預習案02空間向量基本定理【學習目標】1.掌握空間向量基本定理.2.會用空間向量基本定理對向量進行分解.3.會用基底法表示空間向量.4.初步體會利用空間向量基本定理求解立體幾何問題的思想．【基礎知識】知識點一空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數(shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．思考零向量能否作為基向量？答案不能.零向量與任意兩個向量a，b都共面．知識點二空間向量的正交分解1．單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都是1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空間向量基本定理可知，對空間任一向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解．知識點三證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數(shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.思考怎樣利用向量共線、向量共面解決幾何中的證明平行、共線、共面問題？答案平行和點共線都可以轉化為向量共線問題；點線共面可以轉化為向量共面問題．知識點四求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求夾角、證明垂直問題？答案幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍．知識點五求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．思考怎樣利用向量的數(shù)量積解決幾何中的求距離(長度)問題？答案幾何中求距離(長度)都可以轉化為向量的模，用數(shù)量積可以求得．【典型例題】一、空間向量的基底一、單選題1．（2022春·山東·高二沂水縣第一中學期末）已知a,b,c是空間的一個基底，則可以與向量m=A．a B．b C．c D．b【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基底的定義依次判斷各選項即可.【詳解】對于A選項，不存在x,y∈R使得a對于B選項，b=對于C選項，c=?對于D選項，b+故選：A.2．（2022春·浙江金華·高二期末）若a,b,A．a+b，a?b，b B．aC．a+b，a?b，c D．a【答案】C【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知ABD選項中的向量共面，無法作為一組基底；假設C中向量共面，可知不存在滿足條件的實數(shù)λ,μ，由此知假設錯誤，則C中向量可以作為基底.【詳解】對于A，∵a+b對于B，∵a?b對于C，假設a+b∴λ=1λ=?1μ=0對于D，∵c?a故選：C.3．（2022春·浙江·高二校聯(lián)考期中）若a,b,A．a+c,C．a,a+【答案】C【分析】根據(jù)平面向量基本定理結合條件逐項分析即得．【詳解】由題可知a,對于A選項，因為a=12a+c+對于B選項，因為2a+b對于C選項，假設存在實數(shù)x,y使得c=x則a,b,c共面，與對于D選項，a+b+故選：C．4．（2022春·黑龍江·高二統(tǒng)考期中）已知a,b,c是空間的一個基底，下面向量中與向量a+A．a B．b+c C．2a【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基底概念依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，因為a=12a+c+對選項B，若b+c與a+c和此時m,n無解，所以b+c與a+對選項C，因為2a所以2a+c與a對選項D，因為a?2所以a?2c與a+故選：B5．（2021春·陜西渭南·高二?？计谥校┤鐖D，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，N是BC的中點，設AAA．?a+bC．?a?b【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的基本定理求解即可.【詳解】因為在平行六面體ABCD?A1B1C所以A1故選：A.6．（2021春·陜西榆林·高二陜西省神木中學?？茧A段練習）已知三棱錐O?ABC中，點M、N分別為AB、OC的中點，且OA=a，OB=b，OC=A．12b+c?a B．1【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算可得出MN關于a,【詳解】OM=所以，MN=故選：D.7．（2022春·福建·高二福建師大附中校考期末）如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA，A．23a+C．?23a【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，用OA、OB和OC表示出MN即可.【詳解】由題意知，MN==?=?=?故選：C.8．（2022·全國·高二假期作業(yè)）如圖，在三棱錐O?ABC中，點G為底面△ABC的重心，點M是線段OG上靠近點G的三等分點，過點M的平面分別交棱OA，OB，OC于點D，E，F(xiàn)，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32【答案】D【分析】由空間向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F(xiàn)，M四點共面，可得存在實數(shù)λ,μ，使【詳解】由題意可知，OM=因為D，E，F(xiàn)，M四點共面，所以存在實數(shù)λ,μ，使DM=λ所以OM?所以OM=(1?λ?μ)所以(1?λ?μ)k=2所以1k故選：D二、多選題9．（2022春·安徽安慶·高二安徽省安慶市外國語學校校考階段練習）設a→,b→,c→是空間的一個基底，若xA．a→,b→,x→ B．【答案】BCD【分析】根據(jù)空間向量共面基本定理，逐項判斷每組向量是否共面，即可得出結論.【詳解】∵x→=a→+b假設x→,y→,c+所以λ=1λ+μ=0μ=1，方程組無解，所以假設不成立，即所以x→同理可得b→,c故選：BCD.三、填空題10．（2022春·北京·高二人大附中?？计谀┮阎忮FO?ABC，M，N分別是對棱OA、BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN，設OA=a，OB=b，OC=【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的線性運算的幾何表示結合條件即得．【詳解】∵MG=2GN，∴MG=又M，N分別是對棱OA、BC的中點，OA=a，OB=∴OG===1故答案為：16二、空間向量基本定理的應用一、單選題1．（2022春·湖北襄陽·高二襄陽市第一中學?？茧A段練習）《九章算術》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵ABC?A1B1C1中，M,N分別是A1C1,BBA．32 B．23 C．1 【答案】A【分析】利用空間向量運算求得正確答案.【詳解】AG=1所以x+y+z=1故選：A2．（2022春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）關于空間向量，以下說法錯誤的是（

）A．若a?b<0B．已知向量組a,b,C．若對空間中任意一點O，有AP=?23D．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面【答案】A【分析】根據(jù)向量夾角的范圍、空間基底的定義、空間向量基本定理的知識依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，若a,b夾角為π，則對于B，∵a?c∴a對于C，由AP=?23即OP=13所以由空間向量基本定理可知：P,A,B,C四點共面，C正確；對于D，若空間中的三個向量中有兩個向量共線，且三個向量中，任意兩個向量均共面，∴三個向量必然共面，D正確.故選：A.3．（2022春·河南·高二校聯(lián)考階段練習）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A．6 B．22 C．32 【答案】D【分析】連接AC,BD交于點H，連接A1H與AC1交于點O，由幾何關系證明【詳解】根據(jù)題意，連接AC,BD交于點H，連接A1H與在平行六面體中，△OAH∽△OC1A根據(jù)平面的基本性質易知點M與點O重合，故M==4∴C故選：D．4．（2022春·福建南平·高二統(tǒng)考期中）三棱柱ABC?DEF中，G為棱AD的中點，若BA=a，BC=b，BD=A．1B．1C．?D．?【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運算直接求解即可.【詳解】解：CG=故選：B.5．（2022春·湖北武漢·高二武漢市第十七中學校聯(lián)考期中）如圖，在四面體OABC中，AM=2MB,ON=NC且OA=a,OB=b,OC=A．13a+C．13a+【答案】C【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用a,b,【詳解】因為AM=2MB,ON=NC，所以AM=23故NM=?故選：C二、多選題6．（2021春·遼寧沈陽·高三沈陽二十中校聯(lián)考期中）如圖，在三棱錐P?ABC中，PO⊥平面ABC，垂足為點O（

）A．若PO=xPAB．若該三棱錐的外接球的球心在PO上，則PA=PB=PCC．“PA⊥BC,PB⊥AC”是“O為三角形ABC的垂心”的充要條件D．“PA,PB,PC兩兩垂直”是“O為三角形ABC的垂心”的充要條件【答案】ABC【分析】對于A,由空間向量定理的推論判斷即可；對于B,設外接球的球心為O′,則有O′A=O′對于C,D根據(jù)充要條件的定義判斷即可.【詳解】解：對于A，因為O,A,B,C四點共面，由空間向量基本定理的推論可得，PO=xPA+y對于B，設三棱錐的外接球的球心為O′,則有O′A=O′所以PA所以PA=PB=PC，故正確；對于C，因為PA⊥BC，PO⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PO⊥BC，又因為PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO，又因為AO?平面PAO，所以AO⊥BC，同理可證BO⊥AC，所以O為三角形ABC的垂心，充分性滿足；當O為三角形ABC的垂心時，可得AO⊥BC，由題意可得PO⊥BC，PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO，PA?平面PAO，所以PA⊥BC，同理可證PB⊥AC，必要性滿足,故正確；對于D，因為PA⊥PB,PA⊥PC,PC∩PB=P,所以PA⊥平面PBC，BC?平面PBC，所以PA⊥BC，由題意可得PO⊥BC，PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO，OA?平面PAO，所以OA⊥BC，同理可證BO⊥AC，所以O為三角形ABC的垂心，充分性滿足；當O為三角形ABC的垂心時，可得AO⊥BC，由題意可得PO⊥BC，PA∩PO=P,所以BC⊥平面PAO，PA?平面PAO，所以PA⊥BC，同理可證PB⊥AC，PC⊥AB，不能得PA,PB,PC兩兩垂直，所以必要性不滿足,故錯誤.故選：ABC.7．（2022春·遼寧·高二鳳城市第一中學校聯(lián)考期中）下列關于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若非零向量a，b，c滿足a⊥b，bB．若向量a，b與空間任意向量都不能構成基底，則aC．若OA，OB，OC是空間的一組基底，且OD=16OA+12OB+D．若向量a，b，c是空間的一組基底，則a+b，c?【答案】BC【分析】舉例說明判斷A；利用反證法推理判斷B；利用空間向量基本定理判斷C；利用共面向量定理判斷D作答.【詳解】對于A，a，b，c是非零向量，當c=ka(k≠0)時，若a⊥b對于B，假設a，b不共線，則a，b可分別作為三棱錐D?ABC底面△ABC邊AB,AC對應的向量AB→顯然向量AD→與AB,AC不共面，即存在向量AD→與向量a，對于C，OA，OB，OC是空間的一組基底，且OD=16由空間向量基本定理得A，B，C，D四點共面，C正確；對于D，向量a，b，c是空間的一組基底，而a+b=(c+a)?(因此a+b，c?故選：BC三、填空題8．（2022春·浙江寧波·高二余姚中學?？计谥校┰谄叫辛骟wABCD?A1B1C【答案】6【分析】利用空間向量基本定理，得到AC1=【詳解】在平行六面體ABCD?A1B因為AD=BC,所以A====6故答案為：69．（2022春·湖北武漢·高二武漢市第十七中學校聯(lián)考期中）設{a,b,c}是空間的一個單位正交基底，且向量p=3【答案】m【分析】設p=xm+yn+z【詳解】設p=x則xa故x+y=3x=1z?y=1，解得：y=2故答案為：m四、解答題10．（2022春·貴州貴陽·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，在空間四邊形OABC中，2BD=DC，點E為AD(1)試用向量a,b,(2)若OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，求【答案】(1)OE=(2)?8【分析】（1）由點E為AD的中點，可得OE=12（2）由（1）可知OE=12【詳解】（1）因為點E為AD的中點，所以OE=因為2BD=DC所以OD=所以OE=（2）由（1）得OE=因為OA=OC=4,OB=3,∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，所以OE=====?8三、證明平行、共面問題1.如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′，E，F(xiàn)分別為AA′和CC′的中點．求證：BF∥ED′.【詳解】eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC′,\s\up6(——→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up6(——→))，eq\o(ED′,\s\up6(——→))＝eq\o(EA′,\s\up6(——→))＋eq\o(A′D′,\s\up6(———→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up6(——→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up6(——→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(ED′,\s\up6(——→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(ED′,\s\up6(——→))，∵直線BF與ED′沒有公共點，∴BF∥ED′.2.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.求證：A，E，C1，F(xiàn)四點共面．【詳解】因為eq\o(AC1,\s\up6(—→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(—→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(—→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(—→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(—→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(—→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))，所以eq\o(AC1,\s\up6(—→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))共面，所以A，E，C1，F(xiàn)四點共面．四、求夾角、證明垂直問題1．（2022·全國·高二假期作業(yè)）如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體ABCD?A1B1C(1)求證：AC(2)求異面直線BD1與【答案】(1)證明見解析(2)6【分析】（1）根據(jù)平面向量轉化基底，以及加減運算和數(shù)量積的運算性質，得到AC1?（2）根據(jù)平面向量轉化基底，求出BD1、AC、【詳解】（1）證明：∵以頂點A為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是60°，∴AA∴A=A∴AC（2）∵BD1=∴B==1+1+1+1?1?1|ACB=AD∴cosB∴異面直線BD1與AC所成角的余弦值為2．（2022春·山東聊城·高二山東聊城一中?？茧A段練習）如圖，在棱長為1的正四面體OABC中，M，N分別是邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG=2GN，設OA=a，OB=(1)試用向量a，b，c表示向量OG；(2)求cos<【答案】(1)OG(2)?【分析】（1）根據(jù)平面向量基底運算即可得到結果.（2）分別求出BA,（1）OG===（2）由題意知，a=b=c=1則BA=OG=OG=所以cos3．（2022春·廣東廣州·高二廣州市真光中學?？茧A段練習）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點．設AB=a，AC=(1)求證EG⊥AB；(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析；(2)2【分析】（1）作出輔助線，利用三線合一證明出CE⊥AB,DE⊥AB，從而得到線面垂直，進而證明線線垂直；（2）用a,b,c表達AG與EC，利用空間向量夾角公式求解異面直線【詳解】（1）證明：連接DE，因為空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，且E，G分別是AB，CD的中點，所以AC=BC,BD=AD，故CE⊥AB,DE⊥AB，又因為CE∩DE=E，CE,DE?平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因為EG?平面CDE，所以AB⊥EG.（2）由題意得：△ABC,△ACD,△ABD均為等邊三角形且邊長為1，所以AG=EC=AG=12所以AG==1設異面直線AG和CE所成角為θ，則cos4．（2022·高二課時練習）如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.【答案】證明見解析【分析】設AB=a，AD=b，AA1=c，并以它們?yōu)榛妆硎境鯝1C、BD、BB1【詳解】設AB=a，AD=b，AA1=c，則因為AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以a2=b在平面BDD1B1上，取BD、BB1為基向量，則對于面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序實數(shù)對(λ,μ)，使得所以，A1所以A1C是平面BDD1B所以A1C⊥平面BDD1B1.5．（2022·高二課時練習）已知空間四邊形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分別是OA，BC的中點，G是MN的中點，求證：OG⊥BC．【答案】證明見解析【分析】取定基底向量OA,OB,OC，并分別記為a,【詳解】在空間四邊形OABC中，令OA=a,令∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，G是MN的中點，如圖，則OG=12于是得OG=1因此，OG⊥所以OG⊥BC.6．（2022春·天津濱海新·高二天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校考階段練習）已知平行六面體ABCD?A1B1C（1）證明：DD（2）求異面直線CA1與【答案】（1）證明見詳解；（2）5【解析】（1）由題，選定空間中三個不共面的向量為基向量，只需證明DD（2）用基向量求解向量CA【詳解】設CD=a，CB由題可知：a,b,c兩兩之間的夾角均為π（1）由D=所以DD（2）由CA1所以CA1又C則cos<又異面直線夾角范圍為(0,所以異面直線CA1,AB【點睛】本題考查用基向量求解空間向量的問題，涉及異面直線的夾角，以及線線垂直的證明，是難得的好題，值得總結此類方法.五、求距離(長度)問題1．（2022春·貴州貴陽·高二校聯(lián)考階段練習）平行六面體ABCD?A1B1(1)求線段AC(2)若AB=a,AD=【答案】(1)6(2)能構成基底，A【分析】（1）利用AC1=（2）{a,b,c（1）AC1=AB+BC=1+1+1+21×1×12+1×1×1（2）AB,AD,AA1是平行六面體同一點A引出的三條向量，結合圖形可知它們不共面，故{a,b,c}可作為空間中的一組基底；假設{a+b于是A2．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？茧A段練習）如圖，已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的菱形，AA1=1，∠A1(1)用a，b，c表示BM并求BM的長；(2)求點A到直線BM的距離．【答案】(1)BM=?12a+(2)2【分析】(1)根據(jù)空間向量的基本定理可得BM=?(2)由(1)可得AB?BM=a??12a（1）BM=又a=b=2，cBM=故BM的長為2．（2）由（1）知BM=?12∴AB?所以AB⊥BM，則AB為點A到直線BM的距離，又AB=2，故點A到直線BM3．（2022春·河南洛陽·高二新安縣第一高級中學校考階段練習）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設AB=a，AD=(1)試用a,b,(2)求BM的長.【答案】(1)1(2)6【分析】利用空間向量基本定理用基底表示BM；（2）在第一問的基礎上運用空間向量數(shù)量積運算法則進行運算.【詳解】（1）BM=（2）BM=14+14+1?0+14．（2022·高二課時練習）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1，底面是正方形，AD=AB=2，AA1=1，∠A1(1)用a、b、c表示AN，AM；(2)求AC【答案】(1)AN=2(2)13【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；（2）首先用a、b、c表示AC（1）解：AN==2AM=AB+12（2）解：因為A∵|a|=2，|b|=2，|c|=1，所以A=所以AC1【過關作業(yè)】一、單選題1．（2022春·安徽滁州·高二階段練習）已知在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于A．3 B．2 C．5 D．6【答案】D【分析】利用空間向量基本定理，表示出AC1，進而求出【詳解】如圖，由題意可知，A∴=1+1+1+2×(cos

60°+cos

60°+cos∴|A故選：D．2．（2022春·廣東江門·高二新會陳經綸中學校考期中）三棱柱ABC?DEF中，G為棱AD的中點，若BA=a,BC=A．?a+bC．?12a【答案】D【分析】利用空間向量的線性運算法則與空間向量基本定理，求解即可．【詳解】CG=CA+故選：D．3．（2022春·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習）如圖，四面體ABCD的所有棱長均為1，M,N分別為線段BC,AD的中點.若MN=xAB+yAC+zA．12 B．14 C．?1【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可直接得到x,y,z，由此可得結果.【詳解】∵M,N分別為BC,AD中點，∴AM=1∴MN=AN?AM=1∴x+y+z=?1故選：C.4．（2022春·廣東清遠·高二校聯(lián)考期中）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1C1A．12a+C．12a?【答案】C【分析】以a,b,【詳解】如圖：根據(jù)空間向量的線性運算可知DM==1故選：C.5．（2022春·安徽合肥·高二合肥市第七中學校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°.若M是PC的中點，則BM=（

A．34 B．34 C．33【答案】D【分析】根據(jù)空間向量基本定理得到BM=12【詳解】因為M是PC的中點，所以BM=所以BM=因為PA的長為1，且PA與AB，AD的夾角都等于60°．所以BM=3所以BM=故選：D6．（2022春·河南鄭州·高二鄭州外國語學校?？计谥校┤鬭,b,A．b，c，a+b B．b，aC．a?b，c，a+b D．b【答案】D【分析】利用向量基底的定義和向量的線性運算的應用逐一判斷即可求解.【詳解】對于A，若向量b，c，a+b共面，則a+b=λb+μc，對于B，若向量b，a+c，a+b共面，則a+b=λb+μ對于C，若向量a?b，c，a+b共面，則a+b=λa?對于D，若向量b，a?b，a+b共面，則a+b=λa?b+μ故選：D.二、多選題7．（2022春·山東菏澤·高二菏澤一中?？茧A段練習）下列命題中，正確的命題有（

）A．a+b=a?B．若a//b，則存在唯一的實數(shù)λC．對空間中任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP=2OA?4OB+3OC，則P，D．若a,b,【答案】CD【分析】對A，向量a、b同向時a+對B，b為零向量時不成立；對C，根據(jù)空間向量共面的條件判定；對D，根據(jù)能成為基底的條件判定.【詳解】對A，∵向量a、b同向時，a+b≠a?對B，b應該為非零向量，故B錯誤；對C，由于OP=2OA?4若PA,PC共線，則PA,PC,PB三向量共線，故故PA,PC不共線，由向量共面的充要條件知PB,PA,PC共面，而PB,PA,PC過同一點對D，若a,b,c為空間的一個基底，則a，假設a+b，b+2c，所以1=3y1=x0=2x+y，無解，故a+b，則a+故選：CD．8．（2022春·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）已知三棱錐O?ABC，OA=OB=OC，且OA，OB，OC兩兩垂直，G是△OAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，OB上的點，且FB:OF=EC:BE=2:1，則下列說法正確的是（

）．A．FG∥BC B．EG⊥OG C．EG⊥BC 【答案】BCD【分析】根據(jù)OA，OB，OC兩兩垂直，設OA=a，OB=b，【詳解】解：如圖，設OA=a，OB=則a,b,取AB的中點H，連接OH，由于G是△OAB的重心，則OG=則OG=EG=又BC=則FG=EF=∴FG=13a≠λEG?EG?FG?故選：BCD．三、填空題9．（2022春·北京·高二人大附中?？计谀┮阎忮FO?ABC，M，N分別是對棱OA、BC的中點，點G在線段MN上，且MG=2GN，設OA=a，OB=b，OC=【答案】1【分析】根據(jù)空間向量的線性運算的幾何表示結合條件即得．【詳解】∵MG=2GN，∴MG=又M，N分別是對棱OA、BC的中點，OA=a，OB=∴OG===1故答案為：1610．（2022·全國·高二假期作業(yè)）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=1【答案】π6或【分析】由條件確定區(qū)域Ω與三棱柱ABC?A1B1C【詳解】因為Ω=P所以Ω中所有的點構成的幾何體的體積是直三棱柱ABC?A1B則6AB×ACsinAB,AC×AA1所以AB與AC夾角的大小為π6或5π故答案為：π6或5π11．（2022·全國·高二假期作業(yè)）在下列命題中：①若向量a,b共線，則向量②若向量a,b所在的直線為異面直線，則向量③若三個向量a,b,④已知空間的三個向量a,b,c，則對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)其中正確命題的是______．【答案】③【分析】根據(jù)共線向量和共面向量的相關定義判斷即可.【詳解】①若向量a,b共線，則向量②若向量a,b所在的直線為異面直線，由向量位置的任意性，空間中兩向量可平移至一個平面內，故③若a,b,④只有當空間的三個向量a,b,c不共面時，對于空間的任意一個向量p總存在實數(shù)綜上③正確，故選：③12．（2022春·重慶永川·高二重慶市永川北山中學校?？茧A段練習）如圖，正四面體ABCD的長為1，點E是棱CD的中點，則AE?【答案】12【分析】由圖象及已知條件，先用AC與AD來表示AE，再求AC，AD分別與AB的數(shù)量積，進而可得答案.【詳解】因為點E是棱CD的中點，所以AE=又因為正四面體ABCD的長為1，所以AB?所以AE