專題06計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)4.隨機(jī)變量及其分布【高考真題】1．（2021·全國=1\*ROMANI卷）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立【答案】B【詳解】，故選：B2．（2021·全國=2\*ROMANII卷）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．越小，該物理量在一次測量中在的概率越大B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等【答案】D【詳解】對于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；對于C，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.3．（2018·全國=3\*ROMANIII卷理數(shù)）某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B【詳解】判斷出為二項(xiàng)分布，利用公式進(jìn)行計(jì)算即可．或，,可知故答案選B.4．（2019·全國=1\*ROMANI卷理數(shù)）甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是____________．【答案】0.18【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時(shí)，甲隊(duì)以獲勝的概率是綜上所述，甲隊(duì)以獲勝的概率是5．（2021·全國=1\*ROMANI卷）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)椋孕∶鲬?yīng)選擇先回答類問題．6．（2021·全國=2\*ROMANII卷）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．【詳解】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.7．（2020·全國=1\*ROMANI卷理數(shù)）甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【詳解】（1）記事件甲連勝四場，則；（2）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為，所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為；（3）記事件為甲輸，事件為乙輸，事件為丙輸，記事件甲贏，記事件丙贏，則甲贏的基本事件包括：、、、、、、、，所以，甲贏的概率為.由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等，所以丙贏的概率為.8．（2019·全國=1\*ROMANI卷理數(shù)）為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．【詳解】（1）由題意可知所有可能的取值為：，，；；則的分布列如下：（2），，，（i）即整理可得：

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（ii）由（i）知：，，……，作和可得：表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.9．（2019·全國=2\*ROMANII卷理數(shù)）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.【詳解】(1)由題意可知，所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”所以(2)由題意可知，包含的事件為“前兩球甲乙各得分，后兩球均為甲得分”所以10．（2018·全國=1\*ROMANI卷理數(shù)）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)；（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費(fèi)用．（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【詳解】（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為；（2）由（1）知，.（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).11．（2017·全國=3\*ROMANIII卷理數(shù)）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n(單位:瓶)為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?【詳解】（1）由題意知，所有的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知的分布列為2003005000.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當(dāng)時(shí)，若最高氣溫不低于25，則2n；若最高氣溫位于區(qū)間，則12002n；若最高氣溫低于20，則=8002n因此當(dāng)00時(shí)，若最高氣溫不低于20，則2n，若最高氣溫低于20，則=8002n，因此160+1.2n所以時(shí)，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．12．（2016·全國=1\*ROMANI卷理數(shù)）某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰，機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)．（1）求X的分布列；（2）若要求，確定n的最小值；（3）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？【詳解】（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0．2，0．4，0．2，0．2，從而；；；；；；．所以的分布列為16171819202122（2）由（1）知，，故的最小值為19．（3）購買零件所用費(fèi)用含兩部分，一部分為購買零件的費(fèi)用，另一部分為備件不足時(shí)額外購買的費(fèi)用.當(dāng)n=19時(shí)，費(fèi)用的期望為：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040；當(dāng)n=20時(shí)，費(fèi)用的期望為：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080.可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列13．（2016·全國=2\*ROMANII卷理數(shù)）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234保費(fèi)設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故（Ⅱ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故又，故因此所求概率為（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為【名師點(diǎn)睛】條件概率的求法：（1）定義法：先求P（A）和P（AB），再由P（B|A）＝，求出P（B|A）；（2）基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n（AB），得P（B|A）＝.【基礎(chǔ)知識】1．相互獨(dú)立事件(1)概念：對任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．2．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．(2)兩個(gè)公式①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P(B)＝，我們稱這個(gè)公式為全概率公式．4．離散型隨機(jī)變量一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)w，都有唯一的實(shí)數(shù)X(w)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．5．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列．6．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.7．離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝為隨機(jī)變量X的方差，并稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．8．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．★★求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個(gè)值的概率．(3)寫出ξ的分布列．(4)由均值的定義求E(ξ)．(5)由方差的定義求D(ξ)．9．伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．10．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．11．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．12．超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．13．正態(tài)分布定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中，μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．14．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．15．3σ原則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.16．正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.???解決正態(tài)分布問題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對稱軸x＝μ；(2)標(biāo)準(zhǔn)差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.【題型方法】一、條件概率1．已知n是一個(gè)三位正整數(shù)，若n的十位數(shù)字大于個(gè)位數(shù)字，百位數(shù)字大于十位數(shù)字，則稱n為三位遞增數(shù).已知，設(shè)事件A為“由a，b，c組成三位正整數(shù)(數(shù)字可重復(fù))”，事件B為“由a，b，c組成的三位正整數(shù)為遞增數(shù)”則(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題可知n(A)＝4×5×5＝100，由a，b，c組成的三位正整數(shù)為遞增數(shù)，則：若該三位數(shù)個(gè)位是0，則百位和十位從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)按大小排列即可，共種可能；若該三位數(shù)個(gè)位是1，則百位和十位從2，3，4三個(gè)數(shù)字中任選兩個(gè)按大小排列即可，共種可能；若該三位數(shù)個(gè)位是2，則百位為4，十位為3，共1種可能；故n(AB)＝6＋3＋1＝10，故.故選：B.2．某班級在一次數(shù)學(xué)知識競賽答題活動中，一名選手從2道數(shù)學(xué)文化題和3道作圖題中不放回的依次抽取2道題，在第一次抽到作圖題的前提下第二次抽到作圖題的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】記“第一次抽到作圖題”為事件，記“第二次抽到作圖題”為事件，，所以.故選：B.3．將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)條件概率的含義，其含義為在發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率，即在“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的情況下，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的概率，因?yàn)?，，所以．故選：B4．某項(xiàng)射擊試驗(yàn)中，某人首射中靶的概率為0.6，若前一次中靶，則后一次中靶的概率為0.9，若前一次不中靶，則后一次中靶的概率仍為0.6.若此人射擊二次，則該人第二次中靶的條件下，第一次中靶的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)第一次中靶為事件A，第二次中靶為事件B，則，，則.故選：B.5．某學(xué)校安排音樂?閱讀?體育和編程四項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加，甲?乙?丙?丁4位同學(xué)每人限報(bào)其中一項(xiàng).已知甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào)的情況下，4位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同的概率等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)甲同學(xué)報(bào)的項(xiàng)目其他同學(xué)不報(bào),4位同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同,由題得,,所以.故選：C6．一個(gè)袋中裝有大小相同的3個(gè)白球和3個(gè)黑球，若不放回地依次任取兩個(gè)球，設(shè)事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，則在發(fā)生的條件下發(fā)生的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)事件為“第一次取出白球”，事件為“第二次取出黑球”，，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率為：.故選：D.二、獨(dú)立事件的乘法公式1．若，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，又，，所以，則與相互獨(dú)立；因?yàn)?，所以事件與顯然不對立，無法確定事件與是否互斥；故選：C2．隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運(yùn)動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（

）A．A與B為對立事件 B．A與C互斥C．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【答案】C【詳解】依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形①有一門相同，②兩門都相同，③兩門都不相同；故與互斥不對立，與不互斥，所以，，且，，所以，，即與相互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立.故選：C3．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化，每一卦由六爻組成，其中有一種起卦方法稱為“金錢起卦法”，其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復(fù)六次，得到六爻．若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻．若每一枚錢幣正面向上的概率為，則一卦中恰有四個(gè)變爻的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知可得三枚錢幣全部正面或反面向上的概率，求一卦中恰有四個(gè)變爻的概率實(shí)際為求六次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生四次的概率，故選：D.4．從甲地開車到乙地共有，，三條路線可走，路線堵車的概率為0.06，路線堵車的概率為0.09，路線堵車的概率為0.12，且三條路線是否堵車相互獨(dú)立，若小李從這三條路線中隨機(jī)選一條，則堵車的概率為（

）A．0.06 B．0.09 C．0.12 D．0.27【答案】B【詳解】因?yàn)槁肪€是隨機(jī)選的，所以選擇每條路線的概率都是．選擇走路線且堵車的概率為，選擇走路線且堵車的概率為，選擇走路線且堵車的概率為，所以堵車的概率為．故選：B5．有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一型號的產(chǎn)品，甲廠生產(chǎn)的次品率為5%，乙廠生產(chǎn)的次品率為10%，丙廠生產(chǎn)的次品率為15%，生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起．已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的50%、20%、30%，任取一件產(chǎn)品，則取得產(chǎn)品為次品的概率是（

）A．0.08 B．0.09 C．0.10 D．0.11【答案】B【詳解】因?yàn)榧讖S生產(chǎn)的次品率為5%，乙廠生產(chǎn)的次品率為10%，丙廠生產(chǎn)的次品率為15%，甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的50%、20%、30%，所以任取一件產(chǎn)品，則取得產(chǎn)品為次品的概率是，故選：B6．已知事件和相互獨(dú)立，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意可得.故選：B.三、二項(xiàng)分布1．從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)已知某用戶從該企業(yè)購買了3件該產(chǎn)品，用X表示這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)，用頻率代替概率，求X的分布列.【詳解】(1)由已知得：.(2)因?yàn)橘徺I一件產(chǎn)品，其質(zhì)量指標(biāo)值位于內(nèi)的概率為0.2，所以，所以.，，，，所以X的分布列為X0123P0.5120.3840.0960.0082．某大學(xué)2021屆畢業(yè)生共10000人，該校于6月份發(fā)布了2021年度畢業(yè)生就業(yè)與深造質(zhì)量報(bào)告.如下表所示：東部地區(qū)西部地區(qū)中部地區(qū)總計(jì)國有單位142097110743465民營企業(yè)1651110813994158深造學(xué)習(xí)8896936952277總計(jì)396027723168M(1)請根據(jù)上表求出M與該校2021屆學(xué)生的就業(yè)率（深造學(xué)習(xí)不屬于就業(yè)范疇）；(2)該校2022屆預(yù)計(jì)有畢業(yè)生12000人，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計(jì)其中有多少人會在民營企業(yè)工作；(3)若在前往西部地區(qū)工作的人當(dāng)中隨機(jī)抽取3人，記其中繼續(xù)深造學(xué)習(xí)的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)通過表格可知M=3960+2772+3168=3465+4158+2277=9900，因此該校2021屆學(xué)生的就業(yè)率為.(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，2021屆畢業(yè)生在民營企業(yè)工作的頻率為，，因此2022屆畢業(yè)生中預(yù)計(jì)有4990人在民營企業(yè)工作.(3)在前往西部地區(qū)工作的人中，繼續(xù)深造學(xué)習(xí)的概率為，因此，則，，，，故X的分布列為X0123P故.3．“大湖名城，創(chuàng)新高地”的合肥，歷史文化積淀深厚，民俗和人文景觀豐富，科教資源眾多，自然風(fēng)光秀美，成為中小學(xué)生“研學(xué)游”的理想之地．為了將來更好地推進(jìn)“研學(xué)游”項(xiàng)目，某旅游學(xué)校一位學(xué)生在某旅行社實(shí)習(xí)期間，把“研學(xué)游”項(xiàng)目分為科技體驗(yàn)游、民俗人文游、自然風(fēng)光游三種類型，并在該旅行社前幾年接待的全省高一學(xué)生“研學(xué)游”學(xué)校中，隨機(jī)抽取了100所學(xué)校，統(tǒng)計(jì)如下：研學(xué)游類型科技體驗(yàn)游民俗人文游自然風(fēng)光游學(xué)校數(shù)404020該實(shí)習(xí)生在省內(nèi)有意向明年組織高一“研學(xué)游”的學(xué)校中，隨機(jī)抽取了3所學(xué)校，并以統(tǒng)計(jì)的頻率代替學(xué)校選擇研學(xué)游類型的概率（假設(shè)每所學(xué)校在選擇研學(xué)游類型時(shí)僅選擇其中一類，且不受其他學(xué)校選擇結(jié)果的影響）．設(shè)這3所學(xué)校中，選擇“科技體驗(yàn)游”的學(xué)校數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【詳解】依題意知學(xué)校選擇“科技體驗(yàn)游”的概率為，選擇“民俗人文游”的概率為，選擇“自然風(fēng)光游”的概率為．X可能的取值為0，1，2，3．則，，，．X的分布列為X0123P解法一：．解法二：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以．4．從2016年1月1日起全國統(tǒng)一實(shí)施全面兩孩政策．為了解適齡民眾對放開生二胎政策的態(tài)度，某市選取70后作為調(diào)查對象，隨機(jī)調(diào)查了8人，其中打算生二胎的有3人，不打算生二胎的有5人．(1)從這8人中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若以這8人的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該市的總體數(shù)據(jù)，且以頻率作為概率，從該市70后中隨機(jī)抽取3人，記打算生二胎的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)由題意知，的值為0,1,2,3.

，

，，

.

∴的分布列為:0123．(2)由題意可知，全市70后打算生二胎的概率為P=，=0,1,2,3.且..

的分布列為：0123．四、超幾何分布1．近年來，某市為促進(jìn)生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計(jì)400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表（單位：噸）．廚余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶廚余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機(jī)選取3名，利用節(jié)假日到街道進(jìn)行垃圾分類宣傳活動（每名志愿者被選到的可能性相同）．設(shè)為選出的3名志愿者中男性志愿者的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)由題表可得廚余垃圾共有噸，其中投入廚余垃圾桶的有60噸，所以廚余垃圾投放正確的概率；(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，，所以X的分布列為X0123P所以所以選出的3名志愿者中男性志愿者個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為．2．每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”，為了解某地區(qū)高一學(xué)生閱讀時(shí)間的分配情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了1000名高一學(xué)生進(jìn)行在線調(diào)查，得到了這1000名學(xué)生的日平均閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），并將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，，，九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求的值：(2)為進(jìn)一步了解這1000名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時(shí)間和紙質(zhì)圖書閱讀時(shí)間的分配情況，從日平均閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得：.解得；(2)由頻率分布直方圖得：這1000名學(xué)生中日平均閱讀時(shí)間在，兩組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為，若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取（人）在日平均閱讀時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中抽取4人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)拍取3人，則服從超幾何分布，其可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列為：0123.3．學(xué)校某社團(tuán)招收新成員，需要進(jìn)行一些專業(yè)方面的測試．現(xiàn)有備選題5道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機(jī)抽出2道題進(jìn)行測試，至少答對1道題就被納入．每位報(bào)名的人員能否被納入是相互獨(dú)立的．若甲能答對其中的3道題，乙能答對其中的2道題．求：(1)甲、乙兩人至少一人被納入的概率；(2)甲答對試題數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)設(shè)甲、乙兩人被納入分別為事件A，B，則，，則：甲、乙兩人至少一人被納入的概率為.(2)依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則，，，則X的分布列為：X012P所以甲答對試題數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.4．第24屆冬奧會于2022年2月4日至2月20日在北京和張家口舉行，組委會需要招募翻譯人員做志愿者，某外語學(xué)院的一個(gè)社團(tuán)中有7名同學(xué)，其中有5人能勝任法語翻譯工作；5人能勝任英語翻譯工作（其中有3人兩項(xiàng)工作都能勝任），現(xiàn)從中選3人做翻譯工作．試求：(1)在選中的3人中恰有2人勝任法語翻譯工作的概率；(2)在選中的3人中既能勝任法語翻譯工作又能勝任英語翻譯工作的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)依題意可知：有人只勝任英語翻譯，有人只勝任法語翻譯，有人兩項(xiàng)工作都能勝任，所以從中選3人做翻譯工作，在選中的3人中恰有2人勝任法語翻譯工作的概率為.(2)的可能取值為，，，分布列如下：數(shù)學(xué)期望為.5．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的件產(chǎn)品作為樣本并稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量的分組區(qū)間為，，，，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過克的產(chǎn)品數(shù)量；(2)在上述抽取的件產(chǎn)品中任取件，設(shè)為質(zhì)量超過克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列，并求其均值；(3)從該流水線上任取件產(chǎn)品，設(shè)為質(zhì)量超過克的產(chǎn)品數(shù)量，求的分布列，并求其均值.【詳解】(1)質(zhì)量超過克的產(chǎn)品的頻率為，質(zhì)量超過克的產(chǎn)品數(shù)量為.(2)質(zhì)量超過克的產(chǎn)品數(shù)量為，則質(zhì)量未超過克的產(chǎn)品數(shù)量為，服從超幾何分布，的取值為，，.，，.的分布列為解法一：的均值為.解法二：的均值為.(3)根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，取一件產(chǎn)品，該產(chǎn)品的質(zhì)量超過克的概率為.從流水線上任取件產(chǎn)品互不影響，該問題可看二項(xiàng)分布，質(zhì)量超過克的件數(shù)可能的取值為，，，且.，，，.，，.的分布列為解法一：的均值為.解法二：的均值為.五、正態(tài)分布1．在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績（單位：分）服從正態(tài)分布，現(xiàn)在已知該班同學(xué)的成績在的有17人，則該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人？參考數(shù)據(jù)：若，則，．【詳解】因?yàn)槌煽兎恼龖B(tài)分布，所以，，則，．所以成績在內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的68.27%，成績在內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的34.135%．設(shè)該班有x名同學(xué)，則，解得．因?yàn)?，，所以成績在?nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的95.45%，成績在90分以上的同學(xué)約占全班同學(xué)的2.275%．，即成績在90分以上的同學(xué)僅有1人．2．為落實(shí)黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試，從該次考試成績中隨機(jī)抽取樣本，以，，，，分組繪制的頻率分布直方圖如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，估計(jì)該次考試成績的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)?。?）中的值，假設(shè)本次考試成績X服從正態(tài)分布，且，從所有參加考試的鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部中隨機(jī)抽取3人，記考試成績在范圍內(nèi)的人數(shù)為Y，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)解：依題意可得(2)解：由（1）可知，且，所以所以，則的可能取值為、、、，所以，，，，所以的分布列為所以3．2022年，是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，為引導(dǎo)和帶動青少年重溫共青團(tuán)百年光輝歷程，某校組織全體學(xué)生參加共青團(tuán)百年歷史知識競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績組成樣本，并將得分分成以下6組：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：(1)試估計(jì)這100名學(xué)生得分的平均數(shù)；(2)從樣本中得分不低于70分的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取11人進(jìn)行座談，若從座談名單中隨機(jī)抽取3人，記其得分在[90，100]的人數(shù)為，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本估計(jì)總體，根據(jù)頻率分布直方圖，可以認(rèn)為參加知識競賽的學(xué)生的得分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算．現(xiàn)從所有參加知識競賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取500人，若這500名學(xué)生的得分相互獨(dú)立，試問得分高于77分的人數(shù)最有可能是多少？參考數(shù)據(jù)：，，．【詳解】(1)解：由頻率分布直方圖可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)．(2)解：參加座談的11人中，得分在的有人，所以的可能取值為，，，所以，，．所以的分布列為012∴．(3)解：由（1）知，，所以．記500名學(xué)生中得分高于77的人數(shù)為，則，其中，∴，，1，2，…，500，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴得分高于77分的人數(shù)最有可能是．4．2022年2月4日至20日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會在北京成功舉辦，某學(xué)校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們觀看開幕式的時(shí)長（單位：min）情況，樣本數(shù)據(jù)按照，，…，進(jìn)行分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)估計(jì)該校學(xué)生觀看開幕式時(shí)長的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)由頻率分布直方圖可知該校學(xué)生觀看開幕式的時(shí)長X近似服從正態(tài)分布（其中近似為樣本平均數(shù)，取10.8），求該校學(xué)生觀看開幕式的時(shí)長位于區(qū)間內(nèi)的概率；(3)從該校所有學(xué)生中隨機(jī)選取3人，記觀看開幕式不少于80min的人數(shù)為Y，用樣本中各區(qū)間的頻率代替每名學(xué)生觀看時(shí)長位于相應(yīng)區(qū)間的概率，求Y的分布列和期望．附：若，，．【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得時(shí)長的平均數(shù)為．故估計(jì)該校學(xué)生看開幕式時(shí)長的平均數(shù)為78.4．(2)因?yàn)?，．所以，因此該校學(xué)生觀看開幕式的時(shí)長位于區(qū)間內(nèi)的概率為0.8186．(3)從該校所有學(xué)生中任選一人，其觀看開幕式的時(shí)長不少于80min的概率為，所以．故，，，．故Y的分布列為：Y0123P0.2160.4320.2880.064所以．5．我國載人航天技術(shù)飛速發(fā)展，神舟十三號于2021年10月16日發(fā)射成功．學(xué)生們對航天知識的渴望空前高漲．某學(xué)校舉行了一次航天知識競賽活動．經(jīng)過班級初選后一共100名學(xué)生參加學(xué)校決賽，把他們的成績（滿分100分）分成五組得到如下頻率分布直方圖．其中第三組的頻數(shù)為40．(1)請根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為學(xué)生的競賽分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，其中μ近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差．若成績在47.2以下，發(fā)紀(jì)念獎杯；若成績在47.2到79.9之間發(fā)優(yōu)秀獎杯；若成績大于79.9發(fā)優(yōu)勝獎杯試估計(jì)此次競賽獲得優(yōu)秀獎杯的人數(shù)（結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位）參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【詳解】(1)由題意得各組的頻率依次為0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，則平均數(shù)；方差．(2)由（1）得，，故學(xué)生的競賽分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，則．此次競賽獲得優(yōu)秀獎杯的人數(shù)約為82人．6．某市質(zhì)監(jiān)部門嚴(yán)把食品質(zhì)量關(guān)，根據(jù)質(zhì)量管理考核指標(biāo)對本地的600家食品生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行考核，通過隨機(jī)抽樣抽取其中的50家企業(yè)，統(tǒng)計(jì)其考核成績（單位：分）并制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)該市質(zhì)監(jiān)部門打算舉辦食品生產(chǎn)企業(yè)質(zhì)量交流會，并從這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中隨機(jī)抽取3家考核成績不低于92分的企業(yè)代表發(fā)言，記抽到的企業(yè)中考核成績在區(qū)間的企業(yè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)若該市食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績服從正態(tài)分布，其中近似為這50家食品生產(chǎn)企業(yè)考核成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算，得，利用該正態(tài)分布，估計(jì)該市600家食品生產(chǎn)企業(yè)中質(zhì)量管理考核成績高于95.4分的有多少家？（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)與公式：，若，則，，．【詳解】(1)這50家食品生產(chǎn)企業(yè)中考核成績不低于92分的企業(yè)有家，其中考核成績不低于96分的企業(yè)有2家，所以的所有可能取值為0，1，2，可得，，，所以的分布列為012所以期望為.(2)這50家食品生產(chǎn)企業(yè)的考核成績的平均數(shù)為：由題意得考核成績服從正態(tài)分布，所以，所以，可得，所以估計(jì)該市600家食品生產(chǎn)企業(yè)中質(zhì)量管理考核成績高于分的有家.六、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1．2022年北京冬奧會的成功舉辦在全國又掀起了運(yùn)動的浪湖．墩墩和容融兩個(gè)小朋友相約打羽毛球．已知兩人在每一局比賽中都不會出現(xiàn)平局，其中墩墩每局獲勝的概率均為．(1)若兩人采用五局三勝制，則墩墩在第一局失利的情況下，反敗為勝的概率；(2)若兩人采用三局兩勝制．且，則比賽結(jié)束時(shí)，求墩墩獲勝局?jǐn)?shù)X的期望；(3)五局三勝制和三局兩勝制，哪種賽制對墩墩獲得比賽勝利更有利？【詳解】(1)表示墩墩在第一局失利，B表示墩墩獲得了比賽勝利，則．(2)的可能取值為0，1，2，則；；；故．(3)在五局三勝制中墩墩獲勝的概率為：；在三局兩勝制中墩墩獲勝的概率為：，∵，∴當(dāng)時(shí)，采用五局三制對墩墩更有利；當(dāng)時(shí)，采用三局兩勝制對墩墩更有利．2．某商場為了促銷規(guī)定顧客購買滿500元商品即可抽獎，最多有3次抽獎機(jī)會．每次抽中，可依次獲得10元，20元，30元獎金，若沒有抽中，不可繼續(xù)抽獎，顧客每次抽中后，可以選擇帶走所有獎金，結(jié)束抽獎；也可選擇繼續(xù)抽獎，若沒有抽中，則連同前面所得獎金全部歸零，結(jié)束抽獎．小明購買了500元商品并參與了抽獎活動，已知他每次抽中的概率依次為，，，選擇繼續(xù)抽獎的概率均為，且每次是否抽中互不影響．(1)求小明第一次抽中，但所得獎金歸零的概率；(2)設(shè)小明所得獎金總數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)記小明第i次抽中為事件，（i＝1，2，3），則有，，，并且，，兩兩相互獨(dú)立，小明第一次抽中但獎金歸零記為事件A，則A的概率為．(2)小明所得獎金總數(shù)為隨機(jī)變量X，則X＝0，10，30，60，，，，隨機(jī)變量X的分布列為：X0103060P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為．3．2022年春節(jié)后，新冠肺炎的新變種奧密克戎在我國部分地區(qū)爆發(fā)．該病毒是一種人傳人，不易被人們直接發(fā)現(xiàn)，潛伏期長且傳染性極強(qiáng)的病毒．我們把與該病毒感染者有過密切接觸的人群稱為密切接觸者．一旦發(fā)現(xiàn)感染者，社區(qū)會立即對其進(jìn)行流行性病醫(yī)學(xué)調(diào)查，找到其密切接觸者進(jìn)行隔離觀察．調(diào)查發(fā)現(xiàn)某位感染者共有10位密切接觸者，將這10位密切接觸者隔離之后立即進(jìn)行核酸檢測．核酸檢測方式既可以采用單樣本檢測，又可以采用“k合1檢測法”．“k合1檢測法”是將k個(gè)樣本混合在一起檢測，若混合樣本只要呈陽性，則該組中各個(gè)樣本再全部進(jìn)行單樣本檢測；若混合樣本呈陰性，則可認(rèn)為該混合樣本中每個(gè)樣本都是陰性．通過病毒指標(biāo)檢測，每位密切按觸者為陰性的概率為，且每位密切接觸者病毒指標(biāo)是否為陰性相互獨(dú)立．(1)現(xiàn)對10個(gè)樣本進(jìn)行單樣本檢測，求檢測結(jié)果最多有2個(gè)樣本為陽性的概率的表達(dá)式；(2)若對10個(gè)樣本采用“5合1檢測法”進(jìn)行核酸檢測．①求某個(gè)混合樣本呈陽性的概率；②設(shè)總檢測次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)由題意可知，對10個(gè)樣本進(jìn)行逐個(gè)檢測屬于獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以最多有2個(gè)陽性樣本的概率為：(2)①設(shè)“某個(gè)混合樣本呈陽性”為事件，則表示事件“某個(gè)混合樣本呈陰性”，而混合樣本呈陰性即為該混合樣本全部為陰性，．故②X的可能取值為2，7，12．當(dāng)兩個(gè)混合樣本都呈陰性時(shí)，.當(dāng)兩個(gè)混合樣本一個(gè)呈陽性，一個(gè)呈陰性時(shí)，．當(dāng)兩個(gè)混合樣本都呈陽性時(shí)，．故X的分布列為：2712的數(shù)學(xué)期望4．大力開展體育運(yùn)動，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，是學(xué)校教育的重要目標(biāo)之一．某校組織全校學(xué)生進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練，為了解訓(xùn)練的效果，從該校男生中隨機(jī)抽出100人進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)測試，測試結(jié)果（單位：米）均在內(nèi)，整理數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖．學(xué)校規(guī)定男生立定跳遠(yuǎn)2.05米及以上為達(dá)標(biāo)，否則為不達(dá)標(biāo)．(1)若男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率低于60%，該校男生還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練．請你通過計(jì)算，判斷該校男學(xué)生是否還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練；(2)為提高學(xué)生的達(dá)標(biāo)率，該校決定加強(qiáng)訓(xùn)練，經(jīng)過一段時(shí)間訓(xùn)練后，該校男生立定跳遠(yuǎn)的距離（單位：米）近似服從正態(tài)分布，且．再從該校任選3名男生進(jìn)行測試，X表示這3人中立定跳遠(yuǎn)達(dá)標(biāo)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知，男生立定跳遠(yuǎn)的達(dá)標(biāo)率為因?yàn)?，所以該校男生還需加強(qiáng)立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練．(2)因?yàn)榻品恼龖B(tài)分布，且，所以，由題意可知，，．，，所以X的分布列為X0123P則．5．核酸檢測是診斷新冠肺炎的主要依據(jù)，首先采集人的唾液或咽拭子的樣本，再提取唾液或咽拭子樣本里的遺傳物質(zhì)，如果有病毒，樣本檢測會呈現(xiàn)陽性，否則為陰性.根據(jù)我國動態(tài)清零政策，某地區(qū)如發(fā)現(xiàn)陽性病例，就需要本地區(qū)全員篩查為了提高檢測效率，往往需要采取二混一檢測（將2個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)一次，混合樣本中只要有病毒，則混合樣本化驗(yàn)結(jié)果就會呈陽性，需將該組中各個(gè)樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則該組各個(gè)樣本均為陰性，該組樣本無需再化驗(yàn)）．根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，某地區(qū)疑似病例核酸檢測呈陽性的概率為，現(xiàn)有6例疑似病例，分別對其取樣、檢測．(1)求2個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率p；(2)現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進(jìn)行二混一檢測，求化驗(yàn)次數(shù)的分布列X及期望．【詳解】(1)2個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陰性的概率，則2個(gè)疑似病例樣本混合化驗(yàn)結(jié)果為陽性的概率(2)化驗(yàn)次數(shù)的可能取值為，，，所以化驗(yàn)次數(shù)X服從的分布列為X3579P所以期望值6．某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實(shí)踐活動”．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了80名學(xué)生作為樣本進(jìn)行測試，記錄他們的成績，測試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，并整理得到頻率分布直方圖：(1)求a的值；(2)若全校學(xué)生參加同樣的測試，試估計(jì)全校學(xué)生的成績的眾數(shù)n、中位數(shù)m、平均數(shù)（每組成績用中間值代替）；(3)現(xiàn)將頻率視為概率，從全校成績在80分及以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取9人，用X表示其成績在中的人數(shù)，求X數(shù)學(xué)期望及方差．【詳解】(1)，解得；(2)眾數(shù)，由，知中位數(shù)位于中，則，解得，平均數(shù)；(3)在80分及以上的學(xué)生中抽取一人其成績在的概率為，抽取9人時(shí)，，故其期望為，方差.【高考必刷】1．已知X的分布列如下，且，，則a為（

）X﹣101PA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】．，∴，故選：B.2．已知事件A與B獨(dú)立，當(dāng)時(shí)，若，則（

）A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1【答案】C【詳解】因?yàn)槭录嗀與B獨(dú)立，，所以，則.故選：C3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，由對稱性可知，，又，所以，故.故選：A.4．已知隨機(jī)變量，且，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（

）A． B． C．240 D．60【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以所對?yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對稱，因?yàn)?，所以，所以，其中展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，即展開式的常數(shù)項(xiàng)為；故選：D5．甲乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，若采用三局二勝制，則甲最終獲勝的概率為（

）A．0.32 B．0.352 C．0.288 D．0.648【答案】D【詳解】兩局結(jié)束比賽，甲獲勝的概率為；三局結(jié)束比賽，則前兩局甲勝一局，乙勝一局，第三局甲獲勝，故甲獲勝的概率為，故甲最終獲勝的概率為0.36+0.288=0.648故選：D6．下列命題為真命題的是（

）A．若數(shù)據(jù)，，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為5；B．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)m的值是4；C．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則；D．若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，，則．【答案】C【詳解】一組數(shù)據(jù)同時(shí)加減一個(gè)數(shù)，波動性沒有變化，所以方差不變，故A錯(cuò)誤；把樣本中心代入回歸直線，得，解得，故B錯(cuò)誤；由于，可得，根據(jù)對稱性可知，，故C正確；，可得，又，則，故D錯(cuò)誤.故選：C.7．下列命題中正確的是(

)A．一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)B．對一組數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)?，其中，則平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生改變C．有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為30D．若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則【答案】D【詳解】對于A，數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)是3，中位數(shù)是，眾數(shù)等于中位數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，數(shù)據(jù)，如果將它們變?yōu)椋渲?，則平均數(shù)增加C，標(biāo)準(zhǔn)差不變，故B錯(cuò)誤；對于C，有甲?乙?丙三種個(gè)體按的比例分層抽樣調(diào)查，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9，則樣本容量為，故C錯(cuò)誤；對于D，若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，則，故D正確．故選：D．8．已知正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線如圖所示，，則下列選項(xiàng)中，不能表示圖中陰影部分面積的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由正態(tài)分布的正態(tài)密度曲線關(guān)于直線對稱，對A：由對稱性可得圖中陰影部分可表示為，故選項(xiàng)A不符合題意；對B：由對稱性可得，所以圖中陰影部分可表示為，故選項(xiàng)B不符合題意；對C：由對稱性可得，故選項(xiàng)C符合題意；對D：由對稱性可得，所以圖中陰影部分可表示為，故選項(xiàng)D不符合題意.故選：C.9．近年來中國進(jìn)入一個(gè)鮮花消費(fèi)的增長期，某農(nóng)戶利用精準(zhǔn)扶貧政策，貸款承包了一個(gè)新型溫室鮮花大棚，種植銷售紅玫瑰和白玫瑰．若這個(gè)大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布和，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則．A．若紅玫瑰日銷量的范圍在的概率是0.6827，則紅玫瑰日銷量的平均數(shù)約為250B．紅玫瑰日銷量比白玫瑰日銷量更集中C．白玫瑰日銷量比紅玫瑰日銷量更集中D．白玫瑰日銷量的范圍在的概率約為0.34135【答案】C【詳解】對于選項(xiàng)A，由日銷量的范圍在的概率是，所以，則，故A正確；對于選項(xiàng)B，C，利用越小越集中，30小于40，故紅玫瑰日銷量比白玫瑰日銷量更集中，即B正確，C不正確；對于選項(xiàng)D，，故D正確．故選：C．10．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布且，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由二項(xiàng)分布期望，可得，解得，又由二項(xiàng)分布的方差，可得，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A．11．已如兩個(gè)離散型隨機(jī)變量，，滿足，的分布列如下：012Pab當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．5【答案】D【詳解】由題意，，則由故選：D.12．在北京時(shí)間2022年2月6日舉行的女足亞洲杯決賽中，中國女足面對上半場02落后的劣勢，發(fā)揚(yáng)永不言棄的拼搏精神，最終強(qiáng)勢逆轉(zhuǎn)，時(shí)隔16年再奪亞洲杯冠軍！足球比賽中點(diǎn)球射門是隊(duì)員練習(xí)的必修課．己知某足球隊(duì)員在進(jìn)行點(diǎn)球射門時(shí)命中率為，由于慣用腳的原因，他踢向球門左側(cè)的概率為，踢向球門右側(cè)的概率為．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)他踢向球門左側(cè)時(shí)，球進(jìn)的概率為，那么他踢向球門右側(cè)時(shí)，球進(jìn)的概率為(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)某隊(duì)員踢向球門右側(cè)時(shí)，球進(jìn)的概率為x，則由題可知：，解得．故選：D．13．一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除了顏色外完全相同，從中模出2個(gè)球，恰有一個(gè)黑球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題知，從裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，模出2個(gè)球，共有種，其中，恰有一個(gè)黑球的共有種，所以，恰有一個(gè)黑球的概率為.故選：B14．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則（

）A．3 B．4 C．2 D．1【答案】D【詳解】∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，∴，故選：.15．隨機(jī)變量X的取值為0，1，2，若，，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【詳解】設(shè)，，由題意得，解得，，.故選：B.16．設(shè)隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】D【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以解得，所以，故選：D17．拋、藍(lán)兩顆質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“藍(lán)色骰子的點(diǎn)數(shù)為或”，事件為“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于”，則在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率為___________．【答案】【詳解】拋擲紅、藍(lán)兩顆骰子，事件總數(shù)為，事件A的基本事件數(shù)為，∴，由于，所以事件B的基本事件數(shù)為，∴，事件同時(shí)發(fā)生的概率為，，由條件概率公式，得，故答案為：18．在，，三地爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感.假設(shè)這三個(gè)地區(qū)人口數(shù)的比為3：2：1，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任選一人，這個(gè)人患流感的概率是___________.【答案】【詳解】根據(jù)題意可得這個(gè)人患流感的概率：.故答案為：.19．已知隨機(jī)變量，且，則__________．【答案】12【詳解】因?yàn)?，所以，所以則，所以故答案為：20．一個(gè)箱子中裝有形狀完全相同的5個(gè)白球和個(gè)黑球，現(xiàn)從中有放回的摸取4次，每次都是隨機(jī)摸取一球，設(shè)摸得白球個(gè)數(shù)為X，若，則______．【答案】2【詳解】有放回的摸取4次，每次隨機(jī)摸取一球是白球的概率相等，設(shè)為p，而摸取1次即為一次試驗(yàn)，只有兩個(gè)不同結(jié)果，因此，，則，解得，所以.故答案為：221．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則______．【答案】【詳解】因?yàn)?，所以所對?yīng)的正態(tài)曲線關(guān)于對稱，因?yàn)?，所以，所以；故答案為?2．若事件E與F相互獨(dú)立，且，則______．【答案】【詳解】因?yàn)槭录﨓與F相互獨(dú)立，且，所以，故答案為：23．A?B兩輛貨車計(jì)劃于同一時(shí)刻達(dá)到某一港口.已知在貨車B準(zhǔn)點(diǎn)的情況下，貨車A晚點(diǎn)的概率為；而在貨車A晚點(diǎn)的情況下，貨車B準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.若貨車A?B準(zhǔn)點(diǎn)的概率相同，且貨車到達(dá)該港口只有準(zhǔn)點(diǎn)與晚點(diǎn)兩種情況，則貨車B晚點(diǎn)的概率為___________.【答案】【詳解】設(shè)A晚點(diǎn)為事件X，B準(zhǔn)點(diǎn)為事件Y，因?yàn)?，所?由條件概率公式得，，因此，可以求解得到，因此B晚點(diǎn)的概率為.故答案為：24．橘生淮南則為橘，生于淮北則為枳，出自《晏子使楚》．意思是說，橘樹生長在淮河以南的地方就是橘樹，生長在淮河以北的地方就是枳樹，現(xiàn)在常用來比喻一旦環(huán)境改變，事物的性質(zhì)也可能隨之改變．某科研院校培育橘樹新品種，使得橘樹在淮北種植成功，經(jīng)過科學(xué)統(tǒng)計(jì)，單個(gè)果品的質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，且，在有1000個(gè)的一批橘果中，估計(jì)單個(gè)果品質(zhì)量不低于94g的橘果個(gè)數(shù)為______．【答案】200【詳解】結(jié)合正態(tài)分布特征，，，所以估計(jì)單個(gè)果品質(zhì)量不低于94g的橘果個(gè)數(shù)為．故答案為：200.25．港珠澳大橋是一座具有劃時(shí)代意義的大橋它連通了珠海香港澳門三地，大大縮短了三地的時(shí)空距離，盤活了珠江三角洲的經(jīng)濟(jì)，被譽(yù)為新的世界七大奇跡截至年月日點(diǎn)，珠海公路口岸共驗(yàn)放出入境旅客超過萬人次，日均客流量已經(jīng)達(dá)到萬人次，驗(yàn)放出入境車輛超過萬輛次，年春節(jié)期間，客流再次大幅增長，日均客流達(dá)萬人次，單日客流量更是創(chuàng)下萬人次的最高紀(jì)錄．年從五月一日開始的連續(xù)天客流量頻率分布直方圖如下(1)同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替，根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)客流量的平均數(shù)．(2)設(shè)這天中客流量超過萬人次的有天，從這天中任取兩天，設(shè)為這兩天中客流量超過萬人的天數(shù)求的分布列和期望．【詳解】(1)由頻率分布直方圖，可得客流量的平均數(shù)為：.即估計(jì)客流量的平均數(shù)為.(2)從頻率分布直方圖可知，客流量超過萬人次的頻率為，所以，而客流量超過萬人的天數(shù)為天，所以隨機(jī)變量的可能取值為，，，可得，，所以隨機(jī)變量的分布列為：數(shù)學(xué)期望.26．南平市于2018年成功獲得2022年第十七屆福建省運(yùn)會承辦權(quán).為進(jìn)一步提升第十七屆福建省運(yùn)會志愿者綜合素質(zhì)，提高志愿者服務(wù)能力，南平市啟動首批志愿者通識培訓(xùn)，并于培訓(xùn)后對參訓(xùn)志愿者進(jìn)行了一次測試，通過隨機(jī)抽樣，得到100名參訓(xùn)志愿者的測試成績，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次測試成績近似于服從正態(tài)分布，近似為這100人測試成績的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），①求的值；②利用該正態(tài)分布，求；(2)在（1）的條件下，主辦單位為此次參加測試的志愿者制定如下獎勵(lì)方案：①測試成績不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，測試成績低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；②每次獲贈的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)的概率為：贈送話費(fèi)的金額（元）1030概率今在此次參加測試的志愿者中隨機(jī)抽取一名，記該志愿者獲贈的話費(fèi)為（單位：元），試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)與公式：若，則，，.【詳解】(1)由題，，因?yàn)?，所?(2)由題，，所獲贈話費(fèi)的可能取值為，，，，，，，，，，所以的分布列為：所以.27．學(xué)習(xí)強(qiáng)國APP從2021年起，開設(shè)了一個(gè)“四人賽”的答題模塊，規(guī)則如下：用戶進(jìn)入“四人賽”后共需答題兩局，每局開局時(shí)，系統(tǒng)會自動匹配3人與用戶一起答題，每局答題結(jié)束時(shí)，根據(jù)答題情況四人分獲第一?二?三?四名.首局中的第一名積3分，第二?三名均積2分，第四名積1分；第二局中的第一名積2分，其余名次均積1分，兩局的得分之和為用戶在“四人賽”中的總得分.假設(shè)用戶在首局獲得第一?二?三?四名的可能性相同；若首局獲第一名，則第二局獲第一名的概率為，若首局沒獲第一名，則第二局獲第一名的概率為.(1)設(shè)用戶首局的得分為，求的分布列；(2)求用戶在“四人賽”中的總得分的期望值.【詳解】(1)的所有可能取值為，，，，，其分布列為(2)方法一：設(shè)總得分為，則的取值為，，，，則，，的分布列為Y5432P所以.方法二：.設(shè)第二局得分為，則的取值為，.則有，化簡得Y的分布列為，四人賽總分期望為28．點(diǎn)外賣現(xiàn)已成為上班族解決午餐問題的一種流行趨勢．某配餐店為擴(kuò)大品牌能響力，決定對新顧客實(shí)行讓利促銷．促銷活動規(guī)定：凡點(diǎn)餐的新顧客均可獲贈10元，15元或者20元代金券一張，中獎率分別為、和，每人限點(diǎn)一餐．且100%中獎．現(xiàn)有A公司甲、乙、丙、丁、戊五位員工決定點(diǎn)餐試吃．(1)求這五人中至多一人抽到10元代金券的概率；(2)這五人中抽到15元，20元代金券的人數(shù)分別用a，b表示，記，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)設(shè)“這5人中恰有i人抽到10元代金券”為事件，易知“五人中至多一人抽到10元代金券”的概率：.(2)由題意可知的可能取值為，，故的分布列為：012346故29．某超市有5種不同品牌的簽字筆，它們的銷售價(jià)格（元/支）和市場份額（指該品牌簽字筆的銷售量在超市同類產(chǎn)品中所占比例）如下：簽字筆品牌ABCDE銷售價(jià)格1.52.43.22.21.2市場份額15%10%30%20%25%(1)從該超市銷售的這5種品牌的簽字筆中隨機(jī)抽取1支，估計(jì)其銷售價(jià)格低于2.4元的概率；(2)將該超市銷售的這5種品牌的簽字筆依市場份額進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取20支簽字筆進(jìn)行質(zhì)量檢測，其中品牌A和B共抽取了多少支？若從這些抽取的品牌A和B的簽字筆中隨機(jī)再抽取3支進(jìn)行含油墨量檢測．記X為抽到品牌B的簽字筆數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【詳解】(1)由已知從該超市銷售的簽字筆中隨機(jī)抽取支，抽到銷售價(jià)格低于元的簽字筆的頻率為，即，故可估計(jì)事件“從該超市銷售的簽字筆中隨機(jī)抽取支，其銷售價(jià)格低于元”的概率為；(2)由題設(shè)，品牌的簽字筆抽取了支，品牌的簽字筆抽取了支，所以品牌A和B共抽取5支，由已知隨機(jī)變量的可能取值為．；；．所以的分布列為：的數(shù)學(xué)期望為．30．某公司訂購了一批樹苗，為了研究其生長規(guī)律，從中隨機(jī)抽測100株樹苗的高度，經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到如圖①的頻率分布直方圖，其中最高的16株樹苗高度的莖葉圖如圖②所示，以這100株樹苗高度的頻率估計(jì)整批樹苗高度的概率．(1)求這批樹苗的高度高于1.60的概率，并求圖①中a，b，c的值；(2)研究發(fā)現(xiàn)高度在1.65以上的樹苗有特殊的生長規(guī)律，于是從抽測高度在1.65以上（不含）的樹苗中抽取3株做研究，設(shè)X為高度在的樹苗數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．(3)為做進(jìn)一步對比研究，需從這批訂購的樹苗中隨機(jī)選取3株，記為高度在的樹苗數(shù)量，求的