第十一章全等三角形

11.1全等三角形

知識(shí)點(diǎn)一：全等形的概念

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形

知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形及其對(duì)應(yīng)元素的概念

1、能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.用“且〃表示，如AABC和ADEF全等，記作：AABCg

△DEF,讀作：三角形ABC全等于三角形DEF。

2、重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的用叫做對(duì)應(yīng)角.

知識(shí)點(diǎn)三：全等三角形的性質(zhì)

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

知識(shí)點(diǎn)四：找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法

1、公共邊是對(duì)應(yīng)邊，公共角是對(duì)應(yīng)角

2、對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角

3、對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角

4.最長(zhǎng)（最短）邊是對(duì)應(yīng)邊，最大（最?。┙鞘菍?duì)應(yīng)角

5、平行邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角

11.2三角形全等的判定

知識(shí)點(diǎn)一：邊邊邊

三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（SSS）

知識(shí)點(diǎn)二：邊角邊

兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（SAS）

知識(shí)點(diǎn)三：角邊角

兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（ASA）

知識(shí)點(diǎn)四：角角邊

兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.(AASJ

知識(shí)點(diǎn)五：斜邊、直角邊

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.(HL)

知識(shí)點(diǎn)六：三角形全等的條件的選用

附：

1.全等三角形的性質(zhì)：幾何表達(dá)式舉例：

(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；(如圖)(1)VAABC^AEFG

(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等如圖)AAB=EF...........

(2)VAABC^AEFG

AEAZA=ZE...........

八八

BCFG

2.全等三角形的判定：幾何表達(dá)式舉例：

“SAS〃"ASA〃“AAS〃"SSS〃"HL〃.(如圖)(1)AB=EF

AEZB=ZF

八八又??,BC=FG

4----------f----------------(1)(2)；?△ABCg△EFG

⑵........................

AE

KK(3)在RtAABC和RtAEFG

中

1—1—

AB=EF

又???AC=EG

(3)ARtAABC^RtAEFG

知識(shí)點(diǎn)七：證明文字表達(dá)的命題

幾何中證明文字表達(dá)的命題的一般步驟

⑴根據(jù)題意畫出圖形

⑵根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形寫出、求證。

⑶經(jīng)過分析，找出證明途徑。

(4)寫出證明過程。

11.3角平分線的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一：角平分線的作法

平分一個(gè)角的方法有很多，如度量法、折疊法，學(xué)了全等三角形的知識(shí)后還可以用尺規(guī)作圖的

方法來作。

知識(shí)點(diǎn)二：角平分線的性質(zhì)

在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

TOP平分NAOB,PM_LOA于M,PN_LOB于N,

APM=PN

知識(shí)點(diǎn)三：角平分線的判定

到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

VPM10ATM,P、_LOB于N,PM=PN

AOP平分NAOB

知識(shí)點(diǎn)四：三角形的角平分線的性質(zhì)

三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.

符號(hào)語(yǔ)言表示為：在aABC中，AD、BM、CN分別是NBAC、/ABC、NACB的平分線，那么AD、

BM、CN交于點(diǎn)O,且點(diǎn)。到三邊的距離。七、。尸、OG相等，即。E=OG=O卜.

第十二章軸對(duì)稱

12.1軸對(duì)稱

知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱圖形

如果一個(gè)圖形沿某一條直線折直，直線兩旁的局部能夠互相重合，?這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形,

這條直線就是它的對(duì)稱軸.

有的軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱釉不止條，如圓就有無數(shù)條對(duì)稱軸.

成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著由另一個(gè)圖形經(jīng)過軸對(duì)稱變換后得到.

知識(shí)點(diǎn)二：軸對(duì)稱變換的性質(zhì)

(1)經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣

(2)?經(jīng)過軸對(duì)稱變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn).

(3)連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分.

知識(shí)點(diǎn)三：作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形

(1)作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).

(2)按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.

幾何表達(dá)式舉例：

(1)VAABC、AEGF關(guān)

于MN軸對(duì)稱

工AABC絲AEGF

(2)VAABC>AEGF關(guān)

于MN軸對(duì)稱

AOA=OEMN±AE

知識(shí)點(diǎn)四：用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱

關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,-y)

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-X,y)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-x,-y)

關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對(duì)禰

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(y,x)

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y二-x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-y,-x)

關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對(duì)稱

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線x=m對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2m-x,yl：

點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,2n-y)；

12.3等腰三角形

知識(shí)點(diǎn)一：等腰三角形

有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.兩腰所夾的角叫

做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.

等腰三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三(1)VAABC是等腰三角

角形.（如圖）A形

A

AB=AC

(2)VAB=AC

BC???△ABC是等腰三角形

知識(shí)點(diǎn)二：等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角〃）

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.

特別的：（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.

（2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等.

等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等；（即等邊對(duì)等角）（如(1)VAB=AC

圖）AZB=ZC

（2）等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、底邊上的

高〃三線合一；（如圖）

AA(2)VAB=AC

△A

又「NBAD二NCAD

ABD=CD

Bc⑴BDc（2）AD±BC

知識(shí)點(diǎn)三：等腰三角形的判定定理

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角柱等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊“）.

特別的:

（I）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形.

（2）有兩邊上的角平分線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.

（3）有兩邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.

（4）有兩邊上的高線對(duì)應(yīng)相等的三角形是等腰三角形.

等腰三角形的判定定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角都相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)邊

也相等；（即等角對(duì)等邊）：如圖）

A

△

VZB=ZC

/.AB=AC

BC

知識(shí)點(diǎn)四：三角形按邊分類

［不等邊三角形

三角形底邊和腰不相等的等腰三角形

4等腰三角形《

等邊三角形（正三角形）

知識(shí)點(diǎn)五：利用“三角形奠基法〃作圖

根據(jù)條件先作出一個(gè)與所求圖形相關(guān)的三角形，然后再以這個(gè)圖形為根底，作出所求的三角形.

附：三角形角平分線、中線、高、內(nèi)角和、外角

1.三角形的角平分線定義：A幾何表達(dá)式舉例：

三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角\（1）平分/BAC

的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之AZBAD=ZCAD

間的線段叫做三角形的角平分線.BDc（2）VZBAD=ZCAD

（如圖）???AD是角平分線

2.三角形的中線定義：幾何表達(dá)式舉例：

在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)A（1）TAD是三角形的中線

邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.???BD=CD

（如圖）（2）BD=CD

BDc

AAD是三角形的中線

3.三角形的高線定義：幾何表達(dá)式舉例：

從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫A(1)TAD是△ABC的高

/

垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角，ZADB=90°

形的高線.(2)VZADB=90°

（如圖）???AD是AABC的高

※爾三角形的三邊關(guān)系定理：幾何表達(dá)式舉例：

三角形的兩邊之和大于第三邊，三角a(1)VAB+BOAC

?

形的兩邊之差小于第三邊如圖）z\??

(2)AB-BC<AC

Bc?.?

5.三角形的內(nèi)角和定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

⑴三角形的內(nèi)角和180°；(如圖)(1)VZA4-ZB+ZC=180?

(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余；(如圖)

(3)三角形的一個(gè)外向等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角(2)VZC=90°

的和；(如圖)???NA+NB=90°

派(4)三角形胸1個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰(3)VZACD=ZA+ZB

(4)VZACD>ZA

(1)(2)(3)(4)

知識(shí)點(diǎn)六：等邊三角形

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.

等邊三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有三條邊相等的三角形叫做等邊三A(1)VAABC是等邊三角形

角形.(如圖)???AB=BOAC

A(2)VAB=BC=AC

A△ABC是等邊三角形

知識(shí)點(diǎn)七：等邊三角形的性質(zhì)、判定方法

1、等邊二角形的二個(gè)內(nèi)角都相等，?并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60

2、三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

3、三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

4、有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

等邊三角形的各角都相等，并且都是60°.(如圖)幾何表達(dá)式舉例：

VAABC是等邊三角形

A.*.ZA=ZB=ZC=60°

△

(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(如圖)幾何表達(dá)式舉例：

(2)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；(如(1)VZA=ZB=ZC

卻???△ABC是等邊三角形

(2)VZA=60°

又

AATAB=AC

△△

A△ABC是等邊三角形

B°⑴B°⑵

知識(shí)點(diǎn)八：直角三角形的性質(zhì)

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于3（）。，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

（1）在直角三角形中，如果有一個(gè)角等于3（r,那么它幾何表達(dá)式舉例：

京斤對(duì)的直角邊是斜邊的一半如圖）(1)VZC=90°ZB=30

KAAC=2AB

cB⑴

知識(shí)點(diǎn)九：三角形中的邊角不等關(guān)系

（1）在一個(gè)三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對(duì)的角也不等，大邊所對(duì)的角較大.（簡(jiǎn)稱為:

大邊對(duì)大角）

（2）在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不等，那么它們所對(duì)的邊也不等，大角所對(duì)的邊較大.（簡(jiǎn)稱為:

大角對(duì)大邊）

附：添加輔助線口訣

幾何證明難不難，關(guān)鍵常在輔助線;

知中點(diǎn)、作中線，倍長(zhǎng)中線把線連.

線段垂直平分線,常向兩端來連線.

線段和差及倍分,延長(zhǎng)截取全等現(xiàn);

公共角、公共邊,隱含條件要挖掘;

平移對(duì)稱加旋轉(zhuǎn),全等圖形多變換.

角平分線取一點(diǎn),可向兩邊作垂線；也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱之后關(guān)系現(xiàn)；角平分線加平行，等腰三角形

來添；角平分線伴垂直，三線合一試試看。

第十三章實(shí)數(shù)

13.1平方根

知識(shí)點(diǎn)一：算術(shù)平方根的概念及表示

一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x?=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根,

a的算術(shù)平方根記為右，讀作根號(hào)a,a叫做被開方數(shù)。

提示：算術(shù)平方根&具有雙重非負(fù)性：①被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即a20：②算術(shù)平方根右本身是非

負(fù)數(shù)，即620也就是說，正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)：0的算術(shù)平方根是0：負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根。

例I求以下各數(shù)的算術(shù)平方根

(1)16(2)2.25(3)(-2.8)2

知識(shí)點(diǎn)二：平方根

⑴平方根的定義

如果?個(gè)數(shù)x的平方等于a,即十二a,那么這個(gè)數(shù)x叫做a的平方根，也叫做二次方根。例如，因?yàn)?土

5產(chǎn)=25,所以5和一5叫做25的平方根。

⑵平方根的表示

一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，用符號(hào)痣表示，a叫做被開方數(shù)，2叫做根指數(shù)，正數(shù)a的負(fù)的平方根用符

號(hào)一指表示，這兩個(gè)平方根連起來可以記作土布。這里，符號(hào)爽讀作二次根號(hào)。板讀作二次根號(hào)

a。根指數(shù)2通常省略不寫，如也記作讀作根號(hào)a,土協(xié)記作土讀作正負(fù)根號(hào)a。

⑶平方根的性質(zhì)

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩根平方根互為相反數(shù)；。只有一個(gè)平方根，它是0的本身；負(fù)數(shù)沒有平方

根。

知識(shí)點(diǎn)三：平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系

1.平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別

⑴定義不同：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根；數(shù)a的非負(fù)數(shù)平方根叫做a的

算術(shù)平方根。

⑵個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，而一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)。

⑶表示方法不同：正數(shù)a的平方根表示為土右，正數(shù)a的算術(shù)平方根為右；

⑷取值范圍不同：正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)；正數(shù)的平方根那么是一正一負(fù)，且兩數(shù)互為相反數(shù)。

2.平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系

⑴二者有著包含關(guān)系：平方根中包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中非負(fù)的那一個(gè)。

⑵存在的條件相同：非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根。

⑶0的平方根和算術(shù)平方根都是0.

13.2立方根

知識(shí)點(diǎn)一：立方根的概念

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)就叫做a的立方根或三次方根，記為折。其中a是

被開方數(shù)，3是根指數(shù)，符號(hào)表讀作三次根號(hào)。

知識(shí)點(diǎn)二：立方根的性質(zhì)

1.正數(shù)的立方根是正數(shù)。

2.復(fù)述的立方根是負(fù)數(shù)。

3.（）的立方根是0.

知識(shí)點(diǎn)三：開立方

求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方，開立方和立方也互為逆運(yùn)算，我們可以根據(jù)這種關(guān)系求一

個(gè)數(shù)的立方根或檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否是某個(gè)數(shù)的立方根。

提示：開立方時(shí)，被開方數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、0.另外當(dāng)求一個(gè)帶分?jǐn)?shù)的立方根時(shí)，首先要把帶分

數(shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后再求它的立方根。

知識(shí)點(diǎn)四：兩個(gè)重要公式

（i/a）3=a=a

知識(shí)點(diǎn)五：立方根與平方根的異同

1.定義不同：如果x?=a,那么x叫做a的平方根；如果x3=a,那么x叫做a的立方根

2?個(gè)數(shù)不同：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，他們互為相反數(shù)；負(fù)數(shù)沒有平方根。而一個(gè)正數(shù)的立方根

只有一個(gè)，且為正數(shù)；一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根也只有一個(gè)，且為負(fù)數(shù)。

3.表示方法不同：非負(fù)數(shù)a的平方根記作土右，數(shù)a的立方根記作無，表示平方根時(shí)，根指數(shù)

“2〃，一般省略不寫，而表示立方根時(shí)，根指數(shù)“3”絕對(duì)不能省略。

4.被開方數(shù)的取值范圍不同：平方根土右中，被開方數(shù)a的取值范圍是非負(fù)數(shù)，即a與0；立方根

而中，被開方數(shù)a的取值范圍是任意數(shù)。

5.逆運(yùn)算關(guān)系：平方與開平方互為逆運(yùn)算，立方與開立方互為逆運(yùn)算。

13.3實(shí)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：無理數(shù)的概念

定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

提示：⑴所有開不盡方的數(shù)都是無理數(shù)，如血、百、-蚯等。但要注意，并非帶根號(hào)的數(shù)就一定是

無理數(shù)，如"、癇等。

⑵圓周率萬(wàn)及一些含萬(wàn)的數(shù)都是無理數(shù)，如萬(wàn)、）+1等。

⑶不循環(huán)但有一定規(guī)律的無限小數(shù)是無理數(shù)，如1.（）10010001……等

知識(shí)點(diǎn)二：實(shí)數(shù)的定義及分類

定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)三：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

數(shù)軸：規(guī)定了、和的直線"I做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注童上述規(guī)定的三要素缺一個(gè)不可），

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。

數(shù)軸上任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)總大于這個(gè)點(diǎn)左邊的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)的相反數(shù)

實(shí)數(shù)的相反數(shù)的意義和有理數(shù)的相反數(shù)的意義是一樣的，只是符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，即實(shí)

數(shù)a的相反數(shù)是一a。假設(shè)實(shí)數(shù)a與b互為相反數(shù)，那么a+b=0；反之也成立。

2、絕對(duì)值；

絕對(duì)值的幾何定義

一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做a的絕對(duì)值，記作

絕對(duì)值的代數(shù)定義

⑴一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；⑵一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；（3）0的絕對(duì)值是0.

3.倒數(shù)

乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a-gWO）,就是

a

說a和,互為倒數(shù)，即a是'的倒數(shù)，,是2的倒數(shù)。

aaa

互為倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)；注意：。沒有倒數(shù)：假設(shè)aNO,那么“的倒數(shù)是工；倒數(shù)是本

a

身的數(shù)是±1;假設(shè)ab=l=a、b互為倒數(shù)；假設(shè)ab=T。a、b互為負(fù)倒數(shù).

注意：①0沒有倒數(shù)；

②求假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把

帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置；

③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。［求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì)）；

④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括Oo

知識(shí)點(diǎn)五：實(shí)數(shù)的運(yùn)算

實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：

1.先乘方，再乘除，最后加減：

2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)，中括號(hào)，大括號(hào)依次進(jìn)行。

知識(shí)點(diǎn)六：實(shí)數(shù)的大小比擬

1、對(duì)于數(shù)軸上的任意兩個(gè)點(diǎn)，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大。

2、正實(shí)數(shù)大于0,負(fù)實(shí)數(shù)小于0,兩個(gè)負(fù)數(shù)相比，絕對(duì)值大的反而小。

第十四章一次函數(shù)

14.1變量與函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：變量和常量

在一個(gè)變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量，我們稱之為變量，而數(shù)值始終保持不變的量，我們稱之為常

量。

知識(shí)點(diǎn)二：函數(shù)

一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量X與y,并且對(duì)于X的每一個(gè)確定的值，y都有唯一

確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當(dāng)x時(shí)），=人，那么人叫做當(dāng)

自變量的值為。時(shí)的函數(shù)值。

提示；⑴函數(shù)的定義中包括三個(gè)要素；①自變量的取值范圍；②兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③后一個(gè)變

量被唯一確定而形成的變化范隹

⑵函數(shù)不是數(shù)，函數(shù)的本質(zhì)是對(duì)應(yīng)，函數(shù)關(guān)系就是量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必須

是''對(duì)于X的每一個(gè)值，y都具有唯一的值與之對(duì)應(yīng)”。

知識(shí)點(diǎn)三：函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的等式就叫做函數(shù)關(guān)系式，也成為函數(shù)解析式。

知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)自變量的取值范圍

1.、用整式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

2、用分式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使分母不為0的一切實(shí)數(shù)。

3、用寄次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。

用偶次根式表示的函數(shù)，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的一切實(shí)數(shù)。

4、假設(shè)解析式由上述幾種形式綜合而成，須先求出各局部的取值范圍，然后再求其公共范闈，即為自

變量的取值范圍。

5、對(duì)于與實(shí)際問題有關(guān)系的，自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問題有意義

知識(shí)點(diǎn)五：函數(shù)的圖象

1、函數(shù)的圖像

一般來說，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)

平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象.

2、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；

第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)

應(yīng)的各點(diǎn)）；

第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。

知識(shí)點(diǎn)六：函數(shù)的表示方法

1、列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的

對(duì)應(yīng)規(guī)律。

2、解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中日變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些

實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

3、圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

14.2一次函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)一：正比例函數(shù)概念

一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k#0）的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)（proportionalfunction）,

其中k叫做比例系數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二：正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)

一般地，止比例函數(shù)y=kx:k是常數(shù)，kNOJ的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)和(1,k)的直線.我們禰它

為直線尸kx.當(dāng)k>0時(shí)，直線產(chǎn)kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大：當(dāng)k<0

時(shí)，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.

⑴解析式：y=kx(k是常數(shù)，kXO)

(2)必過點(diǎn)：(0,0)、(1,k)

⑶走向：k>0時(shí):圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時(shí)，圖像經(jīng)過二、四象限

⑷增減性：k〉0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小

⑸傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

知識(shí)點(diǎn)三：正比例函數(shù)解析式確實(shí)定一一待定系數(shù)法

1.設(shè)出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式y(tǒng)=kx(k#0)

2.把條件(一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo))代入解析式，得到關(guān)于k的一元一次方程

3.解方程，求出系數(shù)k

4.將k的值代回解析式

知識(shí)點(diǎn)四：一次函數(shù)概念

一般地，形如y=kx+b(k、b是常數(shù)，kHO)函數(shù)，叫做一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx,所

以正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)五：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過(0,b)和0)兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,

k

它可以看作由直線尸kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.(當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移)

(1)解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù),kwO)

(2)必過點(diǎn)：(0,b)和0)

k

(3)走向：k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限

b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限

k>a

<=直線經(jīng)過第一、二、三象限

b>0

k>()

=直線經(jīng)過第一、三、四象限

b<0

RV()

o直線經(jīng)過第一、二、四象限

/?>0

k<()

?一直線經(jīng)過第二、三、四象限

b<0

(4)增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.

(5)傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.

(6)圖像的平移：當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；

當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.

知識(shí)點(diǎn)六：確定一次函數(shù)解析式的方法

(1)根據(jù)條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)解析式；

(2)將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)解析式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程;

(3)解方程得出未知系數(shù)的值；

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)解析式中得出結(jié)果.

知識(shí)點(diǎn)七：直線y=kix+bi與y=k2x+b2的位置關(guān)系

(1)兩直線平行:k|=kz且b"

(2)兩直線相交：k.^k2

(3)兩直線重合：kkk?且bkb：

知識(shí)點(diǎn)八：一次函數(shù)建模

函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最正確方案、最正確策略等問題.建立一次函數(shù)模

型解決實(shí)際問題，就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，

從而利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題.

正比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象在賦予實(shí)際意義時(shí)，其圖象大多為線段或射線.這是因?yàn)樵趯?shí)

際問題中，自變量的取值范圍是有一定的限制條件的，即自變量必須使實(shí)際問題有意義.

從圖象中獲取的信息一般是：(1)從函數(shù)圖象的形狀判定函數(shù)的類型；

(2)從橫、縱軸的實(shí)際意義理解圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的實(shí)際意義.

解決含有多個(gè)變量的問題時(shí)，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中某個(gè)變量作為日變量，再根據(jù)問

題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù).

14.3用函數(shù)觀點(diǎn)看方程［組)與不等式

知識(shí)點(diǎn)一：一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=O(a,b為常數(shù)，a^O)的形式，所以解一元一次方程可以

轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變晟的值.從圖象上看，相當(dāng)于直線y=a:<+b確定它

與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.

知識(shí)點(diǎn)二：一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b〈O(a,b為常數(shù)，a#0)的形式，所以解一

元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大(小)于0時(shí)，求自變量的取值范圍.

知識(shí)點(diǎn)三：一次函數(shù)與二元一次方程組

(1)以二元一次方程ax+byk的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)丫=一2工+￡的圖象相同.

bb

(2)二元一次方程組十仇y=G的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)丫=-幺工+9"和

'a2x-\-b2y=c2々々

y=--x4——的圖象交點(diǎn).

h2b2

第十五章整式的乘除與因式分解

15.1整式的乘法

知識(shí)點(diǎn)一：同底數(shù)累的乘法

am?an=am+n(m>n為正整數(shù))

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

提示：(1)運(yùn)用同底數(shù)幕的乘法法則運(yùn)算必須滿足兩個(gè)條件：①底數(shù)相同；②乘法運(yùn)算。

12)同底數(shù)基的乘法法則中的a可以表示一個(gè)字母、一個(gè)數(shù)或一個(gè)多項(xiàng)式。

⑶同底數(shù)右的乘法可推廣到三個(gè)或三個(gè)以上的同底數(shù)上相乘,即am?an?ap=ara+n+p(m>

n、p為正整數(shù))

(4)當(dāng)指數(shù)為“I”時(shí)常常省略不寫，計(jì)算時(shí)不要將“1”忽略，忘記相加。

例1:計(jì)算以下各題

(Da3,a2(2)(-3)1?(-3)3(3)(a+b)2,(a+b)2(4)b?b2?b3

例2：計(jì)算以下各題

(1)-a3?(-a>2(2)(a—b)2(b—a>3(3)(a+b—c>2(c—b—a)

注意；⑴在進(jìn)行同底數(shù)幕的乘法運(yùn)算時(shí)，如果底數(shù)不同，先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為相同的底數(shù)，再按乘法法

那么進(jìn)行計(jì)算。

⑵一般根據(jù)公式(。一32”=僅一〃廣(a—b)2z=-3-4向(n是正整數(shù))來化為同底數(shù)的。

知識(shí)點(diǎn)二：某的乘方

(力丁=amn[m、n為正整數(shù))

哥的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

注意I⑴指數(shù)相乘是指幕的指數(shù)與乘方的指數(shù)相乘V

(2)底數(shù)中帶有負(fù)號(hào)時(shí)按有理數(shù)的乘方法則進(jìn)行化簡(jiǎn)。

⑶運(yùn)用幕的乘方法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)應(yīng)注意：①要注意符號(hào)的計(jì)算與處理；②切忌將暴的乘方與同底數(shù)

某相乘混肴。

例3：計(jì)算以下各題

322333

(1)(z)(2)(10)3⑶-(a2)(4)[(a-b)]

例4：計(jì)算以下各題

(1)-[(a-b)2J3(2)(X2)2?(X)3⑶(y3)2+(y2)3—2y.y3

知識(shí)點(diǎn)三：積的乘方

(ab)”=anbn行為正整數(shù))

積的乘方等于各因式乘方的積.

注意：(1)在進(jìn)行轅的運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)問題，尤其要注意系數(shù)為-1時(shí)的”?〃、括號(hào)里的“■”與

括號(hào)外的“-"區(qū)別

⑵注意按運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，先算積的乘方，再算基的乘方，最后算同底數(shù)昂的相乘。

例5：計(jì)算以下各題

⑴(?3xy?z/2)(-2ab2)2?(?2a2b)?⑶(3X102)3X(-103)2

(4)[3(m+n)2J3L-2(m+n)y]2

知識(shí)點(diǎn)四：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式

單項(xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相乘，作為枳的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，那

么連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

提示：①把它們的系數(shù)相乘，包括符號(hào)的計(jì)算；②同底數(shù)幕相乘③單獨(dú)字母的處埋，三局部的乘積作為

計(jì)算的結(jié)果

例6:計(jì)算以下各題

-3(-a2be)2,a(be)3—(-bac)3,(-abc)2

知識(shí)點(diǎn)五：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以多項(xiàng)式

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：

注意：⑴單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)時(shí)不要忽略各項(xiàng)的符號(hào)；

⑵單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，是用單項(xiàng)式乘遍多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，不能漏乘，特別是常數(shù)項(xiàng)為±1時(shí)，尤其

要細(xì)心；

⑶確定積的每一項(xiàng)的符號(hào)時(shí)，一要看多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)的符號(hào)，二要看單項(xiàng)式的符號(hào)。

⑷算出的結(jié)果如有同類項(xiàng)應(yīng)合并同類項(xiàng)。

例7計(jì)算以卜各題

（1）<-3ah><2a2b+ab—1）（2）x（x—2）—2x（x+1）—3K（x—5）

例8化簡(jiǎn)求值3x2(2x2—x+1)—x(3x3—4x2+2x)，其中x=-1

知識(shí)點(diǎn)六：多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加.

用式子表示(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

例9計(jì)算以"各題

(1)(a-2b)(5a+3b)(2)(2x3-3x2+1)(x3-x2-2)

15.2乘法公式

知識(shí)點(diǎn)一：平方差公式

(a+b)(a—b)=a2-b2

文字語(yǔ)言表達(dá)：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.

提示：⑴平方差公式的特征：左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，且這兩個(gè)二項(xiàng)式的一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互

為相反數(shù)；右邊是完全相同項(xiàng)的平方減去互為相反數(shù)項(xiàng)的平方；

⑵公式中的a、b可以是字母，也可以是數(shù)字，還可以是代數(shù)式；

⑶平方差公式主要有8種變化形式：

①位置變化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a—b)=a2—b2

②符號(hào)變化：(?a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)

③系數(shù)變化：(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2

?指數(shù)變化：(a?+b?)(a?—b?)=(a?)2—(b?)2=/一〃4

⑤增項(xiàng)變化：(a-h—c)(a—b+c)=(a-b)2—c2

⑥增因式變化：(a+b)(a—h)(-a—b)(-a+b)=(a2—b2)[(-a)2—h21=(a2—h2)

(a2—b2)=a4—2a2b2+b4

⑦連用公式變化：(a—b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4')=(a2—b2)(a2+b2)(a4+b4)=

(6f4—/?4)(4-Z?4)=6/X—Z?S

⑧逆用公式變化：a2—b2=(a+b)(a—b)

例1：計(jì)算

(1)(-x+y)(x+y)(2)(x—y—z)(x—y+z)(3)(x—y)(x+y)(x24-y2)

(4)2OO22-2OOO2(5)99X101

知識(shí)點(diǎn)二：完全平方公式

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2-2ab+b2

文字語(yǔ)言表達(dá)：兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個(gè)數(shù)的積的

2倍.

提示：⑴完全公式包括兩個(gè)：第1個(gè)稱為和的完全平方，第2個(gè)稱為差的完全平方

⑵兩個(gè)公式的共同點(diǎn)在于：左邊是相同的兩個(gè)項(xiàng)式相乘，右邊是一個(gè)三項(xiàng)式，首末兩項(xiàng)分別是左邊二

項(xiàng)式中的兩項(xiàng)的平方，中間項(xiàng)是二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，符號(hào)與左邊兩項(xiàng)之間的符號(hào)一致；

⑶右邊這種結(jié)構(gòu)的三項(xiàng)式成為完全平方；

“)公式變化；

?a2±2ab+b2=(a±b)2

②a2+b2=(a+b)2—2ab=(a—b)2+2ab

③(a-b)2=(a+b)2-4ab

④(a+b)2=(a—b)2+4ab

⑤(a+b)?+(a-b)2=2(a2+b2)

⑥(a+b)2.(a—b)2=4ab

c,(q+O、？(a-b>\

⑦ab=l—JI—J

⑧32+-^=(〃+二)2-2

a-cr

⑨a2+b2+c2+ab+ac+bc=—[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)21

2

⑩(a+b+c)2=a2+(b+c)2=a2+2a(b+c)+(b+c)2

例2：計(jì)算

(1)(3a+b)2(2)(—2+3a)2(3)(—2x—3y)2

立方差a3—b3=(a—b)(a24-ab+b1)

立方和....a3+b3=(a+b){a2—ab+b2}

15.3整式的除法

知識(shí)點(diǎn)一：耗的除法

般+1=am-n(a#0,m、n都是正整數(shù)，且m>都

同底數(shù)轅相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

注意：(1)底數(shù)a不能為0.假設(shè)a為零，除