2025屆吉林省吉林市東北三省教育教學(xué)聯(lián)合體5月聯(lián)考模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．樣本數(shù)據(jù)19，20，21，23，13，16，24，28的第75百分位數(shù)為（

）A．20 B．21 C．23 D．23.54．已知側(cè)棱長為，底面邊長為的正三棱錐，其內(nèi)切球球心為，球與球以及三棱錐的三個(gè)側(cè)面均相切，則（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．6．函數(shù)，若在有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與雙曲線在第一?三象限的交點(diǎn)分別為，則的周長為（

）A． B．8 C． D．8．莫比烏斯（Mobius）環(huán)是最具有代表性的單側(cè)曲面之一，它由德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯于1858年發(fā)現(xiàn).就是把一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘接起來做成的紙帶圈.現(xiàn)將一個(gè)長為30cm、寬為4cm的矩形紙條粘合兩端（粘合兩端重疊部分忽略不計(jì)），形成一個(gè)莫比烏斯環(huán)，如圖：

下列關(guān)于莫比烏斯環(huán)說法正確的是（

）A．一只小蟲在不跨過它的邊緣情況下沿著表面至少走30cm就能回到原處B．如果把它沿中線剪開（如圖白色線的部分），曲面被分成獨(dú)立的兩部分C．如果把它沿中線剪開（如圖白色線的部分），最終得到紙帶的邊緣周長為120cmD．一只小蟲在不跨過它的邊緣情況下不能爬遍整個(gè)曲面二、多選題9．我國1949年—2023年高中階段毛入學(xué)率和高等教育毛入學(xué)率變化如圖所示，可以判斷（

）A．2000年—2005年高中階段毛入學(xué)率增量高于1995年—2000年高中階段毛入學(xué)率增量B．2015年—2020年高等教育毛入學(xué)率增加了14.4%C．2015年—2020年高中階段入學(xué)人數(shù)低于2010年—2015年高中階段入學(xué)人數(shù)D．2023年高等教育入學(xué)人數(shù)是2015年高等教育入學(xué)人數(shù)的1.5倍10．某種積木的玩法是用不同形狀的積木穿過對應(yīng)的孔洞，來鍛煉兒童的手眼協(xié)調(diào)能力.一塊積木的形狀如圖所示，該積木由9個(gè)棱長為1cm的正方體構(gòu)成，在邊長為5cm的正方形木板上挖出下列四種形狀的孔洞（空白部分），則能使該積木從中穿過的為（

）A． B． C． D．11．在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、、后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），、為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．C．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區(qū)域的面積不大于32三、填空題12．若，則.13．已知圓錐與圓柱的底面半徑相等，它們的高也相等，若圓柱的底面積為，側(cè)面積為，則圓錐的表面積為.14．已知，，且動(dòng)點(diǎn)滿足.則的取值范圍為；若線段PM的垂直平分線與PA交于點(diǎn)Q，則的正切值的最大值為.四、解答題15．已知、、分別為斜中角、、的對邊，．（1）求；（2）已知的面積為，求的最小值．16．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面.

（1）證明：；（2）若為的中點(diǎn)，，求直線與平面所成角的正弦值.17．2025年4月24日，搭載“神舟二十號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機(jī)、電視等方式觀看有關(guān)新聞.某機(jī)構(gòu)將關(guān)注這件事的時(shí)間在2小時(shí)以上的人稱為“航天愛好者”，否則稱為“非航天愛好者”，該機(jī)構(gòu)通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行分析，得到下表（單位：人）：航天愛好者非航天愛好者合計(jì)女4060100男7030100合計(jì)11090200（1）能否有99%的把握認(rèn)為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從這100名男生與100名女生中，按“航天愛好者”和“非航天愛好者”這兩種類型分別進(jìn)行分層抽樣抽取男生10人，女生5人.將這15人中航天愛好者記為A組，非航天愛好者記為B組.現(xiàn)從這兩組中各任意選取一人進(jìn)行交換，求經(jīng)過一次交換后，A組中女生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中，0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的值域；（2）證明：曲線與在點(diǎn)處存在公切線.19．17世紀(jì)，牛頓在《流數(shù)法與無窮級數(shù)》一書中，給出了代數(shù)方程的一種數(shù)值解法：如圖所示，我們想要找到fx=0的根，即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可以先在A點(diǎn)附近取一個(gè)初始值，比如橫坐標(biāo)為x=x0處，然后在以x0為橫坐標(biāo)的B點(diǎn)處做一條切線，并求出該切線與x軸的交點(diǎn)x1，此時(shí)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)x1比初始值x0更接近A點(diǎn)．如果重復(fù)這個(gè)過程，不斷繪制切線并計(jì)算其與x軸的交點(diǎn)，依次迭代下去，我們將得到x2,x3,x4,?,xn,?，根據(jù)給定的精確度ξ，(1)根據(jù)牛頓迭代法，求x1(2)求xn+1與xn的關(guān)系式(3)牛頓迭代法中蘊(yùn)含了“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想，直線常常取曲線的切線或割線．若gx=xlnx-x2+

參考答案1．【答案】B【詳解】由，即，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，則.故選B2．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?故選C3．【答案】D【詳解】樣本數(shù)據(jù)從小到大排列為13，16，19，20，21，23，24，28，共8個(gè)數(shù)據(jù)，所以，則第75百分位數(shù)為.故選D.4．【答案】B【詳解】設(shè)球的半徑為，三棱錐的表面積為，則，解得，又由，且，可得，設(shè)在底面內(nèi)的射影為，因?yàn)樵谏?，在上取點(diǎn)，使得，過作平面的平行平面，交，，于點(diǎn)G，T，H，如圖所示，則也是正三棱錐，球即為該三棱錐的內(nèi)切球，又因?yàn)?，設(shè)球的半徑為，則，所以，所以.故選B.5．【答案】B【詳解】由是偶函數(shù)，得，展開并整理得：，根據(jù)二倍角公式得：，整理得：，結(jié)合，得，代入，，則，利用積化和差公式：化簡得：，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故選B6．【答案】B【詳解】由，則，令，得或，當(dāng)，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上沒有最大值，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，令，得或，令，得，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則在沒有最大值，不符合題意；當(dāng)，即時(shí)，令，得或，令，得，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，要使在有最大值，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選B.7．【答案】C【詳解】設(shè)，由在以為直徑的圓上可得，所以，四邊形為矩形，則，由雙曲線，得，所以，又由雙曲線的定義有，所以，得，所以，即，而，所以，所以的周長為.故選C.8．【答案】C【詳解】

解法一對于選項(xiàng)A：一只小蟲在不跨過它的邊緣情況下沿著表面走30?cm，則會(huì)發(fā)現(xiàn)小蟲來到“另一面”，需要在繼續(xù)前進(jìn)30cm，才能回到原處，也就是說至少要走60cm才能回到原處，故A錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)B：設(shè)想從白線的一側(cè)某處出發(fā)，并且永遠(yuǎn)在這一側(cè)，向著一個(gè)方向前進(jìn)，走完30cm到達(dá)了背面的白線的對側(cè)，需要再前進(jìn)30cm剛好回到原點(diǎn)，因此剪開后得到的仍然是一個(gè)環(huán)帶，沒有分成兩部分，把莫比烏斯帶沿中線剪開后不會(huì)分成兩個(gè)獨(dú)立部分，而會(huì)得到一個(gè)長度加倍且360°扭轉(zhuǎn)對接的環(huán)帶，故B錯(cuò)誤;對于選項(xiàng)C：沿中線剪開后得到的環(huán)帶長是60?cm，其邊緣周長是60cm2＝120?cm，故C正確;對于選項(xiàng)D：實(shí)際走一走，可以看出小蟲在不跨越邊緣的情況下可以爬遍整個(gè)曲面，故D錯(cuò)誤.故選C.解法二如圖1標(biāo)記原紙帶的正面的四個(gè)角,起始端線和終止端線的中點(diǎn)分別記做,

其背面的相應(yīng)點(diǎn)依次記做小寫的字母表示相應(yīng)的線段.圖2是第一次扭轉(zhuǎn)180°粘接后的莫比烏斯環(huán)的兩面沿剪斷后展開圖，圖3是從中間白線剪開后的紙環(huán)沿剪斷后的展開圖，從圖可以看出，小蟲在不跨越它的邊緣的情況下沿表面至少要走60cm才能回到原處，此時(shí)也正好爬遍整個(gè)曲面；沿中間線剪開后的紙帶是如圖3所示的矩形，扭轉(zhuǎn)2個(gè)180°的環(huán)，其周長為矩形的上下兩邊線的和，總長為120cm；故選C.

故選C.9．【答案】AB【詳解】2000年—2005年高中階段毛入學(xué)率增量為，1995年—2000年高中階段毛入學(xué)率增量為，故A正確；2015年—2020年高等教育毛入學(xué)率增加了，故B正確，由圖中只能知道入學(xué)率，沒有人數(shù)基數(shù)，故CD錯(cuò)誤.故選.10．【答案】ABC【詳解】根據(jù)所給空間幾何體的形狀，可得空間幾何體利用現(xiàn)在放置方式能通過C，現(xiàn)在放置方式由在向物體后方旋轉(zhuǎn)90度可通過B，由現(xiàn)在位置向右旋轉(zhuǎn)90度再向后方旋轉(zhuǎn)180度可通過A，以任何方式均不能通過D.故選ABC.11．【答案】ACD【詳解】對于A，由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，故A正確；對于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由，解得或，即，代入可得，即由圖象的對稱性，可得，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由，可得，且方程即為，解得，，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線與拋物線相切，聯(lián)立可得，由，可得，此時(shí)方程即為，解得，，此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為，兩切點(diǎn)連線的斜率為，即切點(diǎn)的連線與直線平行或重合，故當(dāng)、時(shí)，取最大值，且其最大值為，即直線截第一象限花瓣的弦長最大值為，故C正確；對于D，根據(jù)對稱性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，對函數(shù)求導(dǎo)得，則拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，令，可得，該切線交軸于點(diǎn)，所以半個(gè)花瓣的面積必小于，故原圖中的陰影部分面積必小于，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】令，可得：，令，可得：，所以，所以.13．【答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，圓錐的母線長為，則由，得，又由，得，所以圓錐的母線長，所以圓錐的側(cè)面積，則圓錐的表面積.14．【答案】/【詳解】，，，.以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則因?yàn)?，所以，整理得，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓.；線段PM的垂直平分線與PA交于點(diǎn)Q，，點(diǎn)的軌跡是以A，M為焦點(diǎn)、長軸長為2、短軸長為的橢圓，所以該橢圓的方程為，當(dāng)QB與橢圓相切時(shí)，的正切值最大，設(shè)直線的斜率為k，則，直線的方程為，聯(lián)立，令，即，所以的正切值最大為.15．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，即，因?yàn)闉樾比切?，所以，故，由正弦定理可得．?）由（1）知，，所以，所以，即，因?yàn)?，則，故，所以，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值．16．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：連接，

是菱形，是對角線，，又平面平面，，又平面平面，平面，又平面.（2）取中點(diǎn)，連接，則，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

令，則，，設(shè)平面的法向量為，由，得，得，.17．【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關(guān)（2）分布列見解析，【詳解】（1）所以有99.9%的把握認(rèn)為“航天愛好者”或“非航天愛好者”與性別有關(guān).（2）按分層抽樣，100名男生中，抽取“航天愛好者”有7人，“非航天愛好者”有3人，100名女生中，抽取“航天愛好者”有2人，“非航天愛好者”有3人.故A組有男生7人，女生2人，B組有男生3人，女生3人.從這兩組中各任意選取一人進(jìn)行交換，經(jīng)過一次交換后，A組中女生人數(shù)為，則的可能值為1，2，3.，，.X的分布列如下表：123.18．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）若，則，得，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上的值域?yàn)椋?）證明：由，得，則，又，故在點(diǎn)處的切線方程為．同理，由，得，則，又，故在點(diǎn)處的切線方程為，所以與在處存在公切線．19．【答案】(1)-1(2)x(3)證明見解析【詳解】（1）fx=ex-當(dāng)x0=1時(shí)，fx因此切線l:y-e-1當(dāng)y=0時(shí)，可得