5.2抽樣分布概率論與數(shù)理統(tǒng)計（慕課版）第5章統(tǒng)計量及其分布01抽樣分布02正態(tài)總體的抽樣分布本講內(nèi)容01

抽樣分布3抽樣分布

統(tǒng)計量是隨機(jī)變量，因而具有一定的分布，這種分布叫做統(tǒng)計量的抽樣分布

.

正態(tài)分布在概率論部分已經(jīng)有了詳細(xì)的闡述，接下來對另外三大分布進(jìn)行詳細(xì)的介紹.401

抽樣分布1.分布設(shè)相互獨立且都服從N(0，1)，則稱服從自由度為n的

χ2分布，記為

χ2(n).性質(zhì)1；性質(zhì)2設(shè)，并且相互獨立，則501

抽樣分布5101520三大抽樣分布的密度可以不做記憶χ2分布的密度其中.601

抽樣分布設(shè)隨機(jī)變量，且X與Y獨立，則2.t分布服從自由度為n的t分布，記為t(n).性質(zhì)密度f(t)是偶函數(shù)，且t分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.701

抽樣分布t分布的密度函數(shù)801

抽樣分布3.F分布為服從自由度是n1，n2的F分布，記為F(n1,n2).若，X，Y獨立，則性質(zhì)若F~F(n1,n2)，則1/F~F(n2,n1).

901

抽樣分布1001抽樣分布解因為，由正態(tài)結(jié)論，有設(shè)，且X，Y相互獨立，分別為來自X和Y的樣本，求的分布.??例11101抽樣分布又因，所以，進(jìn)而綜上，1201

抽樣分布解則設(shè)為其樣本，求的分布.??例21301

抽樣分布人們乘坐飛機(jī)或高鐵時都需要通過金屬探測安檢門，那么安檢門的高度是如何確定的呢？設(shè)計安檢門的高度時，需盡可能使乘客不用低頭通過，同時為控制整體成本，又不能設(shè)計的太高.解設(shè)乘客身高

X~N(171.3,5.62).（單位：cm）不妨設(shè)門高度為h，乘客低頭進(jìn)車的概率不超過0.01，有只要求出滿足該式的最小的h即可.??例31401

抽樣分布為此只要求出滿足由于為h的單調(diào)函數(shù)，的h，記，則該式等價于，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布表可知，

，得h=184.3，因此將安檢門設(shè)計為184.3cm即可.1501

抽樣分布后兩章用到查表4.上側(cè)分位數(shù)(點)稱xα為X的上側(cè)α分位數(shù)(點).的上α分位數(shù)分別記為設(shè)X為隨機(jī)變量，給定，若實數(shù)xα滿足??定義1601抽樣分布01抽樣分布02正態(tài)總體的抽樣分布本講內(nèi)容1802

正態(tài)總體的抽樣分布1.一個正態(tài)總體正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)是總體的樣本，分別是樣本均值與樣本方差，則有：1902

正態(tài)總體的抽樣分布樣本方差分別記為

與，

則2.兩個正態(tài)總體設(shè)與分別是來自兩個互相獨立樣本均值分別記為，的正態(tài)總體與

的樣本，；樣本；2002

正態(tài)總體的抽樣分布(3)當(dāng)時，其中2102

正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)瓶裝洗潔精灌裝容量服從正態(tài)分布，均值為μ，方差為1.則25瓶洗潔凈劑灌裝量，是來自總體的簡單隨機(jī)樣本.解某公司生產(chǎn)瓶裝洗潔精，規(guī)定每瓶裝500毫升，但是在實際罐裝的過程中，總會出現(xiàn)一定的誤差，誤差要求控制在一定范圍內(nèi)。假定灌裝量的方差σ2=1，如果每箱裝25瓶這樣的洗潔精，試問25瓶洗潔精的平均灌裝量和標(biāo)準(zhǔn)值500毫升相差不超過0.3毫升的概率是多少???例42202

正態(tài)總體的抽樣分布另：當(dāng)n=50時，同樣可算出：根據(jù)定理5.1，有，進(jìn)而2302

正態(tài)總體的抽樣分布對每箱裝25瓶洗潔精時，平均每瓶灌裝量與標(biāo)準(zhǔn)值相差不超過0.3毫升的概率近似為86.64%，而每箱裝50瓶時該概率約為96.6%，所以當(dāng)增加到50瓶時，能更大程度保證平均誤差很小，更能保證廠家和商家的利益.??結(jié)論2402

正態(tài)總體的抽樣分布設(shè)所需樣本容量為n，根據(jù)定理5.1解由題意，設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(72，100)，為使樣本均值大于70的概率不小于90%，則樣本容量應(yīng)取多少???例52502

正態(tài)總體的抽樣分布查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得，因此

值不大于90%.

??例62602

正態(tài)總體的抽樣分布2702

正態(tài)總體的抽樣分布解根據(jù)定理5.1，，因此拓展例題本講內(nèi)容2902

正態(tài)總體的抽樣分布解在總體N(10,4)中隨機(jī)抽容量為5的樣本X1，X2，X3，X4，X5.求.??例13002

正態(tài)總體的抽樣分布解??例2

設(shè)總體

，抽取樣本

，樣本均值為

，樣本方差為S2，若再抽取一個采樣Xn+1，證明：統(tǒng)計量由故，而

相互獨立，故也服從正態(tài)分布.3102

正態(tài)總體的抽樣分布而即02

正態(tài)總體的抽樣分布32證明：統(tǒng)計量??例3設(shè)

是來自，是來自，是來自的兩個獨立樣本（指隨機(jī)變量

和

相互獨立），記02

正態(tài)總體的抽樣分布33證即相互獨立，由正態(tài)分布的性質(zhì)知因為統(tǒng)計量，且與又因為02

正態(tài)總體的抽樣分布34因為與

相互獨立，與相互獨立，所以統(tǒng)計量U和V也相互獨立，是由t分布的定義可知，統(tǒng)計量02

正態(tài)總體的抽樣分布35??例4(續(xù)上例)記證明：證因為由假設(shè)知

與相互獨立，則由F分布的定義知02

正態(tài)總體的抽樣分布36求總體N(20,3)的容量分別為10,15的兩獨立樣本均值的絕對值大于0.3的概率.??例5所以解，故，于是02

正態(tài)總體的抽樣分布37解??例6設(shè)為N(0,0.32)的一個樣本，求因為令，故有02

正態(tài)總體的抽樣分布38解(1)由樣本變量，n=16，故??例7于是設(shè)在總體中抽取一容量為16的樣本，這里均未知.

(1)求，其中S2為樣本方差；

(2)02

正態(tài)總體的抽樣分布39(2)所以02

正態(tài)總體的抽樣分布40解??例8設(shè)是取自總體的簡單隨機(jī)樣本,

求下列三個統(tǒng)計量的分布

并求非零常數(shù)的值.02

正態(tài)總體的抽樣分布41(3)可得.再由分布的定義

且相互獨立,

02

正態(tài)總體的抽樣分布42解??例9設(shè)為取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的一個樣本，試給出常數(shù)使得服從分布,并指出它的自由度.因

且相互獨立,故有02

正態(tài)總體的抽樣分布43且兩者相互獨立,由定義知所以,取即可,且自由度為3.02

正態(tài)總體的抽樣分布44解??例10設(shè)隨機(jī)變量相互獨立且都服從相同分布

，試給出常數(shù),使得

服從分布,并指出它的自由度.

因

且相互獨立,故有02

正態(tài)總體的抽樣分布45且兩者相互獨立,由定義知所以,取即可,且自由度為2和3.02

正態(tài)總體的抽樣分布46解??例11設(shè)隨機(jī)變量求的分布？

由于

，不妨設(shè)

，其中隨機(jī)變量

與

獨立，