專項11二次函數(shù)與幾何綜合面積問題【方法1直接法】一般以坐標軸上線段或以與軸平行的線段為底邊【方法2鉛錘法】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據(jù)C、D坐標求得鉛垂高（5）【方法3其他面積方法】如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．如圖1如圖2如圖3【方法4利用相似性質(zhì)】利用相似圖形，面積比等于相似比的平方?！痉椒?鉛錘法求面積】【典例1】（聊城）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交于點C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動直線l，沿x軸正方向從O運動到B（不含O點和B點），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點P，D，E．（1）求拋物線的表達式；（2）作PF⊥BC，垂足為F，當直線l運動時，求Rt△PFD面積的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8（2）【解答】解：（1）將點A、B、C的坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+8；（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y軸，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽Rt△BCO，∴，∴S△PDF＝?S△BOC，而S△BOC＝OB?OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝?S△BOC＝PD2，即當PD取得最大值時，S△PDF最大，將B、C坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：直線BC的表達式為：y＝﹣2x+8，設(shè)點P（m，﹣m2+2m+8），則點D（m，﹣2m+8），則PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，當m＝2時，PD的最大值為4，故當PD＝4時，∴S△PDF＝PD2＝【變式11】（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3（2）①﹣m2+m+3②【解答】解：（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點D坐標代入上式并解得：a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），①當點P在第三象限時，設(shè)直線PD與y軸交于點G，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝sx+t并解得：直線PD的表達式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②當點P在第四象限時，設(shè)PD交y軸于點M，同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，綜上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當m＝時，其最大值為；【變式12】（2021秋?龍江縣校級期末）綜合與探究如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；（2）請在拋物線的對稱軸上找一點P，使AP+PC的值最小，此時點P的坐標是（，）；（3）點Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．（4）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A、C、M、N四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；（2）如圖1中，由題意A，B關(guān)于拋物線的對稱軸直線x＝對稱，連接BC交直線x＝于點P，連接PA，此時PA+PC的值最小，最小值為線段BC的長＝＝4，∵直線BC的解析式為y＝﹣x+4，∴x＝時，y＝﹣+4＝，∴此時P（，）．故答案為：（，）；（3）設(shè)Q（m，﹣m2+3m+4）過Q作QD⊥x軸，交BC于點D，則D（m，﹣m+4），∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∵B（4，0），∴OB＝4，，當m＝2時，S△BCQ取最大值，最大值為8，∴△BCQ面積的最大值為8；【變式12】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點P為直線BC下方拋物線上的一點，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時點P的坐標；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），將點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴當S△PBC面積最大時，S四邊形PCAB的面積最大，設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），∴當PQ最大時，S△PBC面積最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，當t＝時，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；【方法2其他方法】【典例2】（深圳）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點C（0，3），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；（2）點P為拋物線上一點，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；x＝1（2）P的坐標為（4，﹣5）或（8，﹣45）【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴點B（3，0），則拋物線的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3…①，函數(shù)的對稱軸為：x＝1；（2）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，則BE：AE＝3：5或5：3，則AE＝或，即：點E的坐標為（，0）或（，0），將點E的坐標代入直線CP的表達式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直線CP的表達式為：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x＝4或8（不合題意值已舍去），故點P的坐標為（4，﹣5）或（8，﹣45）．【變式21】（2021秋?合川區(qū)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點C，點P為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作x軸的垂線，交直線BC于點D，交x軸于點E，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）當△PBD與△BDE的面積之比為1：2時，求點P的坐標；【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6（2）P（，）【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6；（2）∵拋物線y＝﹣x2+5x+6過點C，∴C（0，6），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，∴，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6，設(shè)P（m，﹣m2+5m+6），則D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD與△BDE的面積之比為1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）；【典例3】（淮安）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，D為頂點，其中點B的坐標為（5，0），點D的坐標為（1，3）．（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）試問在該二次函數(shù)圖象上是否存在點G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（2）G的坐標為（0，）或（﹣15，﹣45）．【解答】解：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2+3將點B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣∴二次函數(shù)的表達式為：y＝﹣（x﹣1）2+3（2）存在點G，當點G在x軸的上方時，設(shè)直線DG交x軸于P，設(shè)P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．由題意：AE：BF＝3：5，∵BF∥AE，∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，解得t＝﹣15，∴直線DG的解析式為y＝x+，由，解得或，∴G（0，）．當點G在x軸下方時，如圖2所示，∵AO：OB＝3：5∴當點G在DO的延長線上時，存在點G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，此時，DG的直線經(jīng)過原點，設(shè)直線DG的解析式為y＝kx，將點D代入得k＝3，故y＝3x，則有整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，得x1＝1（舍去），x2＝﹣15當x＝﹣15時，y＝﹣45，故點G為（﹣15，﹣45）．綜上所述，點G的坐標為（0，）或（﹣15，﹣45）．【變式3】（2021秋?南陽）如圖，對稱軸為x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．（1）求點B的坐標．（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點．①求拋物線的解析式．②若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點P的坐標．【答案】（1）點B的坐標為（1，0）（2）①y＝x2+2x﹣3②點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）【解答】解：（1）∵對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，∴A、B兩點關(guān)于直線x＝﹣1對稱，∵點A的坐標為（﹣3，0），∴點B的坐標為（1，0）；（2）①a＝1時，∵拋物線y＝x2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，∴＝﹣1，解得b＝2，將B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；②∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，﹣3），OC＝3，設(shè)P點坐標為（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×OC×|x|＝4××OC×OB，即×3×|x|＝4××3×1，∴|x|＝4，解得x＝±4，當x＝4時，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，當x＝﹣4時，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5，∴點P的坐標為（4，21）或（﹣4，5）；1.（2021秋?日喀則市月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，M為拋物線的頂點．（1）求M點的坐標；（2）求△MBC的面積；【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9）；（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，∴C（0，5），過點M作ME⊥y軸于點E，∴S△MBC＝S四邊形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；2．（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B（3，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．（1）求該拋物線的解析式；（2）點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），當點E在直線BC的下方運動時，求△CBE的面積的最大值；【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接CE、BE，經(jīng)過點E作x軸的垂線FE，交直線BC于點F，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，將B，C兩點的坐標代入得：，解得：，∴直線BC的解解析式為y＝x﹣3，設(shè)點F（x，x﹣3），點E（x，x2﹣2x﹣3），∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF?OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，∴當x＝時，S△CBE有最大值，最大值是，此時E點坐標為（，﹣）；3．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標．【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴，即，∴QE＝1﹣m，∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA＝PA?CF﹣PA?QE＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）＝﹣（m+1）2+2，∵﹣3≤m≤1，∴當m＝﹣1時S△CPQ有最大值2，∴△CPQ面積的最大值為2，此時P點坐標為（﹣1，0）．4．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點A，與x軸交于點E、B．且點A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點P是直線AB上方拋物線上的一動點，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；【解答】解：（1）∵點A（0，5），B（5，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；（2）如圖，∵A（0，5），B（5，0），∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5，∵點M是拋物線的對稱軸與直線AB的交點，∴M（2，3），由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5，過點P作PH∥y軸交AB于H，設(shè)P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），∴H（m，﹣m+5），∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，∴當x＝時，S△PMB最大＝，即△PMB面積的最大值為；5．（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點P為直線BC下方拋物線上的一點，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時點P的坐標；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），將點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴當S△PBC面積最大時，S四邊形PCAB的面積最大，設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，過點P作PQ⊥x軸交BC于點Q，設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），∴當PQ最大時，S△PBC面積最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，當t＝時，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；6．（2022?興寧區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A、B，拋物線的對稱軸交x軸于點D，直線y＝﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）點M（t，0）是x軸上的一個動點，點N是拋物線對稱軸上的一個動點，當DN＝2t，△MNB的面積為時，求出點M與點N的坐標；【解答】解：（1）對于直線y＝﹣x+3，令y＝0，即﹣x+3＝0，