2026版步步高大一輪高考數(shù)學復習110練第一章§1.4基本不等式§1.4基本不等式分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知m>0，n>0，mn=81，則m+n的最小值是()A.9 B.18 C.93 D.272.若x>0，則函數(shù)y=x2A.6 B.7 C.10 D.113.(2024·亳州模擬)已知x>0，y>0，2x+y=xy，則2x+y的最小值為()A.8 B.4 C.82 D.424.(2025·連云港模擬)設a>0，b>-1，且a+b=1，則1a+1A.1 B.2 C.4 D.85.(2024·漯河模擬)設正實數(shù)x，y，z滿足x2-xy+y2-z=0，則xyzA.4 B.2 C.3 D.16.已知x>2，且x-y-2=0，則x24+2xA.2 B.3 C.4 D.9二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.若m>0，n>0，且m+2n=1，則下列結(jié)論正確的是()A.mn≤18 B.m+2nC.1m+2n≥9 D.m2+4n28.下列說法正確的是()A.函數(shù)y=2x+2x(xB.函數(shù)y=x2C.函數(shù)y=x+16x+2(D.若x+y=4，則x2+y2的最小值是8三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·南京模擬)已知x>12，則x+12x10.已知5x2y2+y4=1(x，y∈R)，則x2+y2的最小值是.

四、解答題(共28分)11.(13分)已知x>0，y>0，x+2y+xy=30，求：(1)xy的最大值；(6分)(2)2x+y的最小值.(7分)12.(15分)已知下列求最小值的方法：求x3-3x，x∈[0，+∞)的最小值.解：利用平均值不等式，對任意非負實數(shù)a，b，c，有a+b+c≥33abc(當且僅當a=b=c時等號成立)，得到x3+1+1≥3x，于是x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，當且僅當x=1時等號成立，即當且僅當x=1時，x3-3x(1)請模仿上述例題，求x4-4x，x∈[0，+∞)的最小值；(提示：對任意非負實數(shù)a，b，c，d，有a+b+c+d≥44abcd，當且僅當a=b=c(2)求13x3-x，x∈[0，+∞(3)求出當a>0時，x3-ax，x∈[0，+∞)的最小值.(6分)每小題5分，共10分13.正數(shù)a，b滿足a>b，ab=4，則a3A.2 B.3 C.4 D.614.若x1，x2，…，x2026均為正實數(shù)，則x1+x2x1+x3x1x2+x4x1答案精析1.B2.D[∵x>0，∴y=x2+x+25x≥2x·25x當且僅當x=25x，即x=5∴函數(shù)y=x2+3.A[方法一由x>0，y>0，2x+y=xy，可得y=2xx-1>0，則則2x+y=2x+2xx=2(=2(x-1)+2x≥22(x-1)當且僅當2(x-1)=2x即x=2時，等號成立，所以2x+y的最小值為8.方法二由x>0，y>0，2x+y=xy，得2y+1x所以2x+y=(2x+y)2=4xy+≥24xy當且僅當4xy=yx，2x+y即x=2，y=4時，等號成立，所以2x+y的最小值為8.]4.B[因為a>0，b>-1，則b+1>0，因為a+b=1，則a+(b+1)=2，所以1a+=12[a+(b+1)]=1≥122+2當且僅當b即a=1，因此1a+1b+15.D[因為正實數(shù)x，y，z滿足x2-xy+y2-z=0，則z=x2+y2-xy，所以xyz=xyx≤12x當且僅當xy=yx(x>0，y即x=y時，等號成立，故xyz的最大值為6.D[由題意得x=y+2>2，所以y>0，所以x2+2y=y+22+2y≥2y2·2y+1=3所以x2+2y又因為x24+2xy+所以x24+2xy7.AC[對于A，若m>0，n>0，且m+2n=1，則有mn=12·m·2≤12m+2當且僅當m=12，n=14時等號成立，故對于B，(m+2由A可得mn≤18，故1+22mn≤所以m+2n≤2，故B對于C，1m+2n=1m+2n(m+2n)=5+2n當且僅當m=n=13時等號成立，故C對于D，m2+(2n)22≥m+2n22=14，即m2+4n2≥128.ACD[A選項，對于函數(shù)y=2x+2x(x<02x+2x=-≤-2(-2x)當且僅當-2x=2-x，即x=-1時等號成立，所以B選項，y=x2+10x2+9=x2+9當x2+9=1xC選項，對于函數(shù)y=x+16x+2(x>-2)，xx+16x+2=x+2+≥2(x+2)當且僅當x+2=16x+2，即x=2時等號成立，所以D選項，由基本不等式得x2+y22≥x+y22，所以x2+y2≥當且僅當x=y=2時等號成立，所以D選項正確.]9.2解析由于x>12，所以2x-1>0所以x+12x-1=2x≥22x-12·1當且僅當2x-12=12x-1，即x=2+110.4解析方法一∵5x2y2+y4=1，∴y≠0且x2=1-y∴x2+y2=1-y45y2+y≥215y2當且僅當15y2即x2=310，y2=1∴x2+y2的最小值為45方法二由5x2y2+y4=1，可得y2(5x2+y2)=1，即4y2(5x2+y2)=4，又4=4y2(5x2+y2)≤4=254(x2+y2)2∴(x2+y2)2≥1625，即當且僅當5x2+y2=4y2=2，即x2=310，y2=1∴x2+y2的最小值是4511.解(1)因為x>0，y>0，根據(jù)基本不等式，30=x+2y+xy≥22xy+xy(當且僅當x=2y=6令xy=t(t>0)，則t2+22t-30≤0，解得-52≤t≤32，又t>0，所以0<t≤32，即0<xy≤32，所以0<xy≤18，故xy的最大值為18.(2)由x+2y+xy=30可知，y=30-x2+x>0，0<x<30，2x+y=2x+30-x2+x=2(≥22(x+2)當且僅當2(x+2)=322+即x=2時取等號，所以2x+y的最小值為11.12.解(1)因為x∈[0，+∞)，利用a+b+c+d≥44ab當且僅當a=b=c=d時等號成立，得到x4+1+1+1≥4x，所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，當且僅當x=1時等號成立，即x4-4x的最小值為-3.(2)因為x∈[0，+∞)，利用a+b+c≥33abc當且僅當a=b=c時等號成立，得到13x3+13+13所以13x3-x=13x3+13+13-23-x≥x-2當且僅當x=1時等號成立，即13x3-x的最小值為-2(3)因為x∈[0，+∞)，且a>0，利用a+b+c≥33abc當且僅當a=b=c時等號成立，得到x3+aa33+a所以x3-ax=x3+aa33+aa≥ax-2aa33-當且僅當x=a3=3即x3-ax的最小值為-2a13.C[由題意得a>0，b>0，a-b>0，則a3+=(a-b)2+4≥2(a-當且僅當a-b=2且ab=4，即a=5+1，b=5-1時，等號成立.]14.4解析原式=4x1x2…x2026+x2026x1x≥24x1x2…x2026·x2026x1x2…x2025+x2025x1x2…x2024+≥24x1x2…x2025·x2025x=4x1x2…x2024+…+x≥…≥4x1+x1≥24當且僅當4xi=xi(i=1，2，3，…，2026，xi即x1=x2=…=x2026=2時，等號成立，故x1+x2x1+x3x1x2+x4分值：90分一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a>0，b>1，ab-a=1，則a+b的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.52.已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x29+y24=1的兩個焦點，點M在C上，則|MF1A.13 B.12 C.9 D.43.已知實數(shù)x，y>0，1x+4y=2，且x+y≥mA.-∞，92 C.92，+∞ 4.若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A.a<33 B.0≤a≤C.a>33 D.a>5.(2024·宿州模擬)定義：對于數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a與b對于模m同余，記作a≡b(modm).已知正整數(shù)t滿足t≡11(mod6)，將符合條件的所有t的值按從小到大的順序排列，構成數(shù)列{an}.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則2SA.12 B.14 C.16 D.186.(2025·長沙模擬)中國南宋著名數(shù)學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內(nèi)有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式S=p(p-a)(p-b)(pA.30° B.45° C.60° D.90°二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.(2024·宜賓模擬)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若mxym-1≤x+2y恒成立，則實數(shù)A.12 B.98 C.3 8.若a>1，b>1，且ab=e2，則()A.2e≤a+b<e2+1B.0<lna·lnb≤1C.22-1≤lna+logab<2D.alnb的最大值為e三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2024·南京模擬)若正實數(shù)x，y滿足x+y=2，且1xy≥M恒成立，則M的最大值為.10.已知函數(shù)f(x)=ax2+2x+b的值域為[0，+∞)，其中a>b，則a2+b2四、解答題(共28分)11.(13分)已知函數(shù)f(x)=x+9x-1((1)求f(x)的最小值；(6分)(2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a的取值范圍.(7分)12.(15分)隨著我國經(jīng)濟發(fā)展、醫(yī)療消費需求增長、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場近年來持續(xù)增長.某市一家醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為400萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本G(x)萬元，且G(x)=2x(1)寫出年利潤W(x)(單位：萬元)關于年產(chǎn)量x(單位：臺)的函數(shù)解析式(利潤=銷售收入-成本)；(7分)(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？(8分)每小題5分，共10分13.(2025·德陽模擬)設雙曲線x2a2-y2a2+1=1(a>0)的離心率為e，則當eA.2 B.2 C.3 D.314.(2024·咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)=2026x-2026-x，若m>0，n>1，且f1m-2+f2n=f(sin2026π)，則32m-1答案精析1.C2.C[因為|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|·|MF2|≤(MF1|當且僅當|MF1|=|MF2|=3時，等號成立，所以|MF1|·|MF2|的最大值為9.]3.A[由1x+4y=2，可得12x又因為x，y>0，則x+y=(x+y)·1=12+2+y2≥52+2y2x當且僅當y2x=即y=2x=3時取等號，所以(x+y)min=92由x+y≥m恒成立，可得m≤(x+y)min=92即實數(shù)m的取值范圍為-∞4.A[當x∈(0，2]時，由ax2-2x+3a<0，可得a(x2+3)<2x，由題意得a<2x因為2xx2+3=2x+3x≤22x·即x=3時，等號成立，所以當x∈(0，2]時，2xx2+3的最大值為335.C[由題意可知an=6n-1，n∈N*，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以Sn=n[5+(6n-1)]2=3可得2Sn=6n+≥12n·1n當且僅當n=1時，2Sn6.C[由題可知a+b=8，c=4，p=6，則S=6(6-a)(6-≤12×6-a+6-b當且僅當a=b=4時取等號，所以此時三角形為等邊三角形，故A=60°.]7.ABC[由x>0，y>0，得xy>0，mxym-1≤x+2即mm-1≤x+2yxy又2x+1y=2x+1y(2x+y)=5+2y當且僅當x=y=13故mm-1≤9，即mm-1-9=即(解得m<1或m≥988.ABD[由a>1，b=e2a得1<a<e2，因為函數(shù)f(a)=a+b=a+e2a在(1，e)上單調(diào)遞減，在[e，e2)上單調(diào)遞增，所以2e≤a+b<e2+1，故因為ab=e2，所以有l(wèi)na+lnb=2，于是0<lna·lnb≤lna+lnb22=1，當且僅當a=lna+logab=lna+lnblna=lna+2-lnalna=ln設t=lna∈(0，2)，所以φ(t)=t+2t-1在(0，2)上單調(diào)遞減，在[2，2所以φ(t)=t+2t-1∈[22-1，+∞)，故C設λ=alnb，所以lnλ=lnalnb=lnb·lna≤1，所以λ≤e，故D正確.]9.1解析∵正實數(shù)x，y滿足x+y=2，∴xy≤(x+y)24=22又1xy≥M∴M≤1，即M的最大值為1.10.22解析函數(shù)f(x)=ax2+2x+b的值域為[0，+∞)，令ax2+2x+b=0，則有Δ即ab=1，且a>0，所以a2+=(a-b)+2a又a>b，所以a-b>0，則(a-b)+2≥22a-b當且僅當a-b=2，且ab=1，即a=6+22，b即a2+b211.解(1)f(x)=x+9=x-1+9x-1因為x>1，所以x-1>0，所以x-1+9x≥2(x-1)當且僅當x-1=9x-1，即x所以f(x)的最小值為7.(2)由