高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市虹口區(qū)2024屆高三下學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測試（二模）數(shù)學(xué)試卷一?填空題1.已知，則________；【答案】【解析】因為，所以故答案為：.2.已知球的表面積為,則該球的體積為______.【答案】【解析】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為．故答案為．3.過拋物線焦點的弦的中點橫坐標(biāo)為，則弦的長度為__________.【答案】【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，則，所以，所以.故答案為：.4.已知集合，則__________.【答案】【解析】，，所以.故答案為：.5.已知隨機變量，且，則__________.【答案】12【解析】隨機變量，，，則.故答案為：126.3個男孩和3個女孩站成一排做游戲，3個女孩不相鄰的站法種數(shù)為__________.【答案】144【解析】先將3個男孩站成一排，有種方法，將3個女孩插入3個男孩形成的4個空位中，有種方法，故一共有：種.故答案為：1447.已知一個三角形的三邊長分別為，，，則這個三角形外接圓的直徑為__________.【答案】【解析】不妨設(shè)中，，，由余弦定理，即，解得，又，所以，由正弦定理，即這個三角形外接圓的直徑為.故答案為：8.已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項和為，若成等差數(shù)列，則__________.【答案】3【解析】因為成等差數(shù)列，故，即，解得：或.因為等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，且，故.所以.故答案為：39.已知平面向量滿足，若平面向量滿足，則的最大值為__________.【答案】【解析】如圖，設(shè)，因為，所以，故，如圖，以點為原點，為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，表示兩點間的距離，所以的最大值為.故答案為：.10.從某個角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個對稱平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪廓為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點將圓O的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】設(shè)圓O半徑為r，雙曲線方程為因為，所以由題意可知，，代入方程，得解得，所以故答案為：11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點為棱的中點，點在上，則線段的長度和的最小值為__________.【答案】【解析】取的中點，連接、、、，因為點為棱的中點，所以，又且，所以為平行四邊形，所以，所以，即、、、四點共面，連接，，則，，因為底面為菱形，且，所以，所以，所以，所以，即，所以，將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點，則，又，在中，即，所以，即線段、的長度和的最小值為.故答案為：12.已知關(guān)于的不等式對任意均成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因為關(guān)于的不等式對任意均成立，①當(dāng)對任意均成立時，可得對任意均成立，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，又由對任意均成立，可得對任意均成立，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以，所以.②當(dāng)且對于任意均成立時，結(jié)合①可知且，此時無解.綜上可得，實數(shù)實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.二?多選題13.歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，被譽為“數(shù)學(xué)的天橋”.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由歐拉公式得，因此化為，則，即，所以.故選：A14.設(shè)，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則（）A.函數(shù)偶函數(shù)B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)D.函數(shù)在上的值域為【答案】D【解析】因為，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個單位得到，又，所以為奇函數(shù)，故A錯誤；因為，所以函數(shù)的圖像不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；當(dāng)時，因為在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上是嚴(yán)格增減函數(shù)，故C錯誤；當(dāng)時，所以，則，即函數(shù)在上的值域為，故D正確.故選：D15.給出下列4個命題：①若事件和事件互斥，則；②數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為10；③已知關(guān)于回歸方程為，則樣本點的離差為；④隨機變量的分布為，則其數(shù)學(xué)期望.其中正確命題的序號為（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】C【解析】對于①：因為事件和事件互斥，所以，故①錯誤；對于②：因為，所以第百分位數(shù)為從小到大排列的第個數(shù)，即可為，故②正確；對于③：因為，當(dāng)時，所以樣本點的離差為，故③正確；對于④：，故④錯誤.故選：C16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個命題：①對任意，都有；②若的值域為，則對任意都有.則下列判斷正確的是（）A.①②都是假命題 B.①②都是真命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是真命題，②是假命題【答案】B【解析】，故在上遞增，對于①，設(shè)，，設(shè)，，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，即，，即，故，故①是真命題.對于②，由①知，，即，，故.且在上遞增，故，，故的值域為所以，即，故，②是真命題.故選：B.三?解答題17.已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列前項和為，且，若，求正整數(shù)最小值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故；（2）由（1）可得，則，所以，則數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，因為，所以，所以，所以或，因為，所以，所以的最小值是．18.如圖，在三棱柱中，，為的中點，，.（1）求證：平面；（2）若平面，點在棱上，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，交于點，連接，為的中點，在平行四邊形中為的中點，是的中位線，可得，平面，平面，平面；（2）解：因為平面，平面，所以，，又，故以點C為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，因為平面，平面，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗符合題意.所以，則，又，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從汽車零件中隨機抽取100件作為樣本，測得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5457606366件數(shù)（單位：件）52146253（1）求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；（2）已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中全部零件的來自第1條生產(chǎn)線.若兩條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.016和0.012，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機抽取一件.（i）求抽取的零件為廢品的概率；（ii）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則.解：（1）由題意可知，則，所以；（2）（i）設(shè)事件表示“隨機抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，事件表示“隨機抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，事件表示“隨機抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，，，，所以；（ii）因為，所以，所以．20.已知橢圓的焦距為，點在橢圓上，動直線與橢圓相交于不同的兩點，且直線的斜率之積為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線為的法向量為，求直線的方程；（3）是否存在直線，使得為直角三角形？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.解：（1）由已知條件可知，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）因為直線為的法向量為，所以直線的斜率為，方程為，聯(lián)立，得，解得（舍去），從而，因為直線的斜率之積為1，所以直線的方程為，同理可得點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即；（3）假設(shè)存在滿足條件的直線，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，解得（舍去），因為直線的斜率之積為1，所以直線的方程為，同理可得，故直線的斜率，當(dāng)為直角三角形時，只有或，于是或，若，由，可得，從而，若，由，可得，從而，所以存在，直線的斜率為.21.若函數(shù)滿足：對任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）設(shè)，，分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)具有性質(zhì)，且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù).（1）解：不具有性質(zhì)，理由如下：取，有.具有性質(zhì)，理由如下：對任意，，有.（2）解：函數(shù)定義域為，又，所以是奇函數(shù)，函數(shù)具有性質(zhì)，故對，，都有，又為奇函數(shù)，故，即是嚴(yán)格增函數(shù)，恒成立.若，則，解得；若，則恒成立；若，則，解得；綜