2.2.3直線的一般式方程【劃重點】1．掌握直線的一般式方程.2．理解關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)都表示直線.3．會進行直線方程的五種形式之間的轉化．【知識梳理】知識點一直線的一般式方程關于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式．知識點二直線的五種形式的方程形式方程局限點斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標軸平行及過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0無知識點三直線各種形式方程的互化知識點四一般式下直線的平行與垂直設直線l1與l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)，則l1∥l2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.【例題詳解】一、直線的一般式方程例1由下列各條件，寫出直線的方程，并且化成一般式：(1)斜率是，經(jīng)過點；(2)經(jīng)過點，平行于x軸；(3)在x軸和y軸上的截距分別是；(4)經(jīng)過兩點；(5)在x軸上的截距是，傾斜角是；(6)傾斜角為，與y軸的交點到x軸的距離是3．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)或【分析】（1）由點斜式可得結果；（2）由點斜式可得結果；（3）由截距式可得結果；（4）由兩點式可得結果；（5）由點斜式可得結果；（6）由斜截式可得結果.【詳解】（1）由點斜式得，即.（2）因為直線平行于軸，所以斜率等于，由點斜式得，即.（3）因為在x軸和y軸上的截距分別是；所以直線方程的截距式為：，即.（4）由兩點式得，即.（5）斜率，由點斜式得，即.（6）斜率為，因為直線與y軸的交點到x軸的距離是3，所以直線在軸上的截距為，所以所求直線方程為或，即或.跟蹤訓練1根據(jù)下列條件，寫出直線的方程，并把它化為一般式.（1）經(jīng)過點，斜率是；

（2）經(jīng)過點，平行于x軸；（3）經(jīng)過點，；

（4）在x軸、y軸上的截距分別是，．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）由點斜式寫出直線方程，并化為一般式；（2）由點斜式寫出直線方程，并化為一般式；（3）由兩點式寫出直線方程，并化為一般式；（4）由截距式寫出直線方程，并化為一般式．【詳解】（1）由點斜式寫出直線方程，其一般式為；（2）由點斜式寫出直線方程，其一般式為；（3）由兩點式寫出直線方程，其一般式為；（4）由截距寫出直線方程，其一般式為．二、直線的一般式方程的應用例2設直線的方程為.（1）若在兩坐標軸上的截距相等，求的值；（2）若不經(jīng)過第三象限，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）先分析斜率為的情況，然后分別考慮軸對應的截距，根據(jù)截距相等求解出的值即可；（2）先分析過定點，然后根據(jù)條件結合圖示判斷出直線斜率滿足的不等式，由此求解出的取值范圍.【詳解】（1）由題意知，當時不符合題意；當時，令得，令得，若在兩坐標軸上的截距相等，則，解得或.（2）直線的方程可化為，所以，所以，所以直線過定點，如下圖所示：若不經(jīng)過第三象限，則，解得，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】思路點睛：根據(jù)直線的截距相等求解參數(shù)的常規(guī)思路：（1）先考慮直線過坐標原點的情況；（2）再分析直線不過坐標原點但截距相同的情況；（3）兩者綜合求解出最終結果.例3直線的方程中的A，B，C滿足什么條件時直線分別具有如下性質？(1)過坐標原點；(2)與兩條坐標軸都相交；(3)與x軸無交點；(4)與y軸無交點；(5)與x軸垂直；(6)與y軸垂直．【答案】(1)C=0，(2)，(3)A=0，(4)B=0，(5)B=0，(6)A=0.【分析】首先要理解的含義，就是A和B不能同時為0；（1）直線過原點也是過定點，只要把原點坐標代入即可；（2）與兩個都坐標軸相交，就是既不平行于x軸，也不平行與y軸；（3）與x軸無交點，就是平行于x軸；（4）與y軸無交點，就是平行與y軸；（5）與x軸垂直，就是平行與y軸；（6）與y軸垂直，就是平行與x軸.【詳解】（1）將（0，0）代入直線方程，得C=0；（2）與兩個都坐標軸相交，就是既不平行于x軸，也不平行與y軸，直線的斜率，也不能不存在，即即；（3）依題意，與x軸無交點，就是平行于x軸，k=0，即A=0,；（4）依題意，k不存在，即B=0,；（5）依題意與y軸無交點，就是平行與y軸，k不存在，即B=0；（6）依題意，與y軸垂直，就是平行與x軸，k=0，即A=0.跟蹤訓練2已知直線.(1)當直線l在x軸上的截距是它在y上的截距3倍時，求實數(shù)a的值：(2)當直線l不通過第四象限時，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)或；(2)【分析】（1）先求出且，再求出直線l在x軸上的截距，在y上的截距，列出方程，求出a的值；（2）考慮直線斜率不存在和直線斜率存在兩種情況，列出不等式組，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）由條件知，且，在直線l的方程中，令得，令得∴，解得：，或，經(jīng)檢驗，，均符合要求.（2）當時，l的方程為：.即，此時l不通過第四象限；當時，直線/的方程為：.l不通過第四象限，即，解得綜上所述，當直線不通過第四象限時，a的取值范圍為跟蹤訓練3已知實數(shù)滿足，則直線過定點.【答案】【分析】根據(jù)題意化簡直線方程為，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】由實數(shù)滿足，可得,代入直線方程，可得，聯(lián)立方程組，解得，所以直線過定點.故答案為：.三、一般式下直線的平行與垂直的問題例4已知直線和直線.(1)若，求實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的值.【答案】(1)0或2；(2)【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直的公式，即可求解；（2）根據(jù)兩直線平行，，求解，再代回直線驗證.【詳解】（1）若，則，解得或2；（2）若，則，解得或1.時，，滿足，時，，此時與重合，所以.跟蹤訓練4（多選）下列各直線中，與直線平行的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用兩直線平行的條件即可判斷各選項.【詳解】直線，即的斜率為2，在軸的截距為，對于A，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，A正確；對于B，直線的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，B正確；對于C，直線，即的斜率為2，在軸的截距為，所以兩直線平行，C正確；對于D，直線的斜率為－2，所以兩直線不平行，D錯誤．故選：ABC．跟蹤訓練5判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．【答案】(1)與垂直；(2)與垂直；(3)與不垂直；(4)與不垂直.【分析】（1）計算兩條直線的斜率乘積是否等于即可；（2）計算兩條直線的斜率乘積是否等于即可；（3）計算兩條直線的斜率乘積是否等于即可；（4）根據(jù)方程可得與平行.【詳解】（1）因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以與垂直，（2）因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以與垂直，（3）因為，，所以直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以與不垂直，（4）因為，，所以與平行，不垂直.【課堂鞏固】1．不論為何實數(shù)，直線恒通過一個定點，這個定點的坐標是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】直線恒過定點，即與參數(shù)k無關，原直線方程整理為，令k的系數(shù)為0，解方程即可得解.【詳解】原方程可化為，由直線恒過定點可知，，解得，所以直線恒過定點故選：B2．已知直線與平行，則系數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線的平行關系可得，解之可得．【詳解】解：直線與直線平行，，解得．故選：．3．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的斜率，進而得到傾斜角.【詳解】的斜率為，故傾斜角為.故選：B4．若直線與垂直，則m的值為（

）A． B． C．5 D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直，斜率之積等于-1求解.【詳解】直線：的斜率，當時，直線：的斜率為，由于兩直線垂直，，解得；若，，直線的斜率不存在，要保證必有，顯然不成立；；故選：D.5．已知直線，的傾斜角分別為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用斜率與傾斜角的關系判定即可.【詳解】由題意得，，所以為鈍角，為銳角，所以．故選：A．6．當點到直線的距離取得最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡直線為，得到直線經(jīng)過定點，結合直線與該直線垂直時，點到該直線的距離取得最大值，列出方程，即可求解.【詳解】將直線轉化為，聯(lián)立方程組，解得，所以直線經(jīng)過定點，當直線與該直線垂直時，點到該直線的距離取得最大值，此時，解得.故選：C.7．直線經(jīng)過的定點坐標是．【答案】【分析】將直線方程中的參數(shù)進行集中，利用其系數(shù)為0，方程恒為0，列出二元一次方程，解得定點坐標.【詳解】把直線的方程改寫成：，由方程組，解得：，所以直線總過定點，故答案為：8．根據(jù)下列條件，求直線的一般方程．(1)過點，且與直線平行；(2)與直線垂直，且與，軸的正半軸圍成的三角形的面積等于4．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)兩條平行線的關系設出直線方程，然后代入點求解即可；（2）根據(jù)兩條線垂直的關系設出直線方程，再求出與坐標軸的交點列出等式解出來即可.【詳解】（1）與直線平行的直線，可設為，將代入得，解得，所以直線為：.（2）與直線垂直的直線可設為，當時，當時，，因為與，軸的正半軸圍成的三角形的面積等于4，所以，解得，所以直線為：.9．在①直線BC的斜率為；②直線AC的斜率為這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答下面的問題．已知以角A為頂角的等腰三角形ABC的頂點，______．(1)求直線AC的一般式方程；(2)求直線BC的一般式方程；(3)求角A的角平分線所在直線的一般式方程．【分析】先判斷出軸，選①：根據(jù)斜率的定義數(shù)形結合可得AC的傾斜角為60°；選②：直線AC的斜率為可推出得AC的傾斜角為60°，可得直線BC的傾斜角為30°或120°．（1）根據(jù)點斜式求解AC的方程，再化成一般式即可；（2）根據(jù)點斜式求解BC的方程，再化成一般式即可；（3）數(shù)形結合可得角A的角平分線所在直線的傾斜角，再根據(jù)點斜式求解，進而化簡成一般式即可.【詳解】（1）因為，所以軸．選①：直線BC的斜率為，則直線BC的傾斜角為30°，因為△ABC是以角A為頂角的等腰三角形，所以直線AC的傾斜角為60°，如圖所示．因為A（－1，2），AC的傾斜角為60°，所以直線AC的方程為，其一般式方程為．選②：直線AC的斜率為，則直線AC的傾斜角為60°，因為△ABC是以角A為頂角的等腰三角形，所以直線BC的傾斜角為30°或120°，如圖所示：因為A（－1，2），AC的斜率為，所以直線AC的方程為，其一般式方程為．（2）選①：因為B（－3，2），直線BC的傾斜角為30°，所以直線BC的方程為，其一般式方程為．選②：因為B（－3，2），直線BC的傾斜角為30°或120°，所以直線BC的方程為或，其一般式方程為或．（3）選①：由（2）可知，角A的角平分線所在直線的傾斜角為120°，斜率為，所以角A的角平分線所在直線的方程為，其一般式方程為．選②：由題意可知，角A的角平分線所在直線的傾斜角為120°或30°，其斜率為或，所以角A的角平分線所在直線的方程為或，其一般式方程為或．10．已知直線的方程為，求直線的一般式方程，滿足：(1)過點，且與平行；(2)過點，且與垂直.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由與平行斜率相等，點斜式可求直線方程，再化為一般式方程；（2）由與垂直，斜率互為負倒數(shù)，點斜式可求直線方程，再化為一般式方程.【詳解】（1）方法一：由題意的方程可化為，則的斜率為.由與平行，的斜率為，又過，由點斜式知方程為，即.方法二：由與平行，可設方程為，將點代入上式得，所求直線方程為.（2）方法一：由題意的方程可化為，則的斜率為.由與垂直，的斜率為，又過，由點斜式可得方程為，即.方法二:由與垂直，可設其方程為，將代入上式得，所求直線方程為.11．已知直線．（1）求證：無論為何值，直線總過第三象限；（2）取何值時，直線不過第二象限？【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）求出直線總過在第三象限的定點，即可得到結論；（2）直線不過第二象限，只需求出原點與定點連線的斜率，利用數(shù)形結合，根據(jù)直線斜率范圍列不等式求解即可．【詳解】（1）由直線，得，由，得，所以直線過定點，因為在第三象限，因此直線總過第三象限．（2）由直線可得直線的斜率，若直線不過第二象限，因為直線過定點，由圖可知，直線斜率滿足：．解得，時直線不過第二象限．【點睛】方法點睛：判斷直線過定點主要形式有：（1）斜截式，，直線過定點；（2）點斜式直線過定點；（3）化為的形式，根據(jù)求解.12．在平面直角坐標系xOy中，設直線方程為.(1)求證：直線恒過一個定點，并求出定點的坐標；(2)若直線分別交軸正半軸、軸正半軸于A，B兩點，表示的面積，求的最小值.【答案】(1)證明見解析，；(2)4.【分析】（1）將原方程整理為關于的方程，即可得到定點；（2）分別求出坐標，寫出關于的表達式，利用二次函數(shù)的性質得到面積最小值即可.【詳解】（1）證明：直線整理為,要使直線過恒定點,則解得，所以點坐標為.（2）直線方程為：與軸正半軸、軸正半軸于,兩點,分別令，得到，，所以，且則或,則三角形面積為此時，在或范圍內，所以面積最小值為4.【課時作業(yè)】1．已知直線，直線，且，則的值為（）A． B． C．-2或-1 D．【答案】C【分析】若兩直線，平行，則且或，求解的值.【詳解】因為，所以且，解得：或，且，綜上：的值為或.故選：C2．如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】通過直線經(jīng)過的點來判斷象限.【詳解】由且，可得同號，異號，所以也是異號；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.3．不論為何實數(shù)，直線恒過一個定點，則這個定點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將直線方程化為，令可得，，從而可得定點.【詳解】直線，即，令，得，，可得它恒過一個定點.故答案為：.4．在中，已知點，，且邊的中點M在軸上，邊的中點N在軸上，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設，，，先利用中點坐標公式求出相關點坐標，再求出直線方程即可.【詳解】設，，，因為，，所以且，解得，，，，即，，，所以MN所在直線方程為，即．故選：A．5．直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，而且它的斜率是直線的斜率的相反數(shù)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)已知表示出直線mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【詳解】因為直線mx+ny+3=0在y軸上的截距為-3，所以，0-3n+3=0，解得.因為直線的斜率為，由已知可得，直線mx+ny+3=0的斜率為，即.所以.故選：D.6．直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，作出圖形，利用斜率坐公式結合圖形求解作答.【詳解】直線過點.如圖，

由題意，直線與線段總有公共點，即直線以直線為起始位置，繞點P逆時針旋轉到直線即可，直線的斜率為，直線的斜率分別為，于是或，而，因此或，所以或，解得或，即a的取值范圍是.故選：D.7．已知直線在x軸的截距大于在y軸的截距，則A、B、C應滿足條件（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別令、得直線在y軸、x軸上的截距，再由在x軸的截距大于在y軸的截距可得答案.【詳解】由已知，令得直線在y軸的截距為，令得直線在x軸的截距為，由直線在x軸的截距大于在y軸的截距可得，即.故選：D.8．過點，且與原點距離最遠的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直關系可得斜率，由點斜式即可求解.【詳解】當直線與垂直時，此時原點到直線的距離最大，,所以所求直線斜率為，由點斜式可得直線方程為，即，故選：C9．直線l過點（1，2），且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程是.【答案】或【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①直線過原點，又由直線經(jīng)過點，由點斜式方程即可得出答案.②直線不過原點，設其方程為，又由直線經(jīng)過點，代入求出，即可求出直線l的方程.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論：①直線過原點，又由直線經(jīng)過點，此時直線的方程為，即；②直線不過原點，設其方程為，又由直線經(jīng)過點，則有，解可得，此時直線的方程為，故直線l的方程為或.故答案為：或.10．已知直線恒過定點A，點A在直線上，則的最小值為.【答案】9【分析】由直線方程分析可得定點A為，進而有，根據(jù)目標式結合基本不等式“1”的代換求最小值即可，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，∴當時，方程恒成立，故直線恒過定點，∴，則，當且僅當時等號成立，∴的最小值為.故答案為：11．已知直線的傾斜角是所求直線的傾斜角的大小的5倍，且直線分別滿足下列條件：（結果化成一般式）（1）若過點，求直線的方程．（2）若在軸上截距為，求直線的方程．（3）若在軸上截距為3，求直線的方程．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】先由題意，求出直線的斜率；（1）根據(jù)直線的點斜式方程，可直接得出結果；（2）根據(jù)直線的點斜式方程，可直接得出結果；（3）根據(jù)直線的斜截式方程，可直接得出結果.【詳解】由直線得其斜率為，則其傾斜角的正切值為，，又直線的傾斜角是所求直線的傾斜角的大小的5倍，故所求直線的傾斜角為，其斜率為；（1）若所求直線過點，由點斜式方程得：，整理得：；即所求方程為；（2）若所求直線在軸截距為，則直線過點，由點斜式方程得：，整理得；即所求方程為；（3）在軸上截距為3，由斜截式方程得：，整理得：；即所求方程為.12．求滿足下列條件的直線的方程.（1）經(jīng)過點，且與直線平行；（2）經(jīng)過點，且平行于過和兩點的直線；（3）經(jīng)過點，且與直線垂直．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）兩直線平行，斜率相等，從而求得直線方程；（2）求過兩點的直線斜率，然后根據(jù)兩直線平行，斜率相等，從而求得直線方程；（3）兩直線垂直，斜率乘積等于-1，求得斜率，從而寫出方程；【詳解】（1）與直線平行的直線斜率為-4，且經(jīng)過點則直線為；（2）過和兩點的直線斜率為，則與MN平行且過點的直線方程為：；（3）直線的斜率為-2，與之垂直的直線斜率為，則經(jīng)過點，且與直線垂直的直線方程為；13．在平面直角坐標系中，直線，.（1）求直線經(jīng)過定點的坐標；（2）當且時，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【分析】(1)只需將的方程整理成，由題意，直線過定點，即是與參數(shù)a無關，因此只需且，從而可求出定點坐標;(2)由直線與直線平行的充要條件可得且，即可求出a的值.【詳解】（1）∵，∴，∴令且，則，，∴對任意，直線過定點（2）當時，直線，即又知直線，即，，∴且