shù)，所以g-x=-g(x)，又g所以-g(-x)=g(4-x)，即g(x)=-g(x+4)=g(x+8)，所以函數(shù)的一個周期是，故B正確；對于選項C，由選項A和B知，f18又g0=g4=0，f(6)=-f(0)=-2，所以f對于選項D，因為當(dāng)時，gx=所以當(dāng)10≤x≤12時，0≤12-x≤2，所以g(x)=g(x-8)=g(4-(x-8))=g(12-x)=ln所以選項D正確.故選BCD.11．【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而判斷A；將表示為，再根據(jù)即可判斷B；根據(jù)將表示為再根據(jù)有判斷C；由，得，化為即可判斷D.【詳解】對于A：易知，否則與矛盾，由，得，所以，所以數(shù)列an是遞增數(shù)列，故A錯誤；對于B：由選項A的判斷知，所以，由，得，所以，，即，故B正確；對于C：由，得，則所以，故C錯誤；對于D：由，得，即，所以故D正確.故選BD.12．【答案】1【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化可得，結(jié)合對數(shù)的換底公式和運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：1.13．【答案】【分析】利用函數(shù)的周期性結(jié)合奇偶性可求出答案.【詳解】因為，所以函數(shù)的周期，所以，又為偶函數(shù)，所以，所以.故答案為：.14．【答案】1895【分析】先構(gòu)造抽屜：．使前100個抽屜中恰均只有2個數(shù)，且只有1個數(shù)屬于A，可從集合M中去掉前100個抽屜中的數(shù)，剩下個數(shù)，作為第101個抽屜．【詳解】現(xiàn)從第1至100個抽屜中取較大的數(shù)，和第101個抽屜中的數(shù)，組成集合A，于是，滿足A包含于M，且當(dāng)時，．所以的最大值為．故答案為：1895.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式得到關(guān)于的方程，解出值即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進(jìn)行分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知有，即，解得（舍去），，；（2），.16．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）當(dāng)時，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值；（2）求得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】（1）解：由時，可得，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（2）解：由函數(shù)，可得，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，則滿足，整理得且，解得.17．【答案】(1)；(2)；(3)可以.【分析】（1）把，代入計算即得.（2）根據(jù)給定條件，列出不等式，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即得.（3）求出A藥含量為時時間關(guān)系，再列出第二次注射完成后患者血液中A藥的含量隨注射時間變化的函數(shù)關(guān)系，列出不等式求解即得.【詳解】（1）依題意，，解得，所以k的值為.（2）血液中的A藥含量達(dá)到后，經(jīng)過x小時患者血液中A藥含量為．由，得，兩邊取對數(shù)得：，解得，所以患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時間可以維持.（3）設(shè)第一次注射開始后經(jīng)過患者血液中A藥的含量為，即，記第二次注射完成后患者血液中A藥的含量為，其中為第一次注射開始后經(jīng)過的時間，則，由，得，即，兩邊取對數(shù)得：，解得，又，所以經(jīng)過兩次注射后，患者血液中A藥的含量不低于的時間可以維持．18．【答案】(1)(2)(3)證明見解析，【分析】（1）先找出的所有正因數(shù)，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求解；（2）由題設(shè)定義，結(jié)合的正因數(shù)，求出，再由分組求和與錯位相減法，即可求出結(jié)果；（3）先分別求出及的正因數(shù)，由豐度指數(shù)的定義，證明，再利用結(jié)論求解即可.【詳解】（1）因為的所有正因數(shù)為，所以，得到.（2）因為共有個正因數(shù)，它們?yōu)?，所以，得到，所以，令①，則②，由①②得到，所以，故.（3）因為是互不相等的質(zhì)數(shù)，則的正因數(shù)有個，它們是，的正因數(shù)均為個，分別為和，的正因數(shù)有個，分別為，所以，，因為，所以.【方法總結(jié)】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的．遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運(yùn)算，使問題得以解決．19．【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）使用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再得到全部的極小值點，即可求解；（3）構(gòu)造，然后考慮在上的零點個數(shù)，再利用是偶函數(shù)得到的零點個數(shù)，最后利用和零點個數(shù)相等，即可求解.【詳解】（1）因為，所以，得到，又，所以在處的切線方程為.（2）因為，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，又，，，，這里，結(jié)合的單調(diào)性知，當(dāng)時，，對，存在唯一的，使得，且在上取正值，在上取負(fù)值，對，存在唯一的，使得，且在上取負(fù)值，在上取正值，這表明對，在和上遞增，在和上遞增，從而上遞增，在和上遞減，從而，在上遞增，在上遞減，在上遞增，且，將以上討論與結(jié)合，即可得到在上全部的極小值點就是，且是遞增數(shù)列，所以，又注意到，，結(jié)合的定義，知一定有，所以的通項公式為.（3）由已知有，而，故，設(shè)，則我們只需要討論的零點個數(shù)，又，令，則，由零點存在定理知存在唯一的，使得，故當(dāng)時，有，從而，當(dāng)，有，從而，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，則存在唯一的，使得，且當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在或上遞增，在上遞減，又，當(dāng)時，由于，，故，又因為，所以根據(jù)的定義可知此