/山西省晉中市2024-2025學(xué)年高三下冊(cè)二月?？紨?shù)學(xué)試卷一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先化簡(jiǎn)，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以故選：C.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A.10 B. C.5 D.【正確答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出，再利用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的意義求解.【詳解】依題意，，，所以.故選：B3.已知向量，，若，則（）A. B. C.-6 D.6【正確答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的坐標(biāo)表示列式計(jì)算得解.【詳解】向量，，則，由，得，所以.故選：C4.已知，，則（）A.1 B. C. D.【正確答案】B【分析】利用和差角的三角函數(shù)公式，結(jié)合同角公式計(jì)算得解.【詳解】由，得，即，由，得，因此，所以.故選：B5.已知一種物質(zhì)的某種能量N與時(shí)間t的關(guān)系為，其中m是正常數(shù)，若經(jīng)過(guò)時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，則再經(jīng)過(guò)時(shí)間，該物質(zhì)的能量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)的能量為，則，則題意可得，進(jìn)而計(jì)算，可得結(jié)論.【詳解】設(shè)的能量為，則，又經(jīng)過(guò)時(shí)間，該物質(zhì)的能量由減少到，所以，所以，則再經(jīng)過(guò)時(shí)間時(shí)，該物質(zhì)的能量為.故選：C.6.已知函數(shù)，若方程在上恰有6個(gè)實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意知，作出函數(shù)與的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意知，令，得，當(dāng)時(shí)，，令，要想在上恰有6個(gè)實(shí)數(shù)解，則，解得，即m的取值范圍是.故選：D.7.將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球，則至少有1個(gè)凹槽與其放入的小球編號(hào)相同的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用排列組合，先求出將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中的放法數(shù)，再求出4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)互不相同的放法數(shù)，再利用對(duì)立事件的概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】將編號(hào)為的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為的4個(gè)凹槽中，共有種放法，4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)互不相同的有種放法，所以至少有1個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是.故選：C.8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為，第一象限的點(diǎn)在雙曲線上，連接并延長(zhǎng)交雙曲線另一點(diǎn)，若，則（）A. B.8 C. D.【正確答案】C【分析】連接，可得四邊形為平行四邊形，則，設(shè)，則，然后結(jié)合雙曲線的定義可求出，再利用余弦定理求出，再由兩邊平方化簡(jiǎn)可求出，從而可求出.【詳解】連接，由題意可得，，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，設(shè)，則，，所以，得，所以，，在中，由余弦定理得，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，即，所以.故選：C二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列不等式不一定成立的是（）A. B. C. D.【正確答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，利用不等式的性質(zhì)、基本不等式，結(jié)合指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，則，故A成立；對(duì)于B，取，滿足，而，故B不一定成立；對(duì)于C，取，滿足，而，故C不一定成立；對(duì)于D，因，則，故D成立.故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.此函數(shù)的周期為B.此函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.此函數(shù)在區(qū)間上有7個(gè)零點(diǎn)D.此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【正確答案】BCD【分析】取值計(jì)算判斷A；利用函數(shù)對(duì)稱性定義判斷B；求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷C；利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，顯然，所以函數(shù)周期不為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，因此函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；對(duì)于C，，令，得，即，則或或，由，解得，，因此函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn)，C正確；對(duì)于D，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，D正確.故選：BCD11.一個(gè)圓柱表面積為，體積為，則下列四組數(shù)對(duì)中，可作為數(shù)對(duì)的有（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】利用圓柱表面積、體積公式建立關(guān)于圓柱底面圓半徑的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出最小值進(jìn)而判斷.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，高為，則，即，因此，令，求導(dǎo)得，對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是，即，而，因此都有解，AB均可以；對(duì)于CD，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是，，而，因此有解，無(wú)解，C不可以，D可以.故選：ABD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圓柱半徑，結(jié)合體積及表面積建立函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)探討最小值是求解的關(guān)鍵.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是等比數(shù)列，且，，則__________．【正確答案】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，推導(dǎo)出，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得的值.【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，設(shè)其公比為，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，故.故答案為.13.已知，，則________.【正確答案】【分析】先探索角，的關(guān)系，再結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角公式求值.【詳解】由，得，，則.故14.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則面積的最大值為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】利用余弦定理得，再利用基本不等式和三角形面積公式得到，最后借助輔助角公式求出最大值.【詳解】由余弦定理知，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以.設(shè)的面積為S，所以，令，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，即有，解得或（舍去），則，所以，故面積的最大值為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用基本不等式得到面積，通過(guò)取倒數(shù)從而設(shè)，借助于輔助角公式求出的最小值，即可得到的最大值.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，，數(shù)列為等差數(shù)列，滿足，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列和中相同的項(xiàng)由小到大排列組成新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【正確答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出基本量即可得到；（2）由與的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得到.【小問(wèn)1詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)等比數(shù)列的公比為，由，得，解得或（舍去），所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，則，所以，所以與的通項(xiàng)公式分別為，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)數(shù)列的第m項(xiàng)與數(shù)列的第k項(xiàng)相同，即，m，，則.要使成立，只需m為偶數(shù)，因此數(shù)列和中相同的項(xiàng)從小到大依次為，，，，，即是首項(xiàng)為9，公比為的等比數(shù)列，所以，.16.如圖，在三棱柱中，平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)、判定，再利用面面垂直的判定推理即得.（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即得.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，由平面平面，得，又平面，則平面，而平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】由（1）知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，令，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）計(jì)算，根據(jù)等比數(shù)列的定義得證；（2）由（1）得，利用分組求和和錯(cuò)位相減法求和.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，且，所以?shù)列是等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）得數(shù)列是等比數(shù)列，且公比，所以，故．所以．故,令,,兩式相減得,所以,即.18.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（i）求最小值；（ii）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)根，，證明.【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（i）1；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論的取值范圍即可得解；（2）（i）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，進(jìn)而利用隱零點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的最值，從而得解；（ii）根據(jù)題意，利用極值點(diǎn)偏移的解決技巧，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】（i）函數(shù)的定義域?yàn)?，則，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在的切線方程為，所以，則，所以，因?yàn)椋?，令，則，令，則，，所以，使，即，則，又，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的最小值為.（ii）由題意可知，，即方程有兩個(gè)根，，令，，則，所以，設(shè)，由（1）知，在上單調(diào)遞增，又，所以，則，由，得，，所以，要證，需證，即證，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，即，則在上單調(diào)遞減，所以，因此成立，故，得證.方法點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證.19.已知拋物線，按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)點(diǎn)作斜率為k（k為常數(shù)）的直線與拋物線C相交于，兩點(diǎn)（在x軸的上方）；過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點(diǎn)（在x軸的上方），直線和相交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點(diǎn)（在x軸的上方），直線和相交于點(diǎn)；…；過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點(diǎn)（在x軸的上方），直線和相交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作斜率為k的直線與拋物線C相交于，兩點(diǎn)（在軸的上方），直線和相交于點(diǎn).（1）若，求；（2）證明：點(diǎn)，，，…，在一條直線上；（3）記線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為，…，線段的中點(diǎn)為，求（用k，n表示）.【正確答案】（1）20（2）證明見(jiàn)解析（3）.【分析】（1）寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式即可得到；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得，，同理可得，，從而得到直線的方程，聯(lián)立直線和直線的方程得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，從而證明結(jié)論；（3）利用中點(diǎn)公式以及得到，分別求出和即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題知，直線的方程為，聯(lián)立消去y，得，則由拋物線定義知.【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)，且i為整數(shù)，，，，，直線的方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，得消去x后整理，得，所以，，同理可得，.所以直線