第第頁上海市閔行區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．函數(shù)y=tanx的最小正周期是2．若復(fù)數(shù)z=i?1，則|3．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則cosα=.4．已知sinx=?12，x∈[5．若函數(shù)y=3cosx?Asinx(A>06．已知cotθ=2，則cosθ7．已知向量a，b的夾角為π3，a=(2，0)8．若1+2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2?2x+m=09．已知a=(2，?3)，b=(010．在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若tanα=1211．已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇0，+∞)，且當(dāng)x∈[(n?1)π，12．已知平面向量a1、a2、a3、b1、b2、b3兩兩互不相等，且|a1?a2|=二、單選題13．復(fù)數(shù)z=iA．1 B．?1 C．i D．?14．下列命題中正確的是（）A．a(chǎn)+(?C．若|a|=|b|，則15．某同學(xué)將兩角和的正弦、余弦、余切公式錯(cuò)誤地記成如下三個(gè)式子：①sin(α+β)=sin若存在α、β恰巧能使上述某些式子成立，則能成立的式子最多有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)16．在復(fù)平面上，設(shè)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為?2i、cos(t?π3)+isinA．34 B．π6 C．π4三、解答題17．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點(diǎn)M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，設(shè)向量AB=a（1）試用a、b表示向量AM與（2）求AM?18．歐拉公式eθi=cosθ+isinθ將自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，三角函數(shù)（1）求|z0|（2）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求a的值.19．上?；ú?huì)的成功舉辦離不開對(duì)展覽區(qū)域的精心規(guī)劃.如圖所示，將展區(qū)中扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為60米，∠AOB=π3，動(dòng)點(diǎn)P在扇形AOB的弧上，點(diǎn)Q在半徑OB上，且（1）當(dāng)OQ=40米時(shí)，求分隔欄PQ的長(zhǎng)；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大，求該種植區(qū)三角OPQ的面積S的最大值.20．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+（1）A=2，ω=1，f（2）A=2，x1、x2是y=f(x)的兩個(gè)相異零點(diǎn)，|x1?x（3）ω=π4，f(4)=3，對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，記y=f(x)在區(qū)間[a21．通過平面直角坐標(biāo)系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對(duì)(z1，z2)(z1，z2∈C)看作一個(gè)向量，記a=(①a±b=(③a?b=z（1）設(shè)a=(i，1+i)（2）由平面向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律，我們類比得到復(fù)向量的相關(guān)結(jié)論：①a②a③(λ試判斷這三個(gè)結(jié)論是否正確，并對(duì)正確的結(jié)論予以證明.（3）若a=(2i，1)，集合Ω={p|p=(x，y根據(jù)對(duì)上述問題的解答過程，試寫出一個(gè)一般性的命題（不需要證明）.

答案解析部分1．【答案】π【解析】【解答】函數(shù)y=tanx的最小正周期是故答案為：π。

【分析】利用已知條件結(jié)合正切函數(shù)的最小正周期公式，進(jìn)而得出函數(shù)y=tan2．【答案】1【解析】【解答】解：|z+1故答案為：1.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解.3．【答案】3【解析】【解答】解：由題意得cosα=故答案為：35

【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解.4．【答案】?【解析】【解答】解：，∵sinx=?12，∴x=2kπ-π6或x=2k故答案為：?π

【分析】根據(jù)三角函數(shù)值求角的方法求解.5．【答案】2【解析】【解答】解：∵y=3cosx?Asinx=9+A2cosx+φ（其中tanφ=A3），又函數(shù)y的最大值為故答案為：2.

【分析】先利用輔助角公式化簡(jiǎn)得y=9+A26．【答案】2【解析】【解答】解：∵tanθ=1故答案為：23

【分析】先求出tanθ7．【答案】1【解析】【解答】解：由題意得a→=2，b→≠0，a→·b→=故答案為：1.

【分析】先求出a→=2，a→·b→8．【答案】5【解析】【解答】解：∵1+2i是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2?2x+m=0的一個(gè)根，∴1+2故答案為：5.

【分析】將1+2i代入方程根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算列方程求9．【答案】0【解析】【解答】解：∵2a→+b→=22，-3+0，k=4，k-6故答案為：0.

【分析】先求2a10．【答案】?【解析】【解答】解：設(shè)角α的終邊過點(diǎn)x，y，∵在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴設(shè)角β的終邊過點(diǎn)-x，y，∴tanβ=-yx=-故答案為：?4

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義得tanβ=-tanα11．【答案】(【解析】【解答】解：∵當(dāng)x∈[(n?1)π，nπ]時(shí)，f(x)=1nsin(nx)，∴函數(shù)y=f(x)在各段中的最大值逐漸減小，要使函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=m(m>0)恰有24個(gè)交點(diǎn)，只需保證函數(shù)y=f(x)的圖像前面有12個(gè)的極大值不小于m，第13個(gè)的極大值不大于m即可，

由題意得當(dāng)n=1時(shí)，x∈[0，π]，f(x)=sinx，函數(shù)y=f(x)有一個(gè)極大值，

當(dāng)n=2時(shí)，x∈[π，2π]，f(x)=12sin2x，2x∈[2π，4π]，函數(shù)y=f(x)有一個(gè)極大值，

當(dāng)n=3時(shí)，x∈[2π，3π]，f(x)=13sin3x，3x∈[6π，9π]，函數(shù)y=f(故答案為：(1

【分析】由函數(shù)y=f(x)的圖像與直線y=m(m>0)恰有24個(gè)交點(diǎn)，則12．【答案】1【解析】【解答】解：由|a1?a2|=|a2?a3|=|a3?a1|=2，可以假設(shè)?ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O是?ABC中心，則向量a1、a2、a3可看作a1→=OA→、a2→=OB故答案為：1.

【分析】假設(shè)?ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，O是?ABC中心，則a1→=OA→13．【答案】A【解析】【解答】解：∵z=i?(故答案為：A.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求z，再寫出其虛部.14．【答案】B【解析】【解答】解：A、a→+(?a→)=0故答案為：B.

【分析】A向量與向量加減還是向量；B根據(jù)向量數(shù)量積計(jì)算；CD向量相等向量的模和方向都要相等.15．【答案】C【解析】【解答】解：當(dāng)α=β=π4時(shí)，sin(α+β)=sin(π4+π4)=sinπ2=1，sinαcosα+sinβcosβ=sinπ4cosπ4+sinπ4cosπ4=22×2故答案為：C.

【分析】①②取特殊值判斷，③假設(shè)cot(α+β)16．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可得點(diǎn)A0，-2，點(diǎn)Bcos(t?π3)，sin(t?π3)即在以原點(diǎn)為圓心半徑為1的圓上，

當(dāng)t=π6時(shí)，cos(π6?π3)，sin(π6?π3)=32，-12，

當(dāng)t=π2故答案為：B.

【分析】求出取臨界值時(shí)B132，-12，B2317．【答案】（1）解：如圖，因?yàn)辄c(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，所以BM=則AM=同理，AN=（2）解：由（1）可知，AM=a+又因?yàn)锳BCD為矩形，所以a·則AM·【解析】【分析】(1)根據(jù)中點(diǎn)和矩形的性質(zhì)利用向量的加法運(yùn)算求解；

(2)結(jié)合(1)根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算求解.18．【答案】（1）解：∵z（2）解：∵eπi=∴z=∵復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，∴?1?a【解析】【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)的概念直接計(jì)算；

(2)先求出eπi=?1，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求z，由復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)得出19．【答案】（1）解：因?yàn)镻Q//OA，所以在△OPQ中，OQ=40，OP=60由余弦定理得OP即3600=1600+PQ2+40PQ，解得PQ=20所以PQ的長(zhǎng)為206（2）解：因?yàn)镻Q//OA，設(shè)∠OPQ=∠AOP=θ，θ∈(在△OPQ中，由正弦定理得OP所有OQ=60則S==36002當(dāng)sin(2θ+π6)【解析】【分析】(1)先求出∠PQO=2π3，在△OPQ中，利用余弦定理求PQ；

(2)在△OPQ中設(shè)∠OPQ=∠AOP=θ，利用正弦定理求出OQ=1203sinθ，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)得S△20．【答案】（1）解：依題意f(x)=2sin所以π3+φ=π2+2kπ，所以φ=π6（2）解：依題意f(x)=2sin所以f(x)=2sin(2x+又y=2sin(2x+φ?π6又|?|<π2（3）解：因?yàn)門=2πω=2ππ又f(x)=Asin(π4x+所以f(x)的對(duì)稱軸為x=?根據(jù)正弦曲線的性質(zhì)當(dāng)f(x)在區(qū)間[當(dāng)x=a與x=a+2恰關(guān)于x=?4φπ+2+4k，①不妨設(shè)當(dāng)8k?2?4πφ≤a≤8k?1?4則h=A=2因?yàn)?kπ所以22≤sin(π即h(②不妨設(shè)當(dāng)8k?4則h(因?yàn)?kπ所以0≤sin(π4a+即h(綜上所述A?22A≤h(a所以f(x)所以sinφ=?12，所以φ=?因?yàn)閨?|<π2【解析】【分析】(1)A=2，ω=1代入f(x)得f(x)=2sin(x+φ)，再根據(jù)f(π3)=2和|?|21．【答案】（1）解：因?yàn)閍=(i所以a+a（2）解：設(shè)a=(z1，z2)，b=(z3，z4)，則a?b=z1zb+c=(a?因?yàn)閦3+z所以a=z1zλa=((λa)設(shè)λ=a+bi，z3則λz3=λz所以λz3≠λz（3）解：設(shè)滿足條件