2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第五章平面向量、復(fù)數(shù)補(bǔ)上一課向量中的最值(范圍)問題題型分析平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題，此類問題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.題型一與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)例1(2024·江西八校聯(lián)考)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，P是△ABC的外接圓上一點(diǎn)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，則m＋n的最小值為________.答案－eq\f(1,2)解析在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝1＋4－2×1×2·cos60°＝3，所以BC＝eq\r(3)，所以AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC，則AC為△ABC外接圓的直徑.以線段AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，易得A(1，0)，C(－1，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，0)，設(shè)P(cosθ，sinθ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(cosθ－1，sinθ)，因?yàn)閑q\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，所以(cosθ－1，sinθ)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋n(－2，0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)－2n，\f(\r(3),2)m))，所以m＝eq\f(2\r(3),3)sinθ，n＝－eq\f(1,2)cosθ＋eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),6)sinθ，所以m＋n＝eq\f(\r(3),2)sinθ－eq\f(1,2)cosθ＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)≥－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝－1時(shí)等號(hào)成立，即m＋n的最小值為－eq\f(1,2).感悟提升此類問題的一般解題步驟是第一步：利用向量的運(yùn)算將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；第二步：運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.訓(xùn)練1如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，過點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為________.答案3解析由題意知，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),3)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→)),3)＝eq\f(2\o(AB,\s\up6(→)),3)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),3)，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2\o(AM,\s\up6(→)),3x)＋eq\f(\o(AN,\s\up6(→)),3y)，由M，P，N三點(diǎn)共線，得eq\f(2,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3x)＋\f(1,3y)))＝eq\f(5,3)＋eq\f(2x,3y)＋eq\f(2y,3x)≥eq\f(5,3)＋2eq\r(\f(2x,3y)·\f(2y,3x))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，故2x＋y的最小值為3.題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)例2(2020·新高考Ⅰ卷)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A.(－2，6) B.(－6，2)C.(－2，4) D.(－4，6)答案A解析法一如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2，0)，C(3，eq\r(3))，F(xiàn)(－1，eq\r(3)).設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，且－1＜x＜3.所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2，0)＝2x∈(－2，6).法二設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角為θ，則eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影向量的模為|eq\o(AP,\s\up6(→))|cosθ，由圖可知|eq\o(AP,\s\up6(→))|cosθ∈(－1，3)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AP,\s\up6(→))|cosθ∈(－2，6)，即eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是(－2，6).感悟提升數(shù)量積最值(范圍)的解法：(1)坐標(biāo)法，通過建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題處理.(2)向量法，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識(shí)解決.訓(xùn)練2已知在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，M，N分別為邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且CN＝BM，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))的最大值為________.答案－eq\f(4,3)解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－1，0)，C(1，0)，A(0，eq\r(3))，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，0)，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－1，eq\r(3))，設(shè)eq\o(BM,\s\up6(→))＝teq\o(BC,\s\up6(→))(0≤t≤1)，則eq\o(CN,\s\up6(→))＝teq\o(CA,\s\up6(→))(0≤t≤1)，則M(2t－1，0)，N(1－t，eq\r(3)t)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝(2t－1，－eq\r(3))，eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2－3t，eq\r(3)t)，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2t－1)×(2－3t)＋(－eq\r(3))×(eq\r(3)t)＝－6t2＋4t－2＝－6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(4,3)，當(dāng)t＝eq\f(1,3)時(shí)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))取得最大值－eq\f(4,3).題型三與模有關(guān)的最值(范圍)例3(2024·成都診斷)已知平面向量a，b，c滿足a·b＝0，|a|＝|b|＝1，(c－a)·(c－b)＝eq\f(1,2)，則|c－a|的最大值為()A.eq\r(2) B.1＋eq\f(\r(2),2) C.eq\f(3,2) D.2答案B解析依題意，不妨設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).則(c－a)·(c－b)＝(x－1，y)·(x，y－1)＝x2＋y2－x－y＝eq\f(1,2)，即(x，y)滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1.而|c－a|可以看作圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝1上的一點(diǎn)到點(diǎn)(1，0)的距離，所以|c－a|的最大值即為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－0))\s\up12(2))＋1＝1＋eq\f(\r(2),2)，故選B.感悟提升求向量模的最值(范圍)的方法，通常有：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，或通過建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示；需要構(gòu)造不等式，利用基本不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、平行，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過程更加簡(jiǎn)單；結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.訓(xùn)練3已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是________.答案[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]解析a，b是單位向量，a·b＝0，設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝eq\r(（x－1）2＋（y－1）2)＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1，1)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故eq\r(12＋12)－1≤|c|≤eq\r(12＋12)＋1，∴eq\r(2)－1≤|c|≤eq\r(2)＋1.題型四與夾角有關(guān)的最值(范圍)例4(2024·杭州調(diào)研)平面向量a，b滿足|a|＝3|b|，且|a－b|＝4，則a與a－b夾角的正弦值的最大值為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)答案B解析如圖所示，設(shè)a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，則a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→))，設(shè)|b|＝m，|a|＝3m，1≤m≤2，cos∠OAB＝eq\f(|\o(OA,\s\up6(→))|2＋|\o(BA,\s\up6(→))|2－|\o(OB,\s\up6(→))|2,2|\o(OA,\s\up6(→))||\o(BA,\s\up6(→))|)＝eq\f(9m2＋16－m2,24m)＝eq\f(m,3)＋eq\f(2,3m)≥2eq\r(\f(m,3)·\f(2,3m))＝eq\f(2\r(2),3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(m,3)＝eq\f(2,3m)，即m＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立，故∠OAB∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，當(dāng)cos∠OAB最小時(shí)，sin∠OAB最大，故a與a－b夾角的正弦值的最大值為eq\r(1－\f(8,9))＝eq\f(1,3).感悟提升求夾角的最值(范圍)問題要根據(jù)夾角余弦值的表達(dá)式，采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行.訓(xùn)練4已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，AD上(包含端點(diǎn))，若eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→))＝2，則eq\o(EG,\s\up6(→))與eq\o(HF,\s\up6(→))夾角的余弦值的最大值是________.答案eq\f(4,5)解析如圖建立直角坐標(biāo)系，則可設(shè)eq\o(EG,\s\up6(→))＝(t，1)，eq\o(HF,\s\up6(→))＝(2，s)，－2≤t≤2，－1≤s≤1，所以eq\o(EG,\s\up6(→))·eq\o(HF,\s\up6(→))＝2t＋s＝2，cos〈eq\o(EG,\s\up6(→))，eq\o(HF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EG,\s\up6(→))·\o(HF,\s\up6(→)),|\o(EG,\s\up6(→))|·|\o(HF,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(t2＋1)\r(4＋s2))＝eq\f(2,\r(（st）2＋4t2＋s2＋4))＝eq\f(2,\r(（st）2－4st＋（2t＋s）2＋4))＝eq\f(2,\r(（st）2－4st＋8))＝eq\f(2,\r(（st－2）2＋4))，當(dāng)st≤0時(shí)，(st－2)2≥4，當(dāng)st＞0時(shí)，由2t＋s＝2，故s＞0，t＞0，∴2＝2t＋s≥2eq\r(2st)，∴st≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)s＝1，t＝eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)，∴st最大值為eq\f(1,2)，∴(st－2)2的最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)，此時(shí)eq\f(2,\r(（st－2）2＋4))取得最大值為eq\f(4,5)，即eq\o(EG,\s\up6(→))與eq\o(HF,\s\up6(→))夾角的余弦值的最大值為eq\f(4,5).極化恒等式極化恒等式的證明過程與幾何意義證明過程：如圖，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b.|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，|eq\o(DB,\s\up6(→))|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2，兩式相減得a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]，此即極化恒等式.幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線長(zhǎng)”與“差對(duì)角線長(zhǎng)”平方差的eq\f(1,4).例(1)如圖，在三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))值為________.答案eq\f(7,8)解析設(shè)eq\o(DC,\s\up6(→))＝a，eq\o(DF,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝9b2－a2＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝|eq\o(FD,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝b2－a2＝－1，解得b2＝eq\f(5,8)，a2＝eq\f(13,8)，∴eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝|eq\o(ED,\s\up6(→))|2－|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝4b2－a2＝eq\f(7,8).(2)已知點(diǎn)A，B，C均在半徑為eq\r(2)的圓上，若|AB|＝2，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最大值為________.答案2＋2eq\r(2)解析設(shè)A，B，C三點(diǎn)所在圓的圓心為O，取AB中點(diǎn)D，故eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\o(CD,\s\up6(→))2－1，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在圓上，所以CD長(zhǎng)度最大為r＋d，其中d為圓心O到弦AB的距離，故最大值為1＋eq\r(2)，所以eq\o(CD,\s\up6(→))2－1的最大值為(1＋eq\r(2))2－1＝2＋2eq\r(2).訓(xùn)練(2022·北京卷)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A.[－5，3] B.[－3，5]C.[－6，4] D.[－4，6]答案D解析法一以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(3，0)，B(0，4).設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝1，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，4－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2－3x＋y2－4y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2－eq\f(25,4).又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋(y－2)2表示圓x2＋y2＝1上一點(diǎn)到點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))距離的平方，圓心(0，0)到點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))的距離為eq\f(5,2)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－1))\s\up12(2)－\f(25,4)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋1))\s\up12(2)－\f(25,4)))，即eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－4，6].法二(極化恒等式)設(shè)AB的中點(diǎn)為M，eq\o(CM,\s\up6(→))與eq\o(CP,\s\up6(→))的夾角為θ，由極化恒等式得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PM,\s\up6(→))2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝(eq\o(CM,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→)))2－eq\f(25,4)＝eq\o(CM,\s\up6(→))2＋eq\o(CP,\s\up6(→))2－2eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))－eq\f(25,4)＝eq\f(25,4)＋1－5cosθ－eq\f(25,4)＝1－5cosθ，因?yàn)閏osθ∈[－1，1]，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－4，6].【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】1.已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a·b＝1.若|c|＝2，則(a＋b)·c的最大值為()A.2eq\r(5) B.10 C.2 D.5答案A解析設(shè)a＋b，c的夾角為θ，則(a＋b)·c＝|a＋b|·|c|cosθ≤|a＋b|·|c|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)·|c|＝2eq\r(5)，當(dāng)a＋b，c同向，即θ＝0時(shí)取等號(hào).故選A.2.已知△ABC中，AB＝4，AC＝3，cosA＝eq\f(1,3)，若D為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的取值范圍是()A.[4eq\r(2)，12] B.[8eq\r(2)，16]C.[4，16] D.[2，4]答案C解析由題意得：eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))，0≤λ≤1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·[λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))]＝λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋(1－λ)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝16λ＋4－4λ＝12λ＋4∈[4，16].3.(2024·泉州質(zhì)監(jiān))已知平面向量a，b，c滿足|a|＝1，b·c＝0，a·b＝1，a·c＝－1，則|b＋c|的最小值為()A.1 B.eq\r(2) C.2 D.4答案C解析在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不妨設(shè)a＝(1，0)，b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)，則a·b＝x1＝1，a·c＝x2＝－1，b·c＝x1x2＋y1y2＝y(tǒng)1y2－1＝0，所以|b＋c|＝eq\r(（1－1）2＋（y1＋y2）2)＝|y1＋y2|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(1,y1)))＝|y1|＋eq\f(1,|y1|)≥2eq\r(|y1|·\f(1,|y1|))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝±1時(shí)等號(hào)成立.因此，|b＋c|的最小值為2.4.如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值為()A.8 B.9 C.12 D.16答案D解析由已知得eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋3yeq\o(CD,\s\up6(→))，∵E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，∴A，D，E三點(diǎn)共線，∴x＋3y＝1且x>0，y>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(3,y)))(x＋3y)＝10＋eq\f(3y,x)＋eq\f(3x,y)≥10＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(3x,y))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,4)時(shí)，等號(hào)成立.故eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值為16.5.(2024·銀川質(zhì)檢)如圖，在△ABC中，點(diǎn)O滿足eq\o(BO,\s\up6(→))＝2eq\o(OC,\s\up6(→))，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m2＋n2的最小值是()A.eq\f(9,5) B.2 C.eq\r(2) D.eq\f(3\r(5),5)答案A解析因?yàn)閑q\o(BO,\s\up6(→))＝2eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(2n,3)eq\o(AN,\s\up6(→))，又M，O，N三點(diǎn)共線，所以eq\f(m,3)＋eq\f(2n,3)＝1，即m＋2n＝3.m2＋n2表示點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)(0，0)的距離的平方，又點(diǎn)(m，n)在直線m＋2n＝3上，且原點(diǎn)(0，0)到直線m＋2n＝3的距離d＝eq\f(|－3|,\r(12＋22))＝eq\f(3,\r(5))，所以m2＋n2≥d2＝eq\f(9,5).6.(2024·南通模擬)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，若向量c滿足|a＋b－2c|＝1，則|c|的取值范圍是()A.[1，2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\f(\r(3)＋1,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2)))答案D解析法一由題意可設(shè)a＝(0，1)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，則a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)，由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，化簡(jiǎn)可得(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)，該方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))為圓心，以eq\f(1,2)為半徑的圓，則|c|表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)的距離d＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，所以|c|＝eq\r(x2＋y2)的取值范圍是[d－r，d＋r]，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2))).法二由|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，得|a＋b|＝eq\r(5)，又||a＋b|－|2c||≤|a＋b－2c|＝1，即eq\r(5)－1≤|2c|≤eq\r(5)＋1，即|c|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，\f(\r(5)＋1,2))).7.在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值是()A.－eq\f(5,8) B.－eq\f(1,2) C.－eq\f(3,8) D.－eq\f(1,4)答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，y)，則A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－x，－y)＋(1－x，2－y)＝(1－2x，2－2y)，故(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(5,8)，所以當(dāng)x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,2)時(shí)，(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(PB,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(5,8).8.平面向量a，b滿足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，則a－b與a夾角最大值時(shí)，|a|＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.2eq\r(2) D.2eq\r(3)答案D解析因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b滿足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4b2－2a·b＋b2＝9，所以a·b＝eq\f(5,2)b2－eq\f(9,2)，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝4b2－eq\f(5,2)b2＋eq\f(9,2)＝eq\f(3,2)b2＋eq\f(9,2).由夾角公式，得cos〈a－b，a〉＝eq\f(（a－b）·a,|a－b||a|)＝eq\f(\f(3,2)b2＋\f(9,2),6|b|)＝eq\f(1,4)|b|＋eq\f(3,4|b|)≥eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)且僅當(dāng)\f(1,4)|b|＝\f(3,4|b|)，即|b|＝\r(3)時(shí)等號(hào)成立)).因?yàn)?≤〈a－b，a〉≤π，所以0≤〈a－b，a〉≤eq\f(π,6)，即|b|＝eq\r(3)時(shí)，〈a－b，a〉值最大為eq\f(π,6).此時(shí)|a|＝2|b|＝2eq\r(3).9.(2024·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知向量a＝(m，1)，b＝(4－n，2)，m>0，n>0，若a∥b，則eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值為________.答案eq\f(3,2)＋eq\r(2)解析∵a∥b，∴2m＝4－n，∴eq\f(1,4)(2m＋n)＝1，∴eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))·eq\f(1,4)(2m＋n)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(n,m)＋\f(8m,n)))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋2\r(\f(n,m)·\f(8m,n))))＝eq\f(3,2)＋eq\r(2).10.(2024·青島模擬)在△ABC中，D為AC上一點(diǎn)且滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，若P為BD上一點(diǎn)，且滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ為正實(shí)數(shù)，則λμ的最大值為________.答案eq\f(1,16)解析∵λ，μ為正實(shí)數(shù)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，故eq\o(AC,\s\up6(→))＝4eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋4μeq\o(AD,\s\up6(→))，又P，B，D三點(diǎn)共線，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝eq\f(1,4)·λ·4μ≤eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ＋4μ,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝eq\f(1,2)，μ＝eq\f(1,8)時(shí)取等號(hào)，故λμ的最大值為eq\f(1,16).11.(2024·晉中模擬)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為________.答案7解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2，0)，0≤b≤a，則2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7，3a－5b)，|2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(49＋（3a－5b）2)≥7，當(dāng)且僅當(dāng)b＝eq\f(3a,5)時(shí)取得最小值7.12.已知P是邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值為________.答案5解析取BC的中點(diǎn)O，∵△ABC為等邊三角形，∴AO⊥BC，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－2，0)，C(2，0)，A(0，2eq\r(3)).設(shè)P(x，y)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y－2eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－2eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(3))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4－6λ，2eq\r(3)λ－4eq\r(3))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4－6λ，,y＝2\r(3)λ－2\r(3)，))∴P(4－6λ，2eq\r(3)λ－2eq\r(3))，∴eq\o(PA,\s\up6(→))＝(6λ－4，4eq\r(3)－2eq\r(3)λ)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(6λ－2，2eq\r(3)－2eq\r(3)λ)，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝(6λ－4)(6λ－2)＋(4eq\r(3)－2eq\r(3)λ)·(2eq\r(3)－2eq\r(3)λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)λ＝eq\f(3,4)時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值為5.【B級(jí)能力提升】13.如圖，在△ABC中，D是線段BC上的一點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，過點(diǎn)D的直線分別交直線AB，AC于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ＞0，μ＞0)，則λ－eq\f(1,μ)的最小值是()A.2eq\r(3)－2 B.2eq\r(3)＋4 C.2eq\r(3)－4 D.2eq\r(3)＋2答案C解析由條件可得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ＞0，μ＞0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4λ)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(1,4μ)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M(jìn)，D，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(3,4λ)＋eq\f(1,4μ)＝1，∴eq\f(1,μ)＝4－eq\f(3,λ)，∵λ＞0，μ＞0，eq\f(1,μ)＝4－eq\f(3,λ)＞0，∴λ＞eq\f(3,4)，則λ－eq\f(1,μ)＝λ－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,λ)))＝λ＋eq\f(3,λ)－4≥2eq\r(3)－4，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝eq\f(3,λ)，即λ＝eq\r(3)時(shí)取等號(hào)，故λ－eq\f(1,μ)的最小值是2eq\r(3)－4.14.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn).已知點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)P(cosθ，sinθ)(θ∈R)，則向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))的夾角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))答案B解析根據(jù)題意，設(shè)向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))的夾角為α，點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)P(cosθ，sinθ)，則eq\o(AO,\s\up6(→))＝(2，0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(cosθ＋2，sinθ)，則|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(4cosθ＋5)，eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝2(cosθ＋2)＝2cosθ＋4，則cosα＝eq\f(\o(AO,\s\up6(→))·\o(AP,\s\up6(→)),|\o(AO,\s\up6(→))|·|\o(AP,\s\up6(→))|)＝eq\f(2cosθ＋4,2×\r(4cosθ＋5))＝eq\f(cosθ＋2,\r(4cosθ＋5))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4cosθ＋5)＋\f(3,\r(4cosθ＋5))))，又由eq\r(4cosθ＋5)≥1，則eq\r(4cosθ＋5)＋eq\f(3,\r(4cosθ＋5))≥2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)cosθ＝－eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，則cosα≥eq\f(\r(3),2)，又由0≤α≤π，故0≤α≤eq\f(π,6)，即向量eq\o(AO,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))的夾角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).15.(2024·濰坊模擬)已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))(t∈R)，若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部(不包含邊界)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))解析eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).如圖，在AB上取一點(diǎn)D，使得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，過點(diǎn)D作DP∥AC交BC于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE∥AD交AC于點(diǎn)E，由平面幾何知識(shí)易知eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，由向量加法的平行四邊形法則，得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，由圖可知，若點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部(不包含邊界)，則0<t<eq\f(2,3).16.(2024·天津部分學(xué)校聯(lián)考)如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝5，AD＝2DC＝4，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，則∠BAD＝________，E在線段BC上，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))的最小值為________.答案eq\f(π,3)eq\f(95,13)解析∵AB＝5，CD＝2，AB∥CD，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,5)\o(AB,\s\up6(→))))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－eq\f(2,5)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(3,5)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|cos∠BAD＝6－12cos∠BAD＝0，∴cos∠BAD＝eq\f(1,2)，又∠BAD∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴∠BAD＝eq\f(π,3).如圖，過D作DF⊥AB，垂足為F，以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))的方向分別為x，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(－2，0)，B(3，0)，D(0，2eq\r(3))，C(2，2eq\r(3))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，2eq\r(3))，設(shè)E(m，n)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－3＝－λ，,n＝2\r(3)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝3－λ，,n＝2\r(3)λ，))∴E(3－λ，2eq\r(3)λ)，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(5－λ，2eq\r(3)λ)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(3－λ，2eq\r(3)λ－2eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(5－λ)(3－λ)＋2eq\r(3)λ(2eq\r(3)λ－2eq\r(3))＝13λ2－20λ＋15＝13eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(10,13)))eq\s\up12(2)＋eq\f(95,13)，∴當(dāng)λ＝eq\f(10,13)時(shí)，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))取得最小值eq\f(95,13).考試要求1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.【知識(shí)梳理】1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.[常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更要考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.【診斷自測(cè)】1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)|a|與|b|是否相等和a，b的方向無關(guān).()(2)若a∥b，b∥c，則a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上.()(4)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)若b＝0，則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上.2.(多選)下列命題中，正確的是()A.若a與b都是單位向量，則a＝bB.直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量C.若用有向線段表示的向量eq\o(AM,\s\up6(→))與eq\o(AN,\s\up6(→))不相等，則點(diǎn)M與N不重合D.海拔、溫度、角度都不是向量答案CD解析A錯(cuò)誤，單位向量長(zhǎng)度相等，但是方向不確定；B錯(cuò)誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；C正確，由于向量起點(diǎn)相同，但長(zhǎng)度不相等或方向不同，所以終點(diǎn)不同；D正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.3.(必修二P16例8改編)已知a，b是兩個(gè)不共線向量，向量b－ta與eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共線，則實(shí)數(shù)t＝________.答案eq\f(1,3)解析由題意知，存在實(shí)數(shù)λ，使得b－ta＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－\f(3,2)b))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝－\f(1,2)λ，,\f(3,2)λ＝－1，))解得t＝eq\f(1,3).4.(必修二P14例6改編)在平行四邊形ABCD中，BC的中點(diǎn)為M，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq\o(AM,\s\up6(→))＝________.答案a＋eq\f(1,2)b解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b.考點(diǎn)一平面向量的概念例1(1)(多選)下列命題正確的有()A.方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線B.零向量是唯一沒有方向的向量C.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同D.“若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”?“四邊形ABCD是平行四邊形”答案AD解析方向相反的兩個(gè)非零向量必定平行，所以方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，故A正確；零向量是有方向的，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；A，B，C，D是不共線的點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，即模相等且方向相同，即平行四邊形ABCD對(duì)邊平行且相等，反之也成立，故D正確.(2)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件是()A.a＝－b B.a∥bC.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|答案C解析因?yàn)橄蛄縠q\f(a,|a|)的方向與向量a方向相同，向量eq\f(b,|b|)的方向與向量b方向相同，且eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)，所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D.當(dāng)a＝2b時(shí)，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)，故a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分條件.感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.(4)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是與a同方向的單位向量.訓(xùn)練1(1)下列命題中正確的是()A.向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長(zhǎng)度與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C.a與b同向，且|a|>|b|，則a>bD.兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，一定是共線向量答案A解析對(duì)于A，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))的長(zhǎng)度相等，方向相反，故A正確；對(duì)于B，向量a與b平行，且a或b為零向量時(shí)，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任意兩個(gè)向量都不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩個(gè)終點(diǎn)相同的向量，不一定是共線向量，故D錯(cuò)誤.(2)如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與eq\o(BC,\s\up6(→))相等的向量為()A.eq\o(BA,\s\up6(→)) B.eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\o(OD,\s\up6(→))答案D解析A，B選項(xiàng)均與eq\o(BC,\s\up6(→))方向不同，C選項(xiàng)與eq\o(BC,\s\up6(→))長(zhǎng)度不相等，D選項(xiàng)與eq\o(BC,\s\up6(→))方向相同，長(zhǎng)度相等.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算例2(1)(2024·太原模擬)在矩形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，線段AC和DE交于點(diǎn)F，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))答案D解析如圖，取CD的中點(diǎn)G，連接BG，交AC于點(diǎn)H.∵BE∥DG，BE＝DG，∴四邊形BEDG為平行四邊形，∴BG∥DE.又E為AB的中點(diǎn)，∴AF＝FH，同理可得CH＝FH，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))).∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).(2)(2024·安慶調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則eq\o(FE,\s\up6(→))＝()A.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(11,9)eq\o(AC,\s\up6(→))C.－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析由題圖得eq\o(FE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(CB,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(11,18)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,18)eq\o(AC,\s\up6(→)).感悟提升平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.訓(xùn)練2(1)(2024·南充診斷)如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(4,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up6(→))答案A解析因?yàn)閑q\o(BD,\s\up6(→))＝4eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝4(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以5eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋4eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)(2024·河南部分學(xué)校聯(lián)考)已知不共線向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝()A.2a－2b B.2a＋2bC.－2a－2b D.－2a＋2b答案D解析如圖，由eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為S，點(diǎn)S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N，可知AB是△SMN的中位線，所以eq\o(MN,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝2b－2a＝－2a＋2b.考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用例3(1)(2024·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)已知向量a，b不共線，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b.若c與d共線，則實(shí)數(shù)x的值為()A.1 B.－eq\f(1,2)C.1或－eq\f(1,2) D.－1或－eq\f(1,2)答案C解析因?yàn)閏與d共線，所以存在k∈R，使得d＝kc，即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb.因?yàn)橄蛄縜，b不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx＝1，,k＝2x－1，))整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝－eq\f(1,2)或x＝1.(2)(2024·濰坊調(diào)研)已知點(diǎn)M為△ABC中BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))，過點(diǎn)N的直線與AB，AC分別交于P，Q兩點(diǎn)，且設(shè)eq\o(AP,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為()A.5 B.6 C.9 D.10答案D解析根據(jù)題意，得eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,10)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,y)\o(AQ,\s\up6(→))))＝eq\f(1,10x)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,10y)eq\o(AQ,\s\up6(→)).∵P，N，Q三點(diǎn)共線，∴eq\f(1,10x)＋eq\f(1,10y)＝1，即eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝10.感悟提升利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.訓(xùn)練3(1)如圖，△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，AM與CN交于點(diǎn)D，eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4) C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)答案C解析在△ABC中，因?yàn)辄c(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，于是得eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3λ,4)eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(