專題11與等比數(shù)列相關的結論一、結論已知等比數(shù)列,公比為,前項和為.(1)().(2)若,則();反之,不一定成立.(3),,,成等比數(shù)列().(4)公比時,,,,成等比數(shù)列().(5)若等比數(shù)列的項數(shù)為(),公比為,奇數(shù)項之和為,偶數(shù)項之和為,則.(6),是等比數(shù)列,則,,,也是等比數(shù)列(,).(7)通項公式.從函數(shù)的角度來看,它可以看作是一個常數(shù)與一個關于的指數(shù)函數(shù)的積,其圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上一群孤立的點.(8)只有同號的兩個數(shù)才能有等比中項;兩個同號的數(shù)的等比中項有兩個,它們互為相反數(shù).(9)三個數(shù)成等比數(shù)列,通常設為,,;四個數(shù)成等比數(shù)列,通常設為,,,.二、典型例題例題1．（2023秋·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）在正項等比數(shù)列中，若是關于的方程的兩實根，則（

）A．8 B．9 C．16 D．18【答案】B【詳解】由題意及韋達定理可得，由等比數(shù)列性質(zhì)可得，故.故選：B【反思】若,則()，等比數(shù)列中，注意利用角標和性質(zhì).例題2．（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？奸_學考試）已知等比數(shù)列的前項和滿足，，則（

）A．130 B．160 C．390 D．400【答案】D【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和滿足，，所以依然成等比數(shù)列，則，即，解得：，則，即，解得：，故選：.【反思】公比時,,,,成等比數(shù)列()，本例中，依然成等比數(shù)列此結論可快速解題.例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知一個等比數(shù)列首項為，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則這個數(shù)列的項數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設這個等比數(shù)列共有項，公比為，則奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，，等比數(shù)列的所有項之和為，則，解得，因此，這個等比數(shù)列的項數(shù)為.故選：C.【反思】利用結論若等比數(shù)列的項數(shù)為(),公比為,奇數(shù)項之和為,偶數(shù)項之和為,則，可直接根據(jù)結論求出，進而求出其它量.三、針對訓練舉一反三一、單選題1．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學?？计谀┮阎獢?shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，則公比（

）A． B．1 C． D．【答案】C【詳解】已知，所以，解得，即①；又，則，即②；又，由①②得，所以，解得或.因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以.故選：C.2．（2023秋·廣東汕頭·高二統(tǒng)考期末）已知正項等比數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．1011 D．2022【答案】B【詳解】所以，又數(shù)列{}是正項等比數(shù)列，所以所以,當且僅當數(shù)列為常數(shù)列時，等號成立.故選：B.3．（2023·全國·高三專題練習）等比數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前16項和為A．20 B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意得，，則，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知構成公比為等比數(shù)列，，且，故選B．4．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的前10項中所有奇數(shù)項之和與所有偶數(shù)項之和的比為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】當時，，又，即前10項分別為，所以數(shù)列的前10項中，，所以，故選：C．5．（2023·全國·高二專題練習）已知項數(shù)為奇數(shù)的等比數(shù)列的首項為1，奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】A【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列為等比數(shù)列，設，又由數(shù)列的奇數(shù)項之和為21，偶數(shù)項之和為10，則，故；故選：6．（2023·全國·高二專題練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，且滿足條件，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】C【詳解】若，則，，所以，與矛盾；若，則因為，所以，，則，與矛盾，因此，所以A正確．因為，所以，因此，即B正確．因為，所以單調(diào)遞增，即的最大值不為，C錯誤．因為當時，，當時，，所以的最大值為，即D正確．故選：C7．（2023·高三課時練習）設等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（

）A．B． C．的最大值為 D．的最大值為【答案】D【詳解】解：由于，得，同時；由于，，則無最大值；由于，，則的最大值為．故選：D．二、多選題8．（2023春·安徽·高二合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）記等比數(shù)列的前n項和為，前n項積為，且滿足，，，則（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大項 D．【答案】AC【詳解】數(shù)列的公比為q．對于，∵，，∴，又，∴．∵，∴，故正確；對于，∵，∴，即，故錯誤；對于，∵，，∴數(shù)列是遞減數(shù)列，∵，，∴是數(shù)列中的最大項，故正確；對于D，，∵，∴，即．故錯誤．故選．9．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列滿足，公比，且，，則（

）A． B．當時，最小C．當時，最小 D．存在，使得【答案】AC【詳解】對A，∵，，∴，又，，∴，故A正確.對B，C，由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，故當時，最小，B錯誤，C正確；對D，當時，，故，故D錯誤.故選：AC三、填空題10．（2023秋·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}中，若，則_________．【答案】2【詳解】等比數(shù)列各項均為正數(shù)，∴，（負值舍去）故答案為：2.11．（2023秋·廣東·高二校聯(lián)考期末）若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則__________.【答案】21【詳解】由等比數(shù)列的下標和性質(zhì)有，所以.因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，因為，所以.故答案為：21.12．（2023·高三課時練習）已知是正項等比數(shù)列的前n項和，，則的最小值為______．【答案】【詳解】解：設公比為.當時，，則，此時有；當時，因為，，，所以，，所以，，所以，當時，有最小值為.綜上所述，的最小值為.故答案為：.13．（2023·全國·高三專題練習）設正項等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為______.【答案】91【詳解】方法一：等比數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴.方法二：設公比為，由題意顯然且,所以，∴，故答案為：.14．（2023·高二課時練習）設等比數(shù)列共有項，它的前項的和為100，后項之和為200，則該等比數(shù)列中間項的和等于___________.【答案】【詳解】前n項和、中間n項和、最后n項的和依次為a,b,c.由題意知四、解答題15．（2023秋·廣東汕頭·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列的前n項和，，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求的最大值和最小值．【答案】(1)，；(2