河南省商丘市商師聯(lián)盟2023?2024學年高一下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（B卷）一、單選題（本大題共8小題）1．若復數(shù)，則（

）A． B．10 C． D．202．已知事件與事件相互獨立，若，，則（

）A． B． C． D．3．設A，B是直線l上兩點，則“A，B到平面a的距離相等”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．一組數(shù)據(jù)：5，1，3，5，2，2，2，3，1，2，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．3 B．4 C．4.5 D．55．先后拋擲2枚均勻的一分、二分的硬幣，觀察落地后硬幣的正反面情況，則下列事件包含3個基本事件的是（

）A．“至少一枚硬幣正面向上”B．“只有一枚硬幣正面向上”C．“兩枚硬幣都是正面向上”D．“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上”6．在中，已知，，，則此三角形的解的情況是（

）A．有一解 B．有兩解C．無解 D．有解但解的個數(shù)不確定7．如圖，已知邊長為4的正方形ABCD的中心與半徑為的圓O的圓心重合，點P是圓O上的一點，則的值為（

）A．16 B．18 C．20 D．228．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則的值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），復數(shù)z的共軛復數(shù)為，則下列結論正確的是（

）A．在復平面內(nèi)復數(shù)z所對應的點位于第四象限B．C．D．10．下列敘述正確的是（

）A．某人射擊1次，"射中7環(huán)”與"射中8環(huán)"是互斥事件B．甲、乙兩人各射擊1次，"至少有1人射中目標“與"沒有人射中目標"是對立事件C．拋擲一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)4次正面向上，則第5次出現(xiàn)反面向上的概率大于D．拋擲一枚硬幣4次，恰出現(xiàn)2次正面向上的概率為11．如圖，在棱長為的正方體中，已知，是線段上的兩個動點，且，則（

）A．的面積為定值 B．C．點到直線的距離為定值 D．平面與平面所成角為三、填空題（本大題共3小題）12．已知x、，若，則．13．某市半程馬拉松比賽需要學生志愿者若干名，其中某路段從某校高一年級1000人中按男、女采用比例分配的分層隨機抽樣抽取一個容量為50的樣本，且樣本中男生人數(shù)比女生人數(shù)多20人，則這1000人中女生有人.14．在四面體ABCD中，，，，，，，則四面體ABCD的外接球的表面積為，四面體ABCD的體積為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量．(1)若三點共線，求的值；(2)若四邊形為矩形，求的值．16．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，.(1)求及AD的長度；(2)求BC的長度.17．為普及抗疫知識、弘揚抗疫精神，某學校組織防疫知識競賽．比賽共分為兩輪，每位參賽選手均須參加兩輪比賽，若其在兩輪比賽中均勝出，則視為贏得比賽．已知在第一輪比賽中，選手甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，甲、乙勝出的概率分別為，；甲、乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．(1)從甲、乙兩人中選取1人參加比賽，派誰參賽贏得比賽的概率更大？(2)若甲、乙兩人均參加比賽，求兩人中至少有一人贏得比賽的概率．18．2023年12月，“爾濱”持續(xù)爆火，冰雪主題熱度狂飆，隨之而來的是大家對冬季戶外運動裝備的高需求，從雪鞋?雪板等滑雪裝備，到手套?帽子等保暖用品，各家體育用品店在這個冬天迎來“滑雪+”新熱潮．某體育用品制造企業(yè)為了提升產(chǎn)品質量，對現(xiàn)有的一條生產(chǎn)線進行技術升級改造，為了分析改造的效果，該企業(yè)質檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的體育用品中隨機抽取了件，檢測產(chǎn)品的某項質量指標值，根據(jù)檢測數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）．質量指標值產(chǎn)品(1)估計這組樣本的質量指標值的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）；(2)設表示不小于的最小整數(shù)，表示不大于的最大整數(shù)，,，根據(jù)檢驗標準，技術升級改造后，若質量指標值落在內(nèi)的頻率超過，可認為生產(chǎn)線技術改造成功．請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，是否可以判定生產(chǎn)線的技術改造是成功的？（參考數(shù)據(jù)：，）19．如圖，在直三棱柱中，，，，點D，E分別為棱BC，的中點，點F是線段CE的中點．

(1)求證：平面；(2)求直線DF與平面ABF所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值．

參考答案1．【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)模的定義求解.【詳解】．故選A．2．【答案】D【分析】根據(jù)獨立事件概率的乘法公式可得解.【詳解】由題知，故選D．3．【答案】B【分析】根據(jù)線面位置關系分別判斷充分必要條件即可.【詳解】若，則A，B兩點到平面的距離相等，但反之不成立，因為當A，分別在平面a的兩側，且滿足A，到平面的距離相等時，直線l與平面相交．故選B．4．【答案】D【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序，根據(jù)第85百分位數(shù)的定義可得答案.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序為1，1，2，2，2，2，3，3，5，5，因為不是整數(shù)，所以取第9個數(shù)，第9個數(shù)為5，所以這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為5.故選D．5．【答案】A【解析】利用列舉法，直接列舉出總的基本事件，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】先后拋擲2枚均勻的一分?二分的硬幣，所包含的基本事件有{正，正}?{正，反}?{反，正}?{反，反}，“至少一枚硬幣正面向上”包含的基本事件有{正，正}?{正，反}?{反，正}共三個，所以A項正確；“只有一枚硬幣正面向上”包含的基本事件有{正，反}?{反，正}共兩個，所以B項錯誤；“兩枚硬幣都是正面向上”包含的基本事件有{正，正}共一個，所以C項錯誤；“兩枚硬幣一枚正面向上，另一枚反面向上”包含的基本事件有{正，反}?{反，正}共兩個，所以D項錯誤.故選A.6．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理：，結合已知條件，求得，即可求得答案.【詳解】由正弦定理，得所以不存在，即滿足條件的三角形不存在.故選C.7．【答案】C【分析】運用加法法則將各個向量用表示出來，后借助數(shù)量積的性質求解即可.【詳解】由題意知.故選C.8．【答案】A【分析】由向量的數(shù)量積公式、余弦定理、正弦定理得，再由余弦定理得，平方求出可得答案.【詳解】因為，所以，所以，整理得，又因為，由正弦定理得，所以，所以，所以，解得，所以，因為，所以，所以.故選A.9．【答案】AC【分析】運用復數(shù)除法運算規(guī)則進行化簡，再根據(jù)幾何意義，共軛復數(shù)概念求解即可.【詳解】復數(shù)，在復平面內(nèi)復數(shù)z所對應的點位于第四象限，所以A項正確；，所以B項錯誤；，所以C項正確；，所以D項錯誤.故選AC.10．【答案】AB【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷AB選項，連續(xù)拋擲一枚硬幣，屬于獨立重復實驗，計算所給事件的概率，判斷CD選項.【詳解】對于A項，某人射擊1次，“射中7環(huán)”和“射中8環(huán)”是兩個不可能同時發(fā)生的事件，所以是互斥事件，所以A項正確；對于B項，甲、乙兩人各射擊1次，“至少有1人射中目標”包含“1人射中，1人沒有射中”和“2人都射中目標”，所以根據(jù)對立事件的定義可知，"至少有1人射中目標“與"沒有人射中目標"是對立事件，所以B項正確；對于C項，拋擲一枚硬幣，屬于獨立重復事件，每次出現(xiàn)正面向上的概率都是，每次出現(xiàn)反面向上的概率也是，所以C項錯誤；對于D項，拋擲一枚硬幣，恰出現(xiàn)2次正面向上的概率，所以D項錯誤.故選AB.【方法總結】區(qū)分n重伯努利試驗與相互獨立事件(1)兩事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．(2)n重伯努利試驗是指同一個伯努利試驗重復做n次，各次試驗的結果相互獨立．(3)n重伯努利試驗是相互獨立事件的特例，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，有“恰好”字樣的題用n重伯努利試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．11．【答案】ABC【分析】由點到的距離為定值且底邊也為定值判斷A項，根據(jù)正方體的性質判斷B項，點到直線的距離等于到的距離即可判斷C項，由正方體的性質得到平面平面，即可判斷D項.【詳解】對于A項，因為在中，高為到的距離，即的長度，為定值，底邊為的長度，也為定值，所以的面積為定值，所以A項正確；對于B項，因為在上，，，所以，即，所以B項正確；對于C項，點到直線的距離等于到的距離，為定值，所以C項正確；對于D項，在該正方體中，平面，又因為平面，所以平面平面，即平面平面，所以平面與平面所成角為，所以D項錯誤．故選ABC．12．【答案】2.【分析】根據(jù)相等復數(shù)的概念列出方程組，解之即可求解.【詳解】由題意，得，所以.故答案為：2.13．【答案】300【分析】根據(jù)比例分配的分層隨機抽樣可得答案.【詳解】設樣本中男生為x人，則女生為人，所以，解得，設總體中女生人數(shù)為n，則，解得.故答案為：300.14．【答案】；1.【分析】勾股定理判斷出為直角三角形，取BD的中點O，O為四面體ABCD的外接球的球心，可求得四面體ABCD的外接球的表面積；將四面體ABCD補成直三棱柱，根據(jù)求出體積.【詳解】在四面體ABCD中，，，，，，因為，所以為直角三角形，因為，所以為直角三角形，取BD的中點O，則，所以O為四面體ABCD的外接球的球心，則BD為四面體ABCD的外接球的直徑，所以四面體ABCD的外接球的表面積為；將四面體ABCD補成直三棱柱，如圖，，，，，所以，，所以，即，故四面體ABCD的體積為.故答案為：；1.【方法總結】解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，由三點共線，可得.（2）由，，若四邊形為矩形，求解．即可得到結果.【詳解】（1）因為，所以，．又三點共線，所以，所以，解得．（2）由，若四邊形為矩形，則．即，解得．由，得解得．所以．16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）運用平方關系求出，，由于，借助和角公式求出即可．再用正弦定理求出即可；（2）在中，由正弦定理求出，再用余弦定理求出即可.【詳解】（1）因為，，，，所以，，由于，又因為，所以，所以，則，所以，所以.在中，由正弦定理得，所以，所以.（2）在中，由正弦定理得，可得，解得.由于，，在中，由余弦定理可得.17．【答案】(1)派甲參賽贏得比賽的概率更大；(2).【分析】（1）根據(jù)獨立事件的概率公式進行求解即可；（2）根據(jù)對立事件概率公式進行求解即可.【詳解】（1）設事件表示“甲在第一輪比賽中勝出”，事件表示“甲在第二輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第一輪比賽中勝出”，事件表示“乙在第二輪比賽中勝出”，則表示“甲贏得比賽”，，表示“乙贏得比賽“，因為，所以派甲參賽贏得比賽的概率更大．（2）設表示“甲贏得比賽”，表示“乙贏得比賽”，，，因此“兩人中至少有一個贏得比賽”的概率為．18．【答案】(1)，；(2)可以判定生產(chǎn)線技術改造是成功的.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差公式直接計算可得解；（2）直接代入可得，，再根據(jù)頻率公式可得解.【詳解】（1）由題意可知，（2）由（1），則，則，，該抽樣數(shù)據(jù)落在內(nèi)的頻率為.則可以判定生產(chǎn)線技術改造是成功的．19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）只需分別證明，，結合線面垂直的判定定理即可得解；（2）首先通過分析可說明是直線DF與平面ABF所成角，進一步通過解三角形即可得解；（3）由二面角的定義分析說明為二面角F-AD-C的平面角，再通過解三角形即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．在矩形中，，，點E是棱的中點，所以，所以是等邊三角形，又點F是線段CE的中點，所以，又，平面，所以平面．（2）在平面BCE內(nèi)，過點D作BF的垂線，垂足為H，如圖所示．由（1）知平面，又平面，所以，又，，平面，