專(zhuān)題5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象函數(shù)y＝sinxy＝cosx圖象圖象畫(huà)法五點(diǎn)法五點(diǎn)法關(guān)鍵五點(diǎn)(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)正(余)弦曲線正(余)弦函數(shù)的圖象叫做正(余)弦曲線知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的周期性1．函數(shù)的周期性一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．2．最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期．知識(shí)點(diǎn)三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)y＝sinxy＝cosx圖象定義域RR周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)四正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖象定義域RR值域[－1,1][－1,1]單調(diào)性在每一個(gè)閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上都單調(diào)遞減在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都單調(diào)遞增，在每一個(gè)閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都單調(diào)遞減最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，ymin＝－1知識(shí)點(diǎn)五正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)＝tanx圖象定義域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))值域R最小正周期π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在每一個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都單調(diào)遞增對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)用“五點(diǎn)法”作三角函數(shù)的圖象用“五點(diǎn)法”畫(huà)出的簡(jiǎn)圖．【解答】解：列表：002013531描點(diǎn)、連線得出函數(shù)的圖象：用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)，，的圖象．【解答】解：列表：0010021232畫(huà)圖：正弦、余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用不等式的解集是，．【解答】解：，，不等式的解集為，．故答案為：，．函數(shù)，，的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：將，，與的函數(shù)圖象繪制在同一直角坐標(biāo)系，如下所示：顯然，數(shù)形結(jié)合可知，只有1個(gè)交點(diǎn)．故選：．函數(shù)，，的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由得，當(dāng)，時(shí)，或，即方程有2個(gè)解，即兩條曲線的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：．三角函數(shù)的周期函數(shù)的周期是A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)的周期是，故選：．下列函數(shù)中最小正周期為的是A． B． C． D．【解答】解：中，令，，所以最小正周期為，所以正確；中，的最小正周期為，所以不正確；中，最小正周期為所以不正確；中，最小正周期為，所以不正確，故選：．的最小正周期是．【解答】解：的周期為．故答案為：．函數(shù)，的最小正周期為A． B． C． D．【解答】解：由正弦函數(shù)的周期公式可得．故選：．奇偶性函數(shù)，是A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù) C．最小正周期為的奇函數(shù) D．最小正周期為的偶函數(shù)【解答】解：由周期公式可得為奇函數(shù)故選：．對(duì)于函數(shù)，下面說(shuō)法中正確的是A．是最小正周期為的奇函數(shù) B．是最小正周期為的偶函數(shù) C．是最小正周期為的奇函數(shù) D．是最小正周期為的偶函數(shù)【解答】解：，，為偶函數(shù)，又其最小正周期，是最小正周期為的偶函數(shù)．故選：．下列函數(shù)中，周期為的偶函數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：，函數(shù)的周期為：．函數(shù)是偶函數(shù)，滿(mǎn)足題意．的周期為：．周期為：，是非奇非偶函數(shù)．是周期為的奇函數(shù)；故選：．函數(shù)，，和是函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸，且，時(shí)單調(diào)遞增，則函數(shù)的A．周期為2，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) B．周期為2，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) C．周期為4，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．周期為4，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)【解答】解：和是函數(shù)圖象相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸，函數(shù)的周期，且函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)．將的圖象向右平移一個(gè)單位，可得的圖象．直線是的圖象一條對(duì)稱(chēng)軸，是的圖象一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且關(guān)于對(duì)稱(chēng)．綜上所述，可得的周期為4，且圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．故選：．單調(diào)區(qū)間求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：對(duì)于函數(shù)，令，，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．令，，求得，可得函數(shù)的減區(qū)間為，，．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1），（2），【解答】解：（1），的圖象可由，的圖象向上平移一個(gè)單位可得，則的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，；（2），的圖象可由，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)得到，則的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，．下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減的是A． B． C． D．【解答】解：對(duì)于，將的圖象軸翻折到上方，可知周期，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，所以對(duì)；對(duì)于的周期，所以不對(duì)．對(duì)于的周期，在定義域內(nèi)都是單調(diào)遞增，所以不對(duì)；對(duì)于的周期，所以不對(duì)．故選：．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是A．， B．， C．， D．，【解答】解：的單調(diào)增區(qū)間，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．令，求得，，故函數(shù)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，故選：．比較三角函數(shù)值的大小，，，則、、的大小關(guān)系是．【解答】解：，，在，上單調(diào)遞增，，即．故答案為：．比較大?。海窘獯稹拷猓海?，且正弦函數(shù)在，單調(diào)增函數(shù)，，即．故答案為：，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【解答】解：余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，．故選：．正弦、余弦函數(shù)的值域求下列函數(shù)的值域；（1），，；（2）．【解答】解：（1），，，，，；（2）設(shè)，則，，，．求下列函數(shù)的值域：（1），（2），（3），（4），【解答】解：（1），，，則的值域?yàn)椋唬?），，則的值域?yàn)?，；?），，，；（4），，，．正切函數(shù)的奇偶性與周期性關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是A．是奇函數(shù) B．在區(qū)間上單調(diào)遞減 C．，為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 D．最小正周期為【解答】解：，令，則，函數(shù)不是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；，由得：，．在，上單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間，故錯(cuò)誤；，，故，為圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，即正確；，的周期，故錯(cuò)誤；綜上所述，說(shuō)法正確的是．故選：．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，下列敘述不正確的是A．的最小正周期為 B．是偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D．在每一個(gè)區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增【解答】解：對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)該函數(shù)的圖象知，其最小正周期為，錯(cuò)誤；又，所以是定義域上的偶函數(shù)，正確；根據(jù)函數(shù)的圖象知，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，正確；根據(jù)的圖象知，在每一個(gè)區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，正確．故選：．函數(shù)的最小正周期為．【解答】解：故答案為函數(shù)的最小正周期是2．【解答】解：函數(shù)故答案為：2函數(shù)的周期為2單調(diào)區(qū)間為．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)為，所以周期．因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間為，，所以，解得：，所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，．故答案為：2，，．求函數(shù)的定義域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性．【解答】解：函數(shù)，，解得，；所求的定義域?yàn)椋唬?分）值域?yàn)?，周期為，的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是非奇非偶的函數(shù)；（8分）令，，解得，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．（12分）正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A．，， B．，， C．，， D．，，【解答】解：對(duì)于函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，，故選：．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是A．， B．， C．， D．，【解答】解：由題意，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：．已知函數(shù)，點(diǎn)和是其相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意可得和是其相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心得，，又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，，則，為的對(duì)稱(chēng)中心，，，，．故選：．綜合應(yīng)用已知函數(shù)，若在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【解答】解：函數(shù)在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，可得，所以，又，所以，函數(shù)的零點(diǎn)為，即，若，則，所以，因?yàn)椋裕?，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上不存在零點(diǎn)，所以．故選：．若函數(shù)在，上的最小值小于零，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，，設(shè)，則，，作出函數(shù)的圖象如圖，由得，則或，則當(dāng)時(shí)的，第一個(gè)零點(diǎn)為，即當(dāng)時(shí)，，要使在，上的最小值小于0，則只需要，即可，得，得，的取值范圍為，．故選：．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）函數(shù)，故函數(shù)的最小正周期為．令，求得，可得的減區(qū)間為，，．（2）若，對(duì)任意恒成立，由，可得，，，，，．且，求得．一．選擇題（共8小題）1．科學(xué)研究已經(jīng)證實(shí)，人的智力，情緒和體力分別以33天、28天和23天為周期，按y＝sin（ωx+φ）進(jìn)行變化，記智力曲線為I，情緒曲線為E，體力曲線為P，且現(xiàn)在三條曲線都處于x軸的同一點(diǎn)處，那么第322天時(shí)（）A．智力曲線I處于最低點(diǎn) B．情緒曲線E與體力曲線P都處于上升期 C．智力曲線I與情緒曲線E相交 D．情緒曲線E與體力曲線P都關(guān)于（322，0）對(duì)稱(chēng)【解答】節(jié)：第322天時(shí)，322除以33余25，322除28余14，322除23余0，即智力曲線I位于2533周期處，情緒曲線E位于12周期處，體力曲線對(duì)于A，2533＞34，則智力曲線對(duì)于B，情緒曲線E處于最高點(diǎn)，即將開(kāi)始下降，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)n個(gè)周期后，因?yàn)橹芷诓煌?，所以智力曲線I與情緒曲線E不一定相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋?22，0）位于體力曲線P和情緒曲線E的交點(diǎn)，且在x軸上，故選項(xiàng)D正確．故選：D．2．函數(shù)y＝tanx2A．周期為π的奇函數(shù) B．周期為π2的奇函數(shù)C．周期為2π的奇函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù)【解答】解：函數(shù)y＝tanx2是奇函數(shù)，且它的周期為π12故選：C．3．已知函數(shù)y=2sin（x+π4），當(dāng)y取得最小值時(shí)，A．1 B．﹣1 C．32 D．【解答】解：函數(shù)y=2sin（x+π4），當(dāng)y取得最小值時(shí)，有x+π4=2kπ+3π2，故x＝2tan（2kπ+5π4）＝1．k∈故選：A．4．函數(shù)y＝sinx﹣sin|x|的值域是（）A．[﹣1，1] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，0]【解答】解：當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y＝sinx﹣sin|x|＝0，值域?yàn)閧0}．當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y＝sinx﹣sin|x|＝sinx+sinx＝2sinx∈[﹣2，2]，綜上可得，函數(shù)y＝sinx+sin|x|的值域是[﹣2，2]，故選：C．5．下列函數(shù)中同時(shí)具有性質(zhì)：①最小正周期是π，②圖象關(guān)于的(-5π12，0)A．y=sin(x2+π6C．y=cos(2x+π3) 【解答】解：選項(xiàng)A，最小正周期T=2π12選項(xiàng)B，最小正周期T=2π2令2x-π6∈[-π2+2kπ，π2+2kπ]，k∈Z，則x∈[-π6+kπ當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為[-π6，π選項(xiàng)C，最小正周期T=2π2令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，則x當(dāng)k＝﹣1時(shí)，函數(shù)y的對(duì)稱(chēng)中心為（-5π12，令2x+π3∈[2kπ，π+2kπ]，k∈Z，則x∈[-π6+kπ，π3+k當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間為[-π6，π3]選項(xiàng)D，最小正周期T=2π2令2x-π6=π2+kπ，k∈Z，則x所以函數(shù)y的對(duì)稱(chēng)中心為（π3+kπ2，0），k∈Z，顯然不包含點(diǎn)（故選：C．6．函數(shù)y=2sin(2x+π3)A．關(guān)于點(diǎn)（-π6，0）對(duì)稱(chēng) BC．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線x=π【解答】解：由于函數(shù)y=2sin(2x+π3)是非奇非偶函數(shù)，故排除B和又x=π6時(shí)，函數(shù)值不是最值，故排除對(duì)于函數(shù)y=2sin(2x+π3)，令2x+π3=kx=kπ2-π6，k∈z，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為（kπ2-故選：A．7．設(shè)函數(shù)f（x）＝cos（2x-πA．f（x）的一個(gè)周期為﹣π B．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=2π3C．f（x+π2）的一個(gè)零點(diǎn)為xD．f（x）在區(qū)間[π3，【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A、f（x）＝cos（2x-π3），其周期T=2π2對(duì)于B、f（x）＝cos（2x-π3），令2x-π3=kπ，解可得x=kπ2+π6，即y＝f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ2+π6，當(dāng)k＝1時(shí)，x對(duì)于C、f（x+π2）＝cos（2x+π-π3）＝cos（2x+2π3），當(dāng)x=-π3時(shí)，f（x+π2）＝cos0＝1對(duì)于D、f（x）＝cos（2x-π3），2kπ≤2x-π3≤2kπ+π，解可得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，即函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為則函數(shù)在[π6，2π3]上遞減，又由[π3，π2]∈[π6，2π3]，則f（故選：C．8．在下列四個(gè)函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(πA．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．y=cos【解答】解：對(duì)于A：y＝|sinx|，將y＝sinx在x軸下方的圖象翻折到上方，可知最小正周期T＝π，在區(qū)間（π2，π）上單調(diào)遞減，故A對(duì)于B：y＝cosx的最小正周期T＝2π，故B不符合題意；對(duì)于C：y＝tanx的最小正周期T＝π，且在區(qū)間(π2，對(duì)于D：y＝cosx2的最小正周期T=2π12=故選：C．二．填空題（共4小題）9．給出下列命題：①函數(shù)y＝sin|x|不是周期函數(shù)；②函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)為增函數(shù)；③函數(shù)y＝|cos2x+12|的最小正周期為④函數(shù)y＝4sin（2x+π3），x∈R的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（-π其中正確命題的序號(hào)為①④．【解答】解：①函數(shù)y＝sin|x|不是周期函數(shù)；它是偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，正確；②函數(shù)y＝tanx在定義域內(nèi)為增函數(shù)；在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間是增函數(shù)，定義域內(nèi)不是增函數(shù)．③函數(shù)y＝|cos2x+12|的最小正周期為π2④函數(shù)y＝4sin（2x+π3），x∈R的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（-π6，0）．把（故選①④10．已知函數(shù)f(x)=2tan(aπx+π6)(a＞0)的最小正周期是3．則a＝13，f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（32【解答】解：函數(shù)f(x)=2tan(aπx+π6)(a＞則3=πaπ，得a所以函數(shù)f（x）＝2tan（13由13πx+π6=得x=3故對(duì)稱(chēng)中心為（32k-12，011．函數(shù)y＝5sin（π5x+π5）（﹣15≤x≤10）的圖象與函數(shù)y=5x+1圖象【解答】解：函數(shù)y＝5sin（π5x+π5）的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y=5x+1