/福建省廈門市2024_2025學(xué)年高二下冊第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（

）

A． B．C． D．2．?dāng)?shù)列中，，，則的值為（

）A． B． C．5 D．3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（

）A． B． C． D．4．用0，1，2，3，4五個數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有（

）A．48個 B．60個 C．72個 D．120個5．已知雙曲線的兩焦點分別為、，過右焦點作直線交右支于、點，且，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．6．若對任意的正實數(shù)，，當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍（

）A． B． C． D．7．已知拋物線的焦點為為拋物線上的兩點，滿足，線段的中點為到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知對任意的正數(shù)，不等式恒成立，則正數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．1二、多選題（本大題共3小題）9．在8件產(chǎn)品中，有2件次品，若從中任取3件，則下列結(jié)論錯誤的有（）A．“其中恰有2件次品”的取法有6種 B．“其中恰有1件次品”的取法有15種C．“其中沒有次品”的取法有20種 D．“其中至少有1件次品”的取法有30種10．如圖，菱形的邊長為2，，為邊的中點，將沿折起，折疊后點的對應(yīng)點為，使得平面平面，連接，，則下列說法正確的是（

）A．點到平面的距離為B．與所成角的余弦值為C．三棱錐的外接球的體積為D．直線與平面所成角的正弦值為11．小明熱愛數(shù)學(xué)，《九章算術(shù)》《幾何原本》《數(shù)學(xué)家的眼光》《奧賽經(jīng)典》《高等數(shù)學(xué)》都是他的案頭讀物．一日，正翻閱《高等數(shù)學(xué)》，一條關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)映入他的眼簾：函數(shù)在區(qū)間有定義，且對，，，若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格下凸”；若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格上凸”．現(xiàn)已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，下列說法正確的是（

）注：為自然對數(shù)的底數(shù)，，．A．有最小值，且最小值為整數(shù)B．存在常數(shù)，使得在“嚴(yán)格下凸”，在“嚴(yán)格上凸”C．恰有兩個極值點D．恰有三個零點三、填空題（本大題共3小題）12．動直線與一點．當(dāng)點到直線的距離最大時，直線的方程為．13．過點且曲線相切的直線的方程為.14．已知函數(shù)，，用min{m，n}表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)，則當(dāng)h(x)恰有一個零點時，實數(shù)a的取值范圍為四、解答題（本大題共5小題）15．在等比數(shù)列中，公比，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若，求的取值集合．16．六本不同的書，按下列要求各有多少種不同的分法？(1)分為三份，一份四本，一份一本，一份一本；(2)分給甲、乙、丙三人，甲得四本，乙得一本，丙得一本；(3)分給甲、乙、丙三人，一人得四本，另外兩個人每個人得一本；(4)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．17．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，M是線段的中點．(1)求證：平面；(2)若，求二面角的大??；(3)若線段上總存在一點P，使得，求t的最大值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，，，為一個動點，且直線，的斜率之積為，設(shè)動點的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)已知，，點是上的一點，設(shè)為的重心，過點作垂直于軸的直線，求被分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍．19．設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，若在存在，使得不等式成立，求的最小值.(2)若存在且，使得，求實數(shù)的取值范圍.（參考數(shù)據(jù)）

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，即為的中點，所以，因為，所以，.故選C.2．【正確答案】D【詳解】在數(shù)列中，，則，因此數(shù)列是周期數(shù)列且周期為3，由，得，所以.故選D.3．【正確答案】B【詳解】由可得，令可得，即.故選B.4．【正確答案】B【詳解】若五位數(shù)的個位為零，其余數(shù)位隨意安排，其情況數(shù)為，若五位數(shù)的個位不為零，而個位僅有兩種選擇，萬位有種選擇，其情況數(shù)為，所以五位數(shù)為偶數(shù)的情況數(shù)為.故選B.5．【正確答案】D【詳解】令，由，得，，由雙曲線定義，，在中，，由余弦定理可得，得，整理得，解得，所以，，．在由余弦定理，得，整理得，則．故選D.6．【正確答案】A【詳解】，又，所以，所以，由已知對任意的，，且時，，設(shè)，則在上為減函數(shù)，因為，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，所以的取值范圍為．故選A．7．【正確答案】C【詳解】設(shè)，過點A，B分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則，如圖，因為點M為線段的中點，所以點M到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，在中，因為，，所以，又，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以，即的最大值為．故選C．8．【正確答案】A【詳解】由對恒成立，且，即恒成立，即恒成立，設(shè)，則，因為，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由恒成立，可以轉(zhuǎn)化為恒成立，即對恒成立，即對恒成立，即.設(shè)，，則，令，即；令，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選.9．【正確答案】BD【詳解】抽到的3件產(chǎn)品中恰好有2件次品的取法有=6（種），A正確；抽到的3件產(chǎn)品中恰好有1件次品的取法有=30（種），B錯誤；抽到的3件產(chǎn)品中沒有次品的取法有=20（種），C正確；抽到的3件產(chǎn)品中至少有1件次品的取法有+=36（種），D錯誤.故選BD.10．【正確答案】ABD【詳解】因為菱形中，為的中點，所以，即將沿折起后，，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，則，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，B1,0,0，，，，，，.對于A，設(shè)平面的法向量為，則取，得，所以點到平面的距離為，A正確；對于B，與所成角的余弦值為，B正確；對于C，取的中點為，則，所以為三棱錐的外接球球心，，C錯誤；對于D，設(shè)直線與平面所成的角為，則，D正確.故選ABD.【方法總結(jié)】求直線與平面所成角的方法(1)定義法：①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角．(2)向量法：sinθ＝|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→），n〉|＝(其中eq\o(AB,\s\up6(→）為平面α的斜線AB的方向向量，n為平面α的法向量，θ為斜線AB與平面α所成的角)．11．【正確答案】ACD【分析】對于A，求導(dǎo)后將看成一個整體，利用進(jìn)行放縮即可；對于B,將“嚴(yán)格上凸”和“嚴(yán)格下凸”轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，二次求導(dǎo)后即可判斷；對于C，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可判斷；對于D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點零點存在定理，即可判斷；【詳解】，，設(shè)，易得：，所以，當(dāng)時，等號成立，故A對;，，，若恒有，等價于切線一直在割線下方，即單調(diào)遞增.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格下凸”；，，，若恒有，等價于切線一直在割線上方，即單調(diào)遞減.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格上凸”.設(shè)，，易得在為增函數(shù).，，所以存在常數(shù)，，使得在上，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減,在“嚴(yán)格上凸”；在上，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增,在“嚴(yán)格下凸”.故B錯誤；由B知，在上單調(diào)遞減,在上，單調(diào)遞增，，，所以恰有兩個極值點，故C正確；由C知，恰有兩個極值點，設(shè)為，，且，所以在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在各有一個零點，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】直線方程變形為：，由解的：，即直線過定點，當(dāng)直線與直線垂直時，點到直線的距離最大，又此時，則，則直線的方程為，即.13．【正確答案】或【詳解】設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)得，則切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，因為切線過點，則有，整理可得，即，當(dāng)時，切線斜率為，切線方程為，即；當(dāng)時，切線斜率為，切線方程為，即.14．【正確答案】或【詳解】因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，又在上單調(diào)遞減，且，因為恰有一個零點，如圖:所以或，即或，解得或15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由，可得，又由，得①，由，可得，則，即②，由①②解得（舍去），所以，所以等比數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）知，，則，所以，即，解得，又?jǐn)?shù)列中，所以的取值集合為．16．【正確答案】(1)15種(2)30種(3)90種(4)540種【詳解】（1）根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，分成三份有種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象，不妨記六本書分別為，若第一步取，第二步取，第三步取，該分法記為，則中還包括（）這1種分法，而這種分法與是同一種分法，故共有種分法．（2）這是“部分平均定向分配”問題．先分組，再分配，與順序有關(guān)．首先分成三份，為部分平均分組問題，共有種分法，然后分給三個人（甲定向）共有種分法．（3）方法一：先分組，再分配，與順序有關(guān)．先分成三份，為部分平均分組問題，共有種分法，然后分給三個人（不定向），共有種分法．方法二：有種分法．（4）可以分為三類：①將6分為“2，2，2”，有種分法；②將6分為“1，2，3”，有種分法；③將6分為“1，1，4”，有種分法．所以共有種分法．17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)的最大值為.【詳解】（1）法一：設(shè)，連結(jié)，，矩形中是線段的中點，是線段的中點，所以，，所以為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；法二：由題意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，面面，，面，所以面，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因為，，是線段的中點，則，，，，，，從而，，，，設(shè)面的法向量為，則由，可知，令，則，，從而面的一個法向量為，則，又平面，所以，從而面.（2）若，則，，面的一個法向量為，設(shè)面的法向量為，則，可知，令，則，，從而面的一個法向量為，設(shè)二面角的平面角為，因為為銳角，所以，所以二面角的大小為.（3）因為點在線段上，而，設(shè)，其中，則，從而，于是，而，由知，即，所以，解得，故的最大值為.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，因為直線，的斜率之積是，所以，化簡整理得，，所以的方程為．（2）記的坐標(biāo)為，，由橢圓對稱性，不妨設(shè)點在第一象限或軸正半軸上，即，，又，，所以直線的方程為．設(shè)與軸、分別交于點，，因為為的重心，所以，，的面積與的面積之比為．令，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，所以的值域是，所以，所以，根據(jù)對稱性，被直線分成的左、右兩個部分圖形面積之比的取值范圍是．19．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）若存在，使得不等式成立，則只需，由題意得，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故在處取得極小值，即，又，而，，因為，所以，構(gòu)造，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，則，即，得到，故，