專題01絕對值化簡的五種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 2類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值 2類型二、非負(fù)性化簡絕對值 4類型三、求解絕對值方程 5類型四、分類討論化簡 8類型五、幾何意義化簡絕對值 11壓軸能力測評（12題） 17解題知識必備1.絕對值的意義絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作．2.絕對值的性質(zhì)絕對值表示的是點到原點的距離，故有非負(fù)性≥0，即：．互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等．3.絕對值與數(shù)的大小正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)．理解：絕對值是指距離原點的距離．所以：兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小；兩個正數(shù)，絕對值大的大．壓軸題型講練類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值例1.（23-24六年級下·黑龍江綏化·期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡．【變式訓(xùn)練1-1】（22-23七年級上·云南保山·期中）有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，

化簡：．【變式訓(xùn)練1-2】（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示：(1)1，b2，_____2（填“”或“”）(2)化簡：．【變式訓(xùn)練1-3】（23-24六年級下·北京海淀·期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0．(2)化簡：．類型二、非負(fù)性化簡絕對值例2．若，則的范圍為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2-1】若x是一個有理數(shù)，且，則（

）A． B． C．4 D．-2【變式訓(xùn)練2-2】若，且，求的值．類型三、求解絕對值方程例3.（22-23六年級上·山東淄博·階段練習(xí)）閱讀下列材料：我們知道|x|的幾何意義是數(shù)軸上數(shù)x的對應(yīng)點與原點之間的距離，即，也可以說，|x|表示數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離．這個結(jié)論可以推廣為表示數(shù)軸上數(shù)x1與數(shù)x2對應(yīng)點之間的距離．例1：已知，求x的值．解：在數(shù)軸上與原點距離為2的點表示的數(shù)為和2，所以x的值為或2．例2：已知，求x的值．解：在數(shù)軸上與1對應(yīng)的點的距離為2的點表示的數(shù)為3和，所以x的值為3或．仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．(1)；(2)．【變式訓(xùn)練3-1】（23-24七年級上·吉林長春·期末）“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，它可以把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來解決問題．探究：方程，可以用兩種方法求解，將探究過程補(bǔ)充完整．方法一、當(dāng)時，；當(dāng)時，___________．方法二、的意義是數(shù)軸上表示x的點與表示___________的點之間的距離是2．上述兩種方法，都可以求得方程的解是___________．應(yīng)用：根據(jù)探究中的方法，求得方程的解是__________．拓展：方程的解是___________．【變式訓(xùn)練3-2】（23-24七年級上·貴州黔南·期末）知識理解：同學(xué)們，我們在絕對值一節(jié)的學(xué)習(xí)中知道，一般的，數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，絕對值符號中含有未知數(shù)的方程叫做絕對值方程．像，，都叫做絕對值方程，對于絕對值方程，我們根據(jù)絕對值的定義求出未知數(shù)的值．例如：（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)0的距離為5個單位長度，所以，或，對應(yīng)的數(shù)有兩個，分別是5和．解：因為，所以，或．（1）表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)3的距離為5個單位長度，所以，或，對應(yīng)的數(shù)有兩個，分別是8和．解：因為，所以，或，解得：或．知識應(yīng)用：（1）求出下列未知數(shù)的值．；．（2）知識探究：直接寫出的最小值．類型四、分類討論化簡例4.（2023春·黑龍江綏化·六年級綏化市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎?、均為不等式0的有理數(shù)，則的值為．【變式訓(xùn)練4-1】（2023秋·七年級單元測試）若，則．【變式訓(xùn)練4-2】（2023秋·河南南陽·七年級南陽市實驗中學(xué)校考期末）已知、，那么＝【變式訓(xùn)練4-3】（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習(xí)）（1）若，；若，；（2）若，則＝；（3）若，則．類型五、幾何意義化簡絕對值例5.（23-24七年級上·浙江金華·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)實驗室：點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是；(2)數(shù)軸上若點A表示的數(shù)是x，點B表示的數(shù)是，則點A和B之間的距離是，若，那么x為；(3)利用數(shù)軸，求的最小值；(4)當(dāng)x是時，代數(shù)式；【變式訓(xùn)練5-1】（23-24七年級上·安徽蕪湖·期中）觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點間的距離：3與5，4與，與．并回答下列各題：(1)數(shù)軸上表示4和兩點間的距離是______；表示和兩點間的距離是______．(2)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為．①數(shù)軸上A、B兩點間的距離可以表示為______（用含x的代數(shù)式表示）；②如果數(shù)軸上A、B兩點間的距離為，求x的值．(3)直接寫出代數(shù)式的最小值為______．【變式訓(xùn)練5-2】（23-24七年級上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，若點、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，、兩點之間的距離表示為．則．所以式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)的點與表示有理數(shù)的點之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)若，則；(2)若，則；(3)式子的最小值為；(4)若，則；(5)式子的最小值為，此時．【變式訓(xùn)練5-3】（23-24七年級上·云南·階段練習(xí)）（1）探索材料（填空）：數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點距離為；①數(shù)軸上表示數(shù)3和的兩點距離為；②則的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)和這兩點的距離．（2）實際應(yīng)用（填空）：①如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個加工點A和B，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點P往兩個加工點輸送材料才能使P到A的距離與P到B的距離之和最小；②如圖2，在工廠的一條流水線上有三個加工點A，B，C，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點P往三個加工點輸送材料才能使P到A，B，C三點的距離之和最小；③如圖3，在工廠的一條流水線上有四個加工點A，B，C，D，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點P往四個加工點輸送材料才能使P到A，B，C，D四點的距離之和最?。?）結(jié)論應(yīng)用（填空）；①代數(shù)式的最小值是；②代數(shù)式的最小值是；③代數(shù)式的最小值是．壓軸能力測評（12題）一、單選題1．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）能使式子成立的數(shù)是（

）A．任意一個正數(shù) B．任意一個負(fù)數(shù)C．任意一個非正數(shù) D．任意一個非負(fù)數(shù)2．（23-24七年級上·江蘇徐州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．一定是負(fù)數(shù)B．只有兩個數(shù)相等時，它們的絕對值才相等C．若，則a與b一定互為相反數(shù)D．若，則是非正數(shù)3．（23-24六年級下·上海楊浦·期中）如圖，在數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)數(shù)軸a、b，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（23-24七年級下·湖北孝感·階段練習(xí)）若，則．5．（23-24七年級上·四川南充·階段練習(xí)）若，求代數(shù)式．6．（2024六年級下·上?！ｎ}練習(xí)）若，；若，；①若，則；②若，則．三、解答題7．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）（1）如果，，且a，b異號，求a、b的值．（2）若，，且，求a，b的值．8．（23-24七年級上·四川自貢·階段練習(xí)）有些含絕對值的方程，可以通過討論去掉絕對值，轉(zhuǎn)化成一元一次方程求解．例如：解方程，解：當(dāng)時，方程可化為：，解得，符合題意；當(dāng)時，方程可化為：，解得，符合題意．所以，原方程的解為或．請根據(jù)上述解法，完成以下問題：解方程：；9．（24-25七年級上·全國·隨堂練習(xí)）在數(shù)軸上，a，b，c對應(yīng)的數(shù)如圖所示，．(1)確定符號：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0；(2)化簡：；(3)化簡：．10．（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題:(1)已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)時，則；當(dāng)時，則.(2)已知a，b，c是有理數(shù)，，，求的值.(3)已知a，b，c是有理數(shù)，當(dāng)時，求的值.11．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，揭示了數(shù)與點之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．我們知道，可以理解為，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進(jìn)一步地，數(shù)軸上的兩個點、，分別用數(shù)、表示，那么，兩點之間的距離為，反過來，式子的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)的點之間的距離．若數(shù)軸上點表示數(shù)，請回答下列問題：(1)如果，那么的值是_____；(2)如果，那么的值是_____；(3)滿足整數(shù)有____個；(4)如果，那么的值是_____；(5)的最小值是_____．12．（23-24六年級下·黑龍江綏化·期中）數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于．例如數(shù)軸上表示數(shù)2和5的兩點距離為；數(shù)軸上表示數(shù)3和的兩點距離為；由此可知的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)6和這兩點的距離；的意義可理解為數(shù)軸上表示數(shù)x和這兩點的距離；(1)如圖1，在工廠的一條流水線上有兩個加工點A和B，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點P往兩個加工點輸送材料，材料供應(yīng)點P應(yīng)設(shè)在_________時，才能使P到A的距離與P到B的距離之和最??？(2)如圖2，在工廠的一條流水線上有三個加工點，要在流水線上設(shè)一個材料供應(yīng)點P往三個加工點輸送材料，材料供應(yīng)點P應(yīng)