專題五幾何探究題類型1

利用截長補(bǔ)短法構(gòu)造線段的和與差典例1如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，AE＝AD，EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB.（1）

求證：BD⊥EC.（2）

若AB＝1，求AE的長.

解：（1）

∵

四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長線上，∴

∠EAF＝∠DAB＝90°.又∵

AE＝AD，AF＝AB，∴

△AEF≌△ADB.∴

∠AEF＝∠ADB.∴

∠GEB＋∠GBE＝∠ADB＋∠ABD＝90°.∴

∠EGB＝90°.

∴

BD⊥EC.

典例1圖答案跟蹤訓(xùn)練?

?1.（2023·亳州蒙城二模）已知四邊形ABCD是正方形，以B為頂點(diǎn)作等腰直角三角形BEF，BE＝BF，連接AE，CF.

第1題123456789101112131415161718192021222324（1）

如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，請(qǐng)判斷AE和CF之間的數(shù)量及位置關(guān)系，并說明理由.解：（1）

AE＝CF，AE⊥CF

理由：如圖①，延長AE交CF于點(diǎn)G.

∵

四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在BC上，∴

AB＝CB，∠ABE＝90°.∵

BE＝BF，∠EBF＝90°，∴

∠ABE＝∠CBF＝90°.∴

△ABE≌△CBF.

∴

AE＝CF，∠BAE＝∠BCF.∵

∠CEG＝∠AEB，∴

∠BCF＋∠CEG＝∠BAE＋∠AEB＝90°.∴

∠CGE＝90°.∴

AE⊥CF.第1題答案第1題

第1題答案第1題（3）

將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，H是直線AE與直線CF的交點(diǎn)，連接BH.當(dāng)∠CFB＝45°，AB＝3，BE＝1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CH的長.

第1題答案第1題

第1題答案第1題類型2

一線三等角模型模型1：利用一線三等角構(gòu)造全等典例2已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，EB⊥MN于點(diǎn)E.

典例2圖（1）

當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖①所示的位置時(shí)，求證：①

△ADC≌△CEB.②

DE＝AD＋EB.典例2圖（2）

當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，求證：DE＝AD－EB.（3）

當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，試問DE，AD，EB具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明.典例2圖[思路點(diǎn)撥]（1）

由∠ACB＝90°，得∠ACD＋∠BCE＝90°；由AD⊥MN，EB⊥MN，得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等，得到∠ACD＝∠CBE，可得△ADC≌△CEB，得出AD＝CE，DC＝EB，即可得到DE＝CE＋DC＝AD＋EB.（2）

根據(jù)等角的余角相等，得到∠ACD＝∠CBE，易得△ADC≌△CEB，得到AD＝CE，DC＝EB，得出DE＝CE－DC＝AD－EB.（3）

DE，AD，EB具有的等量關(guān)系為DE＝EB－AD，證明的方法與（2）相同.

②

∵

△ADC≌△CEB，∴

AD＝CE，DC＝EB.∴

DE＝CE＋DC＝AD＋EB.典例2圖

典例2圖（3）

DE＝EB－AD.∵

易證△ADC≌△CEB，∴

AD＝CE，DC＝EB.∴

DE＝DC－CE＝EB－AD.典例2圖跟蹤訓(xùn)練?

?2.（2023·蕪湖無為一模）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型：如圖①，點(diǎn)A在直線DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像這種一條直線上有三個(gè)直角頂點(diǎn)的模型，我們把它稱為一線三等角模型.

第2題（1）

如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，直線ED經(jīng)過點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥ED于點(diǎn)E.求證：△CDA≌△BEC.

第2題

第2題模型2：利用一線三等角構(gòu)造相似典例3（2021·安徽）如圖①，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，ED∥AB，過點(diǎn)C作CF∥AD，交線段AE于點(diǎn)F，連接BF.

典例3圖

典例3圖

典例3圖

典例3圖

典例3圖跟蹤訓(xùn)練?

?3.如圖，在等邊三角形ABC中，邊長為6，D是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，∠EDF＝60°.（1）

求證：△BDE∽△CFD.解：（1）

∵

△ABC為等邊三角形，∴

∠B＝∠C＝60°.

∵

∠EDF＝60°，∴

∠BED＋∠EDB＝∠EDB＋∠CDF＝120°.∴

∠BED＝∠CDF.∴

△BDE∽△CFD.第3題（2）

當(dāng)BD＝1，CF＝3時(shí)，求BE的長.

第3題類型3

模型旋轉(zhuǎn)模型1：“手拉手”旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等典例4如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，連接AD，將線段AD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE，連接BD，DE，CE.

典例4圖（1）

判斷線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系并證明.（2）

延長ED交直線BC于點(diǎn)F.①

如圖②，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，線段AE，BE和CE之間的數(shù)量關(guān)系為

AE＝BE－CE

?.②

如圖③，當(dāng)F為線段BC的中點(diǎn)，且DE＝EC時(shí)，猜想∠BAD的度數(shù)，并說明理由.AE＝BE－CE典例4圖

典例4圖

典例4圖跟蹤訓(xùn)練?

?4.（2023·池州模擬）如圖①，△ABC和△ADE均為等邊三角形，連接BD，CE.

第4題（1）

BD與CE的數(shù)量關(guān)系為

BD＝CE

?，直線BD與CE所成的銳角的度數(shù)為

60°

?.BD＝CE60°

第4題

第4題

模型2：半角模型典例5在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交直線CB，DC于點(diǎn)M，N.

典例5圖（1）

當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖①所示的位置時(shí)，求證：BM＋DN＝MN.（2）

當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置時(shí)，直接寫出線段BM，DN和MN之間的數(shù)量關(guān)系（不需要證明）.典例5圖[思路點(diǎn)撥]（1）

在MB的延長線上截取BE＝DN，連接AE，可證△ABE≌△ADN，得到AE＝AN，進(jìn)一步證明△AEM≌△ANM，可得結(jié)論BM＋DN＝MN.（2）

在DC上截取DF＝BM，連接AF，可先證明△ABM≌△ADF，再進(jìn)一步證明△MAN≌△FAN，得到MN＝FN，從而得到結(jié)論.

典例5圖（2）

DN－BM＝MN.跟蹤訓(xùn)練?

?5.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)M，N，連接MN.（1）

探究BM，MN和NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（1）

MN＝BM＋NC.理由：如圖，延長AC至點(diǎn)E，使得CE＝BM，連接DE.∵

△ABC是等邊三角形，

∴

∠MBC＝∠ACB＝60°.∵

BD＝CD，且∠BDC＝120°，

∴

∠DBC＝∠DCB＝30°.∴

∠MBC＋∠DBC＝∠ACB＋∠DCB＝60°＋30°＝90°.∴

∠MBD＝∠DCN＝90°.第5題答案∴

∠MBD＝∠ECD＝90°.在△MBD與△ECD中，BD＝CD，∠MBD＝∠ECD，BM＝CE，∴

△MBD≌△ECD.∴

MD＝ED，∠BDM＝∠CDE.∵

∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴

∠BDM＋∠CDN＝60°.∴

∠CDE＋∠CDN＝∠EDN＝60°.∴

∠MDN＝∠EDN.又∵

DN＝DN，MD＝ED，∴

△DMN≌△DEN.∴

MN＝EN.∵

EN＝CE＋NC＝BM＋NC，∴

MN＝BM＋NC.第5題答案（2）

若△ABC的邊長為2，求△AMN的周長.解：（2）

利用（1）中的結(jié)論，得△AMN的周長＝AM＋MN＋AN＝（AM＋BM）＋（NC＋AN）＝AB＋AC＝2＋2＝4.強(qiáng)化練習(xí)1.如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD于點(diǎn)B，ED⊥BD于點(diǎn)D，BD經(jīng)過點(diǎn)C，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD的長為（

B

）A.6cmB.8cmC.10cmD.4cm第1題B123456789101112132.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝4，CD＝7，則AC的長為（

B

）A.3B.11C.15D.9第2題B123456789101112133.如圖，在△ABC中，∠B＝2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D.已知AC＝16，BC＝9，則BD的長為（

B

）A.6B.7C.8D.9第3題B123456789101112134.如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD.若這個(gè)四邊形的面積是4，則BC＋CD的值等于（

B

）A.2B.4C.2D.4第4題B123456789101112135.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD，BD，CD，且BD交AC于點(diǎn)O，在BD上取一點(diǎn)E，連接AE，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC.若∠ABC＝62°，則∠BDC的度數(shù)為（

A

）A.56°B.60°C.62°D.64°第5題A123456789101112136.如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E為邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF.有下列結(jié)論：①

△ADC≌△AFB；②

△ABE≌△ACD；③

△AED≌△AEF；④

BE＋EF＝BC－BF.其中，一定正確的個(gè)數(shù)是（

C

）A.1B.2C.3D.4第6題C123456789101112137.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D.若AD＝8cm，BE＝3cm，則DE＝

5

?cm.第7題5123456789101112138.如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上.若BE＝2，∠EAF＝45°，則DF的長是

7.2

?.第8題7.212345678910111213解：（1）

∵

在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，

∴

△ABC是等邊三角形.∴

AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°.∵

線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，

∴

∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC.∴

∠BAD＝∠BAC＋∠CAE＋∠DAE＝90°.∵

AB＝AC＝AD，∴

△ABD是等腰直角三角形

9.如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，線段AC與AD關(guān)于直線AP對(duì)稱，E是線段BD與直線AP的交點(diǎn).（1）

若∠DAE＝15°，求證：△ABD是等腰直角三角形.12345678910111213（2）

連接CE，求證：BE＝AE＋CE.

第9題答案1234567891011121310.如圖，O是直線MN上一點(diǎn)，∠AOB＝90°，過點(diǎn)A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥MN于點(diǎn)D.（1）

求證：△AOC∽△OBD.解：（1）

∵

AC⊥MN，BD⊥MN，∴

∠ACO＝∠ODB＝90°.又∵

∠AOB＝90°，∴

∠A＋∠AOC＝∠BOD＋∠AOC＝90°.∴

∠A＝∠BOD.

∴

△AOC∽△OBD

第10題12345678910111213（2）

若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的長.

第10題12345678910111213

第11題12345678910111213①

∠DAF＝

30°

?.②

求證：DF＝DE.解：（1）

②

由①，知AF＝AE，∠DAF＝∠DAE＝30°.又∵

AD＝AD，∴

△DAF≌△DAE.∴

DF＝DE30°（1）

如圖①，當(dāng)α＝60°時(shí)，將△AEC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AFB的位置，連接DF.12345678910111213（2）

如圖②，當(dāng)α＝90°時(shí)，猜想BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（2）

DE2＝BD2＋CE2

理由：如圖②，將△AEC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到△AFB的位置，連接DF，則△BAF≌△CAE，∠EAF＝90°.∴

AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，BF＝CE，∠ABF＝∠C.在Rt△ABC中，∠C＝∠ABC＝45°.∴

∠ABF＝45°.∴

∠DBF＝90°.根據(jù)勾股定理，得DF2＝BD2＋BF2.∴

DF2＝BD2＋CE2.同（1）②的方法，可得DF＝DE.∴

DE2＝BD2＋CE2.第11題1234567891011121312.小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，那么會(huì)形成一組全等的三角形.小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.（1）

問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC，DE分別是底邊，求證：BD＝CE.第12題解：（1）

∵

△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，∴

AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.∴

∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∴

△BAD≌△CAE.∴

BD＝CE12345678910111213（2）

拓展探究：如圖②，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為

60°

?，線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是

AD＝BE

?.60°AD＝BE12345678910111213（3）

解決問題：如圖③，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，CM為△DCE的邊DE上的高，連接BE.求∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.解：（3）

∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM

理由：同（1）（2）的方法，可得△ACD≌△BCE.∴

AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.∵

△CDE是等腰直角三角形，∴

∠CDE＝∠CED＝45°.∴

∠ADC＝180°－∠CDE＝135°.∴

∠BEC＝∠ADC＝135°.∴

∠AEB＝∠BEC－