/云南省2025屆高三5月大聯(lián)考（新課標(biāo)卷）數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．命題“”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．4．已知方程，現(xiàn)從集合中隨機取出一個元素作為的值，記事件：表示的曲線為橢圓，事件：表示的曲線的焦點在軸上，則（

）A． B． C． D．5．已知向量，，且，則實數(shù)（

）A．-10 B．-6 C．5 D．116．已知，且，則（

）A． B．C． D．7．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，，，則（

）A．0 B．-1012 C．-2 D．10108．已知是雙曲線右支上一點，過點作的漸近線的垂線，垂足分別為點，，且點，分別在第一、第四象限.若為坐標(biāo)原點，四邊形的面積為定值，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．二、多選題9．已知實數(shù)滿足，復(fù)數(shù)，則（

）A．為純虛數(shù) B．的虛部為C． D．10．如圖，在正四棱錐中，為，的交點，為側(cè)棱的中點，為側(cè)棱上一點（異于，兩點），若，且，則（

）A． B．存在點，使得平面C．三棱錐的體積為 D．異面直線與所成角的余弦值的最小值為11．重冪在數(shù)學(xué)、計算機科學(xué)和物理學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.例如，在組合數(shù)學(xué)中，重冪運算可以用來計算排列和組合的數(shù)量；在算法設(shè)計中，重冪運算可以用來計算復(fù)雜度分析中的階乘和指數(shù)增長；在量子力學(xué)中，重冪運算可以用來表示量子態(tài)的多次疊加和演化.設(shè)，，定義，我們把“”稱作“的重冪”，例如，，，則（

）A． B．的最小值為1C． D．三、填空題12．記為等差數(shù)列的前項和，若，則.13．已知，分別為函數(shù)的兩個零點，則的最小值為.14．有一個摸球游戲，一個不透明口袋中裝有1個紅球和3個白球，這些球除顏色外其他完全相同，為了增加游戲的趣味性，需先拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子來確定摸球方式.若拋擲骰子得到的點數(shù)大于2，則一次摸出一個球，否則一次摸出2個球.摸到紅球就算中獎，游戲結(jié)束.若未中獎，需要把摸到的球放回口袋，重復(fù)上述過程.用隨機變量表示摸球的次數(shù)，記，則大于的最小整數(shù)為.四、解答題15．在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.（1）證明：；（2）若，，點在邊上，且，求的長.16．已知拋物線的焦點為，是上任意一點，的最小值為1.（1）求的方程；（2）設(shè)坐標(biāo)原點為，在點（異于點）處的切線交軸于點，求的最大值.17．自2020年以來，某地區(qū)人工智能核心產(chǎn)值規(guī)模呈快速增長態(tài)勢，下表給出了近5年該地區(qū)的人工智能核心產(chǎn)值規(guī)模（單位：億元）.年份20202021202220232024年份編號12345核心產(chǎn)值規(guī)模1.52.53.44.97.8（1）若用作為回歸模型，并已求得，，，求此模型下的決定系數(shù)（精確到0.01）.（2）若用作為回歸模型，①求的值；②已知該模型下的決定系數(shù)，請說明哪種回歸模型擬合效果更好，并用擬合效果好的模型預(yù)測2025年該地區(qū)的人工智能核心產(chǎn)值規(guī)模.參考數(shù)據(jù)：34.0216.16104.911.2422.541.11.511.4附：（1）上表中；（2）一組數(shù)據(jù)，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，決定系數(shù).18．如圖，四棱柱的底面為正方形，為的中點，，.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.19．已知函數(shù)滿足：①；②，是的導(dǎo)函數(shù)；③是的一次函數(shù).（1）求的表達式.（2）若同學(xué)甲已經(jīng)證得“當(dāng)為偶數(shù)時，的函數(shù)值恒大于0”是正確的結(jié)論.請在此基礎(chǔ)上幫他完成下面問題：①證明：當(dāng)為奇數(shù)時，有唯一零點；②在①的情況下，設(shè)的零點為，比較與的大小，并證明.

答案1．【正確答案】B【詳解】命題“”的否定是“，”.故選B.2．【正確答案】C【詳解】因為，，所以.故選C.3．【正確答案】D【詳解】由題意知角的終邊經(jīng)過點，則，故,故選D4．【正確答案】B【詳解】事件發(fā)生時，；事件發(fā)生時，；則，所以．故選B．5．【正確答案】D【詳解】因為，且，所以，解得.故選D6．【正確答案】C【詳解】對于A，因為是減函數(shù)，且，所以，故A錯誤；對于B，取，則，故B錯誤；對于C，因為是增函數(shù)，且，所以，故C正確；對于D，因為是增函數(shù)，且，所以，故D錯誤.故選C.7．【正確答案】C【詳解】已知為奇函數(shù)，所以且，因為，所以，則，函數(shù)的周期為4，因為，，，，所以，因為，前2024項和為，，所以.故選C8．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意畫出大致圖象為：雙曲線的漸近線方程為：，即.設(shè)，根據(jù)點到直線的距離公式可得：.因為直線垂直于漸近線，所以直線的斜率分別為.所以直線的方程為.聯(lián)立直線與漸近線的方程可求出點的坐標(biāo)為：，進而，聯(lián)立直線與漸近線的方程可求出點的坐標(biāo)為：，進而，所以四邊形的面積為：，因為點在雙曲線上，所以，化簡得，所以四邊形的面積為.又因為四邊形的面積為定值，則，所以，此時離心率為.故選A.9．【正確答案】BC【詳解】因為，所以，則，A錯誤；，的虛部為，B正確；，C正確；，D錯誤.故選BC10．【正確答案】AC【詳解】由題意，得．對于A，因為，所以，故A正確；對于B，假設(shè)存在點，使得平面．因為平面平面，所以平面．又平面平面，所以平面平面，而平面與平交，矛盾，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，如圖，取的中點，連接，則．顯然，所以異面直線與所成的角即為．由，得為正三角形，所以，所以，故D錯誤．故選AC．11．【正確答案】ACD【詳解】對于選項A，根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，，對于，先將變形，因為，所以，可得，所以，選項A正確.對于選項B，令，兩邊取自然對數(shù)可得.設(shè)，，對求導(dǎo)，.令，即，解得.當(dāng)時，，所以，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以，單調(diào)遞增.則在處取得最小值，，即，那么，所以的最小值為，而不是，選項B錯誤.對于選項C，令，則，，.采用反證法，假設(shè)存在，使得.因為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得，又因為，所以.同理可得，以此類推，重復(fù)上面操作有限次后，必會得到，但已知，這產(chǎn)生了矛盾，所以假設(shè)不成立，即不存在，使得，選項C正確.對于選項D，因為對于任意，恒成立，展開可得，即.根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，可得.所以，根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，選項D正確.故選ACD.12．【正確答案】【詳解】由，可得，所以，則，故.13．【正確答案】/【詳解】由題意得的零點，即為的解，，即得或，即或，對于，其中相鄰解之間距離為，對于，其中相鄰解之間距離為，當(dāng)在中取一解，在中取一解時，兩解之間的距離最小為，綜合以上可知的最小值為.14．【正確答案】3【詳解】設(shè)每次摸到紅球的概率為，則．由題意，知的可能取值為，則．設(shè)①，則②，①②得,所以，所以，所以大于的最小整數(shù)為3．15．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）由正弦定理，得．又，，所以，即，所以．又，所以．又，所以.（2）由，知．由，得．因為，所以即解得．16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)，則由題意，得，解得，所以的方程為；（2）在點處的切線，設(shè)直線的傾斜角分別為，聯(lián)立則，得，則，且，則，故，設(shè)直線的傾斜角分別為，則，又，所以，當(dāng)且時等號成立，即的最大值為.17．【正確答案】（1）（2）①，，②預(yù)測2025年該地區(qū)的人工智能核心產(chǎn)值規(guī)模為（億元）.【詳解】（1）由題意可得，所以決定系數(shù)（2）將兩邊取對數(shù)，可得，設(shè)，則模型為，其中，因為，所以，所以，則，所以，，因為該模型下的決定系數(shù)，大于線性模型下的決定系數(shù)，故指數(shù)模型擬合效果更好，令，可得（億元），故預(yù)測2025年該地區(qū)的人工智能核心產(chǎn)值規(guī)模為（億元）.18．【正確答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）在四棱柱中，根據(jù)棱柱的性質(zhì)，有.因為底面為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，由平行線的性質(zhì)可得.已知，且，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.由于，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，所以.（2）連接相交于點，連接，.因為底面為正方形，為的中點，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知.又，，平面，平面，由線面垂直的判定定理可得平面.因為平面，所以.已知，在四棱柱中，所以，在等腰三角形中，為中點，所以.又，平面，平面ABCD，可知平面.因為，所以以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由，可得正方形的對角線，則，所以，，，，，.進而可得，，，，.

連接，，因為，又，平面，平面，可知平面.易證平面平面，所以平面，則平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則由，即.令，將其代入，可得；再將，代入，可得，所以是平面的一個法向量.

設(shè)平面與平面的夾角為，根據(jù)向量的夾角公式.，，.則，即平面與平面夾角的余弦值.

19．【正確答案】（1）（