專(zhuān)題37對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，＋∞)．(3)定點(diǎn)：(1,0)．(4)單調(diào)性：a>1時(shí)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)；0<a<1時(shí)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)．(5)函數(shù)值變化當(dāng)a>1，x>1時(shí)，y∈(0，＋∞)；0<x<1時(shí)，y∈(－∞，0)；當(dāng)0<a<1，x>1時(shí)，y∈(－∞，0)；0<x<1時(shí)，y∈(0，＋∞)．可簡(jiǎn)記為“底真同，對(duì)數(shù)正；底真異，對(duì)數(shù)負(fù)”，“同”指同大于1或同小于1，“異”指一個(gè)大于1一個(gè)小于1.(6)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，按照“同增異減”的性質(zhì)求解．知識(shí)點(diǎn)二反函數(shù)的概念對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y＝ax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)．對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的定義域是指數(shù)函數(shù)y＝ax的值域，而y＝logax的值域是y＝ax的定義域．(1)并非任意一個(gè)函數(shù)y＝f(x)都有反函數(shù)，只有定義域和值域滿足“一一對(duì)應(yīng)”的函數(shù)才有反函數(shù)．(2)一般來(lái)說(shuō)，單調(diào)函數(shù)都有反函數(shù)，且單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)與原函數(shù)有相同的單調(diào)性．(3)若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)．(4)求反函數(shù)的步驟：①求出函數(shù)y＝f(x)的值域；②由y＝f(x)解出x＝f－1(y)；③把x＝f－1(y)改寫(xiě)成y＝f－1(x)，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域)．題型一比較對(duì)數(shù)值的大小1．比較下列各組值的大?。?1)log5eq\f(3,4)與log5eq\f(4,3)；(2)logeq\f(1,3)2與logeq\f(1,5)2；(3)log23與log54.2．比較下列各組值的大?。?1)logeq\f(2,3)0.5，logeq\f(2,3)0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.3．比較下列各組中兩個(gè)值的大?。?1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)logaπ，loga3.14(a>0，a≠1)．4．比較下列各組數(shù)的大小(1)log0.13與log0.1π；(2)log45與log65；(3)3log45與2log23；(4)loga(a＋2)與loga(a＋3)(a＞0且a≠1)．5．比較下列各組中兩個(gè)值的大?。?1)ln0.3，ln2；(2)log30.2，log40.2；(3)log3π，logπ3；(4)loga3.1，loga5.2(a>0，且a≠1)．6．已知實(shí)數(shù)a＝log45，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0，c＝log30.4，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a7．下列式子中成立的是()A．log0.44＜log0.46 B．1.013.4＞1.013.5C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log678．已知a＝2，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,3)，則()A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b9．如果logeq\s\do8(\f(1,2))x<logeq\s\do8(\f(1,2))y<0，那么()A．y<x<1 B．x<y<1C．1<x<y D．1<y<x10．設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b11．設(shè)a＝log43，b＝log53，c＝log45，則()A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b12．若a＝20.2，b＝log4(3.2)，c＝log2(0.5)，則()A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．b＞c＞a13．已知logaeq\f(1,3)>logbeq\f(1,3)>0，則下列關(guān)系正確的是()A．0<b<a<1 B．0<a<b<1C．1<b<a D．1<a<b14．設(shè)a＝log0.20.3，b＝log20.3，則()A．a(chǎn)＋b<ab<0 B．a(chǎn)b<a＋b<0C．a(chǎn)＋b<0<ab D．a(chǎn)b<0<a＋b15．已知f(x)＝|lgx|，且eq\f(1,c)＞a＞b＞1，試比較f(a)，f(b)，f(c)的大小．題型二求單調(diào)區(qū)間或根據(jù)單調(diào)性求參1．函數(shù)f(x)＝ln(2－x)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______．2．函數(shù)f(x)＝log2(1＋2x)的單調(diào)增區(qū)間是______．3．求函數(shù)y＝logeq\s\do8(\f(1,2))(1－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間．4．求函數(shù)y＝log0.7(x2－3x＋2)的單調(diào)區(qū)間．5．求函數(shù)y＝lg(x2－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間．6．函數(shù)f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．7．函數(shù)f(x)＝|logeq\f(1,2)x|的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) B．(0,1]C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)8．已知函數(shù)f(x)＝loga(3－ax)(a>0，且a≠1)．當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．9．已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的減函數(shù)，則a的取值范圍為()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)10．若y＝loga(ax＋3)(a>0且a≠1)在區(qū)間(－1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．11．是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)？如果存在，求出a的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．設(shè)函數(shù)f(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a,x)))，其中0＜a＜1.(1)證明：f(x)是(a，＋∞)上的減函數(shù)；(2)若f(x)＞1，求x的取值范圍．題型三求解對(duì)數(shù)不等式1．不等式log2(2x＋3)>log2(5x－6)的解集為()A．(－∞，3) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(6,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，3))2．若lg(2x－4)≤1，則x的取值范圍是()A．(－∞，7] B．(2,7]C．[7，＋∞) D．(2，＋∞)3．若logaeq\f(2,3)<1，則a的取值范圍是________．4．已知loga(3a－1)恒為正，求a的取值范圍．5．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,logeq\s\do8(\f(1,2))－x，x<0，))若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)6．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，則不等式f(log4x)<0的解集是___．7．(1)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范圍；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范圍．8．已知2loga(x－4)>loga(x－2)，求x的取值范圍．9．已知函數(shù)f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函數(shù)φ(x)＝f(x)＋g(x)的定義域；(2)試確定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范圍．10．函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)－log3eq\f(1＋x,1－x)，x∈(0,1)，求不等式f(x2)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的解集．題型四與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域問(wèn)題1．下列函數(shù)中，值域是[0，＋∞)的是()A．f(x)＝log2(x－1) B．f(x)＝eq\r(log2x－1)C．f(x)＝log2(x2＋2) D．f(x)＝log2eq\r(x－1)2．若函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．43．函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．4．函數(shù)y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是________．5．求函數(shù)y＝logeq\f(1,3)(－x2＋4x－3)的值域．6．求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝logeq\s\do8(\f(1,2))(3＋2x－x2)．7．求下列函數(shù)的值域：(1)y＝log2(|x|＋4)；(2)f(x)＝log2(－x2－4x＋12)．8．求函數(shù)y＝(log2x)2－4log2x＋5(1≤x≤2)的最值．9．求函數(shù)y＝log2(2x)·log2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x≤2))的最大值和最小值．10．函數(shù)f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值為_(kāi)_______．11．已知2x≤256且log2x≥eq\f(1,2)，求函數(shù)f(x)＝log2eq\f(x,2)×logeq\s\do8(eq\r(2))eq\f(\r(x),2)的最大值和最小值．12．求函數(shù)f(x)＝log2(4x)·log4eq\f(2,x)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))的值域．13．函數(shù)f(x)＝|log3x|在區(qū)間[a，b]上的值域?yàn)閇0,1]，則b－a的最小值為_(kāi)_______．14．若函數(shù)y＝log2(x2－2)(a≤x≤b)的值域是[1，log214]，則a，b的值分別為()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－2)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝2)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))15．已知函數(shù)y＝(log2x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log4x－\f(1,2)))，2≤x≤8.(1)令t＝log2x，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的范圍；(2)求該函數(shù)的值域．16．已知函數(shù)f(3x－2)＝x－1，x∈[0,2]，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)y＝g(x)的圖象．(1)求函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的解析式；(2)設(shè)h(x)＝[g(x)]2＋g(x2)，試求函數(shù)y＝h(x)的最值．17．已知函數(shù)f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)．(1)若f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．已知函數(shù)f(x)＝log2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax2＋a－1x＋\f(1,4))).(1)若定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型五對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．函數(shù)f(x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x2＋1)＋x)))是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)3．當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x＜logax，則a的取值范圍是()A．(eq\r(2)，2) B．(1，eq\r(2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))4．已知函數(shù)f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性．5．設(shè)常數(shù)a＞1，實(shí)數(shù)x，y滿足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最大值為eq\r(2)，則x的值為_(kāi)_______．6．已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0<a<1.(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的最小值為－4，求a的值．7．已知函數(shù)f(x)＝logaeq\f(1＋x,1－x)(a>0，且a≠1)．(1)求f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)求使f(x)>0的x的取值范圍．8．已知函數(shù)f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性；(3)若f(m－2)＜f(m)，求m的取值范圍．9．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋7)．(1)求f(1)，f(－1)；(2)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；(3)若f(a－1)－f(3－a)＜0，求a的取值范圍．10．已知a＞0且滿足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求