不確定下的

均值-方差分析證券組合選擇問(wèn)題投資過(guò)程的兩個(gè)重要任務(wù)：證券分析和市場(chǎng)分析：評(píng)估所有可能的投資工具的風(fēng)險(xiǎn)和期望回報(bào)率特性給定證券市場(chǎng)，投資者確定最優(yōu)的證券組合：從可行的投資組合中確定最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)-回報(bào)機(jī)會(huì)，然后決定最優(yōu)的證券組合選擇的目標(biāo)：使得均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上無(wú)差異曲線的效用盡可能的大選擇的對(duì)象：均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的可行集證券組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的顯示通過(guò)分析資本市場(chǎng)，一個(gè)中心的事實(shí)是，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)平均來(lái)說(shuō)高于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)，而且回報(bào)越高，風(fēng)險(xiǎn)越大。

Markowitznotesthatthiswouldgenerallybeanunwisedecisionbecausethetypicalinvestor,althoughwanting“returnstobehigh”,alsowants“returnstobeascertainaspossible.”Thismeansthattheinvestor,inseekingtobothmaximizeexpectedreturnandminimizeuncertainty,hastwoconflictingobjectivesthatmustbebalancedagainsteachotherwhenmakingthepurchasingdecisionatt=0.Oneinterestingconsequenceofhavingthesetwoconflictingobjectivesisthattheinvestorshoulddiversifybypurchasingnotjustonesecuritybutseveral.

一期投資模型：投資者在期初投資，在期末獲得回報(bào)。一期模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)的一種近似，如對(duì)零息債券、歐式期權(quán)的投資。雖然許多問(wèn)題不是一期模型，但作為一種簡(jiǎn)化，對(duì)一期模型的分析是分析多期模型的基礎(chǔ)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常有三種方法用來(lái)處理不確定性問(wèn)題：（1）效用函數(shù)分析；（2）均值-方差分析；（3）套利分析。均衡定價(jià)：供給等于需求均值-方差分析套利定價(jià)雖然建立在期望效用最大化基礎(chǔ)之上的資產(chǎn)定價(jià)和消費(fèi)選擇是一種非常廣泛和完美的方法，但是，在實(shí)際中，完全刻畫一個(gè)人在所有不同狀態(tài)下的效用幾乎是不可能的，所以這種方法缺乏實(shí)際的可操作性。Markowitz(1952)提出的資產(chǎn)選擇的均值-方差模型。盡管均值-方差不能用來(lái)完全刻畫個(gè)體的偏好，但由于它的靈活性以及經(jīng)驗(yàn)上的可檢驗(yàn)性，均值-方差分析得到了廣泛的應(yīng)用。

1.一些基本概念回報(bào)率以回報(bào)率而不是價(jià)格作為研究對(duì)象。由于期末的收益是不確定的，所以回報(bào)率為隨機(jī)變量。價(jià)格與回報(bào)率之間是一一決定的關(guān)系，給定價(jià)格，就可算出回報(bào)率，反過(guò)來(lái)，給出了回報(bào)率，就可決定價(jià)格。在以下的章節(jié)里，通常以回報(bào)率為研究對(duì)象，并假設(shè)，字母（或者字母上加一波浪線）表示隨機(jī)變量，字母上加一橫線表示期望值。由于違約和通貨膨脹等不確定因素，證券市場(chǎng)并不存在絕對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券。我們只是把那些風(fēng)險(xiǎn)相對(duì)小的證券視為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，而我們能夠進(jìn)行投資的絕大多數(shù)證券是有風(fēng)險(xiǎn)的。風(fēng)險(xiǎn)利用回報(bào)率的方差或者標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)度量期望回報(bào)率利用回報(bào)率的期望值來(lái)刻畫收益率證券組合的回報(bào)率假設(shè)有種可得的不同資產(chǎn)，我們把初始財(cái)富分成份，投資到這種資產(chǎn)上，設(shè)為投資在第i

種資產(chǎn)上的財(cái)富,；如果以比例表示，則為，為投資在第

i種資產(chǎn)上的財(cái)富的份額，，以表示第i種資產(chǎn)的回報(bào)率，則到期末,由i產(chǎn)生的收益為或者，從而該證券組合的總收益為，該證券組合的回報(bào)率為例子：表4-1：計(jì)算證券組合的期望回報(bào)率（1）證券和證券組合的值證券在證券組合每股的初始在證券組合初始名稱

中的股數(shù)

市場(chǎng)價(jià)格

總投資

市場(chǎng)價(jià)值中的份額

A 100 40元 4,000元 4,000/17,000=0.2325 B 200 35元 7,000元 7,000/17,200=0.4070

C 100 62元 6,200元 6,200/17,200=0.3605

證券組合的初始市場(chǎng)價(jià)值=17,200元

總的份額=1.0000

在表4-1（1）中，假設(shè)投資者投資的期間為一期，投資的初始財(cái)富為17200元，投資者選擇A、B、C三種股票進(jìn)行投資。投資者估計(jì)它們的期望回報(bào)率分別為16.2%，24.6%，22.8%。這等價(jià)于，投資者估計(jì)三種股票的期末價(jià)格分別為46.48元[因?yàn)?46.48-40)/40=16.2%]，43.61元[因?yàn)?3.61-35/35=24.6%]，76.14元[因?yàn)?6.14-62/62=22.8%]。證券組合期望回報(bào)率有幾種計(jì)算方式，每種方式得到相同的結(jié)果。（2）利用期末價(jià)格計(jì)算證券組合的期望回報(bào)率證券在證券組合每股的期末名稱 中的股數(shù)預(yù)期價(jià)值總的期末預(yù)期價(jià)值

A 100 46.48元 46.48元

100=4,648元 B 200 43.61元 43.61元

200=8,722元 C 100 76.14元 76.14元

100=7,614元

證券組合的期末預(yù)期價(jià)值=20,984元 證券組合的期望回報(bào)率=(20,984元-17,200元)/17,200元=22.00% 在表4-1（2）中，先計(jì)算證券組合的期末期望價(jià)值，再利用計(jì)算回報(bào)率的公式計(jì)算回報(bào)率，即，從證券組合的期末期望價(jià)值中減去投資的初始財(cái)富，然后用去除這個(gè)差。盡管這個(gè)例子里只有三種證券，但這種方法可以推廣到多種證券。（3）利用證券的期望回報(bào)率計(jì)算證券組合的期望回報(bào)率證券在證券組合初證券的在證券組合的期望名稱 始價(jià)值中份額期望收益率 回報(bào)率所起的作用 A 0.232516.2%0.2325

16.2%=3.77% B 0.407024.6%0.4070

24.6%=10.01% C 0.360522.850.3605

22.8%=8.22%

證券組合的期望回報(bào)率==22.00% 在表4-1（3）中，把證券組合期望回報(bào)率表示成各個(gè)股票期望回報(bào)率的加權(quán)和，這里的權(quán)是各種股票在證券組合中的相對(duì)價(jià)值。正如我們?cè)谏媳碇锌吹降?，我們既可以用證券組合中各種證券的數(shù)量來(lái)表示證券組合，也可以用證券組合中各種證券所占證券組合初始價(jià)值的份額來(lái)表示證券組合。在上表中，我們既可用（100，200，100）來(lái)表示該證券組合，也可用（0.2325，0.4070，0.3605）來(lái)表示。證券組合回報(bào)率的方差和標(biāo)準(zhǔn)差方差標(biāo)準(zhǔn)差例子：對(duì)于前面的A，B，C三種證券這里表示證券和之間的協(xié)方差。假設(shè)A，B，C三種證券的方差-協(xié)方差矩陣為則證券組合的方差為證券形成地組合的回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差不大于單個(gè)證券回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。分散化(Diversification)只要，則兩個(gè)證券形成地證券組合回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差小于單個(gè)證券回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。只要證券相互之間地相關(guān)系數(shù)小于1，則證券形成地證券組合回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差小于單個(gè)證券回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差的加權(quán)平均。兩個(gè)證券組合回報(bào)率之間的協(xié)方差證券組合1：證券組合2：證券組合1、2之間的協(xié)方差為2.兩個(gè)假設(shè)假設(shè)1：所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，且都是非滿足者；投資者投資時(shí)只關(guān)心證券組合收益率的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，即，投資者首先估計(jì)每個(gè)證券組合回報(bào)率的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，再以這兩個(gè)參數(shù)為參照物選擇最優(yōu)的證券組合，即，投資者的效用函數(shù)具有如下形式：

圖4-1：風(fēng)險(xiǎn)回避者的無(wú)差異曲線假設(shè)2：所有風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的無(wú)差異曲線如圖1所示，在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上，為嚴(yán)格增的凸函數(shù)，并且，越在西北方向的無(wú)差異曲線，其效用越高。3.不具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的資本市場(chǎng)中的證券組合選擇假設(shè)在無(wú)摩擦市場(chǎng)上存在

N

種可交易風(fēng)險(xiǎn)證券，所有資產(chǎn)回報(bào)率的期望和方差均有限且期望互不相等。這N

種可交易風(fēng)險(xiǎn)證券的回報(bào)率以向量表示，表示期望值向量。而這N

種可交易風(fēng)險(xiǎn)證券回報(bào)率的協(xié)方差矩陣以表示證券組合的期望收益率和方差給定證券組合期望回報(bào)率方差當(dāng)證券的種類越來(lái)越多時(shí)，證券組合回報(bào)率的方差的大小越來(lái)越依賴于證券之間的協(xié)方差而不是證券的方差。3.1可行集可行集由N種可交易風(fēng)險(xiǎn)證券中的任意K種形成的證券組合構(gòu)成的集合稱為可行集。在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上來(lái)刻畫可行集。例子：兩種證券形成的可行集假設(shè)證券1的期望回報(bào)率，標(biāo)準(zhǔn)差為；證券2的的期望回報(bào)率，標(biāo)準(zhǔn)差為。設(shè)由證券1、2形成的證券組合分別有證券組合的期望回報(bào)率假設(shè)證券1、2收益率的相關(guān)系數(shù)為，則證券組合回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差為

每個(gè)證券組合回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差的上、下界證券組合D：上界在=1時(shí)達(dá)到，下界在=-1時(shí)達(dá)到例子；=0.5，0.1證券組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差的上下界證券組合收益率的標(biāo)準(zhǔn)差的上下界下界上界下界分散化導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)縮小。實(shí)際的可行集——一維雙曲線=-1=1=0=-0.1可行集的方程假設(shè)=0，由1、2兩種證券形成的可行集在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的表示。證券組合的期望回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差為通過(guò)找出與之間的關(guān)系可行集的方程得到為一雙曲線最小方差證券組合MVP(minimum-varianceportfolio)三種以上證券形成的可行集可行集的兩個(gè)重要性質(zhì)（1）只要N不小于3，可行集對(duì)應(yīng)于均值-標(biāo)方差平面上的區(qū)域?yàn)槎S的。（2）可行集的左邊向左凸。可行集三種證券形成可行集的例子三點(diǎn)形成地區(qū)域3.2有效集定理有效集定理投資者從滿足如下條件的證券組合可行集中選擇他的最優(yōu)證券組合：（1）對(duì)給定的回報(bào)，風(fēng)險(xiǎn)水平最小（2）對(duì)給定的風(fēng)險(xiǎn)水平，回報(bào)最大；滿足上面兩個(gè)條件的證券組合集稱為有效集。下面分兩步把有效集定理應(yīng)用到可行集上，得到投資者最優(yōu)的可投資集。3.3把有效集定理第一條應(yīng)用到可行集給定期望回報(bào)率，找方差最小的證券組合

證券組合前沿定義：一個(gè)證券組合稱為前沿證券組合，如果它在所有具有相同期望回報(bào)率的證券組合中具有最小方差。定義：所有前沿證券組合構(gòu)成的集合稱為證券組合前沿。證券組合前沿的性質(zhì)性質(zhì)1：整個(gè)證券組合前沿可以由任何兩個(gè)前沿證券組合生成。性質(zhì)2：前沿證券組合的任何凸組合仍然在證券組合前沿上。證券組合前沿的方程任意前沿證券組合的回報(bào)率的期望和標(biāo)準(zhǔn)差滿足如下方程：在期望-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的證券組合前沿單個(gè)證券與證券組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的位置3.4把有效集定理的第二條應(yīng)用到證券組合前沿在證券組合前沿上，給定風(fēng)險(xiǎn)，找期望回報(bào)率最高的證券組合。有效集和非有效集最小方差證券組合定義：比最小方差證券組合回報(bào)高的前沿證券組合稱為有效證券組合，既不是最小方差證券組合又不是有效證券組合的前沿證券組合稱為非有效證券組合。問(wèn)題：先利用第二條，再利用第一條，得到的有效集是否一樣？3.5只有兩種證券時(shí)的特例假設(shè)市場(chǎng)上只存在兩種證券A和B。A具有較高的期望回報(bào)率和較高的標(biāo)準(zhǔn)差。相關(guān)系數(shù)3.5只有兩種證券時(shí)的特例

可行集、證券組合前沿和有效集期望回報(bào)率

A

MVPB

標(biāo)準(zhǔn)差不同相關(guān)系數(shù)時(shí)的證券組合前沿相關(guān)系數(shù)越小，曲線彎曲越厲害。極限狀況每對(duì)證券只有一個(gè)相關(guān)系數(shù)。當(dāng)只有兩種證券時(shí)，可行集與證券組合前沿一致問(wèn)題：如果證券A

的期望回報(bào)率高于證券B

的期望回報(bào)率，而標(biāo)準(zhǔn)差小于B

的標(biāo)準(zhǔn)差，這時(shí)的可行集、證券組合前沿和有效集是什么？4.具有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的資本市場(chǎng)中的證券組合選擇

買賣債券只不過(guò)是手段，而實(shí)質(zhì)是存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的市場(chǎng)。是否存在真正意義上的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)借貸的市場(chǎng)indexbond假設(shè)在無(wú)摩擦市場(chǎng)上存在N

種可交易風(fēng)險(xiǎn)證券和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券。以表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。步驟首先利用例子分三步討論：只允許購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券只允許賣出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券可以自由交易其次，推廣到一般情形4.1只允許購(gòu)買無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券例子：前面的A，B，C三種證券期望回報(bào)率向量為把無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券當(dāng)作第4種證券，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為方差-協(xié)方差矩陣為首先考慮證券A和證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集5種證券組合證券組合的期望回報(bào)率和標(biāo)準(zhǔn)差期望回報(bào)率標(biāo)準(zhǔn)差由證券A和證券4構(gòu)成的5種證券組合的期望回報(bào)率和標(biāo)準(zhǔn)差由證券A和證券4構(gòu)成的5種證券組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的圖示其次，考慮一個(gè)證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集。證券組合5由證券A、C構(gòu)成證券組合5的期望回報(bào)率、標(biāo)準(zhǔn)差為證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券組合5從A變到C證券A、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集最后考慮由A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集投資者最優(yōu)證券組合選擇部分投資在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券上全部投資在風(fēng)險(xiǎn)證券上4.2只允許出售無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券首先考慮證券A和證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集4種證券組合由證券A和證券4構(gòu)成的4種證券組合的期望回報(bào)率和標(biāo)準(zhǔn)差由證券A和證券4構(gòu)成的9種證券組合在均值-標(biāo)準(zhǔn)差平面上的圖示其次，考慮一個(gè)證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集。證券組合5由證券A、C構(gòu)成證券組合5的期望回報(bào)率、標(biāo)準(zhǔn)差為證券組合5與證券4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券組合5從A變到C證券A、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集證券A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集最后考慮由A、B、C、4形成的可行集、證券組合前沿、有效集投資者最優(yōu)證券組合選擇賣出無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券全部投資在風(fēng)險(xiǎn)證券上4.3無(wú)限制的借貸如何求這個(gè)切點(diǎn)4.4推廣到一般情形N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)形成的證券組合前沿方程N(yùn)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)形成的證券組合前沿N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)形成的證券組合前沿方程PassivestrategiesA