屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心知識點(diǎn)講義目錄ContentsTOC\o"1-3"\h\u第1章集合與常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系1.1集合 31.2充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞 31.3等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式 41.4二次函數(shù)與一元二次方程、不等式 5第2章函數(shù)2.1函數(shù)的概念及其表示 52.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值 62.3函數(shù)的奇偶性與周期性 62.4冪函數(shù) 72.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 72.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 82.7函數(shù)的圖象 92.8函數(shù)與方程 11第3章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運(yùn)算 113.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 123.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值 12第4章三角函數(shù)與解三角形4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念 104.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 154.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 154.4三角恒等變換 154.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 174.6解三角形 18第5章數(shù)列5.1數(shù)列的概念 195.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 205.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 215.4數(shù)列求和 22第6章平面向量、復(fù)數(shù)6.1平面向量的概念及線性運(yùn)算 236.2平面向量基本定理及向量的坐標(biāo)表示 256.3平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用 266.4數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 27第7章立體幾何 297.1基本立體圖形、直觀圖、表面積和體積 297.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 337.3空間直線、平面的平行 357.4空間直線、平面的垂直 357.5空間向量及其運(yùn)算 387.6立體幾何中的向量方法 40第8章解析幾何 418.1直線的傾斜角與斜率、直線的方程 418.2直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 428.3圓的方程 428.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 438.5橢圓 438.6雙曲線 448.7拋物線 448.8直線與圓錐曲線 45第9章計(jì)數(shù)原理 469.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 469.2排列與組合 479.3二項(xiàng)式定理 47第10章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 4810.1隨機(jī)抽樣 4810.2用樣本估計(jì)總體 4910.3成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 50第11章概率 5111.1隨機(jī)事件與概率、事件的相互獨(dú)立性 5111.2古典概型、條件概率與全概率公式 5211.3離散型隨機(jī)變量及其分布列 5311.4離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 5311.5二項(xiàng)分布與超幾何分布 5411.6正態(tài)分布 55第1章集合與常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系1.1集合(1)集合元素的三個特征性質(zhì):確定性、無序性、互異性.(2)元素與集合的兩種關(guān)系:屬于，記為∈；不屬于，記為?.(3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法.(4)五個特定的常見數(shù)集記法:集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N+ZQR2.集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素(即若x∈A，則x∈B)A?B(B?A)真子集集合A?B，但存在元素x∈B，且x?AA?B（或B?A)集合相等集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個元素都是集合A的元素，即A?B，且B?AA=B3.集合的基本運(yùn)算運(yùn)算文字語言符號語言圖形語言記法交集所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B補(bǔ)集全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}CUA4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=A；A∪A=A；A∪B=B∪A；A∪B=A?B?A.(2)交集的性質(zhì):A∩?=?；A∩A=A；A∩B=B∩A；A∩B=A?A?B.(3)補(bǔ)集的性質(zhì):A∪(CUA)=U；A∩(CUA)=?；CU(CUA)=A；CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)；CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB).【常用結(jié)論展示】1.若有限集合A中有n(n∈N*，n≥1)個元素，則A有2n個子集，有2n-1個真子集，有2n-2個非空真子集.1.2充分條件與必要條件、全稱量詞與存在量詞1.命題概念使用語言、符號或者式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句特點(diǎn)(1)能判斷真假；(2)陳述句分類真命題、假命題2.充分條件、必要條件、充要條件設(shè)與p對應(yīng)的集合為A={x|p(x)}，與q對應(yīng)的集合為B={x|q(x)}，則有如下結(jié)論:定義從集合觀點(diǎn)看若p?q，則p是q的充分條件若集合A?B，則p是q的充分條件若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件若集合A?B，則p是q的充分不必要條件若q?p，且p?q，則p是q的必要不充分條件若集合B?A，則p是q的必要不充分條件若p?q，則p是q的充要條件若集合A=B，則p是q的充要條件若p?q，且q?p，則p是q的既不充分也不必要條件若集合A?B，且B?A，則p是q的既不充分也不必要條件3.全稱量詞和存在量詞量詞名稱常見量詞表示符號全稱量詞“所有的”“任意一個”“一切”“每一個”“任給”?存在量詞“存在一個”“至少有一個”“有些”“有一個”“對某些”“有的”?4.全稱量詞命題和存在量詞命題命題名稱定義命題結(jié)構(gòu)命題簡記全稱量詞命題含有全稱量詞的命題對M中任意一個x，p(x)成立?x∈M，p(x)存在量詞命題含有存在量詞的命題存在M中的元素x，p(x)成立?x∈M，p(x)5.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定命題命題的否定?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)1.3等式的性質(zhì)與不等式的性質(zhì)、基本不等式1.兩個實(shí)數(shù)比較大小的法則關(guān)系法則作差法則作商法則a>ba-b>0ab>1(a，b>0)或ab<1(aa=ba-b=0ab=1(a，a<ba-b<0ab<1(a，b>0)或ab>1(a2.等式的基本性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容性質(zhì)1對稱性如果a=b，那么b=a性質(zhì)2傳遞性如果a=b，b=c，那么a=c性質(zhì)3加減性如果a=b，那么a±c=b±c性質(zhì)4乘法法則如果a=b，那么ac=bc性質(zhì)5除法法則如果a=b，c≠0，那么a3.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意性質(zhì)1對稱性a>b?b<a可逆性質(zhì)2傳遞性a>b，b>c?a>c同向性質(zhì)3可加性a>b?a+c>b+c可逆性質(zhì)4可乘性a>b,c>0c的符號a>b,c<0性質(zhì)5同向可加性a>b,c>d同向性質(zhì)6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0同向、正項(xiàng)性質(zhì)7乘方法則a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正4.基本不等式對于任意的正實(shí)數(shù)a，b，ab≤a+b2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立.a+b2叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，1.4二次函數(shù)與一元二次方程、不等式1.一元二次不等式我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，其一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2.二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，我們把使ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn).3.三個二次之間的關(guān)系Δ的取值Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-b沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}xRax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【常用結(jié)論展示】(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法不等式解集a<ba=ba>b(x-a)·(x-b)>0{x|x<a或x>b}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x-a)·(x-b)<0{x|a<x<b}?{x|b<x<a}第2章函數(shù)★數(shù)學(xué)建?！醯群瘮?shù)模型的應(yīng)用2.1函數(shù)的概念及其表示1.函數(shù)的概念前提A，B是非空的實(shí)數(shù)集對應(yīng)關(guān)系如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)結(jié)論就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)記法y=f(x)，x∈A2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合B的子集.(2)函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.(3)同一個函數(shù):如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應(yīng)的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).2.2函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值1.增函數(shù)與減函數(shù)的定義條件一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，區(qū)間I?D.如果?x1，x2∈I，當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)結(jié)論那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，稱它是減函數(shù)圖示結(jié)論如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間I叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間2.函數(shù)的最大(小)值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)=M(1)?x∈D，都有f(x)≤M；(2)?x0∈D，使得f(x0)=M結(jié)論M是函數(shù)y=f(x)的最大值M是函數(shù)y=f(x)的最小值【常用結(jié)論展示】1.函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，x1，x2∈I，且x1≠x2?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x1(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，x1，x2∈I，且x1≠x2?(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x12.3函數(shù)的奇偶性與周期性1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，?x∈D，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)f(-x)=-f(x)關(guān)于原點(diǎn)對稱2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|).(2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.(3)在公共定義域內(nèi)有:奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù).(4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)=0.2.4冪函數(shù)2.五種冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)冪函數(shù)y=x，y=x12，y=x2，y=x-1，y=x(2)五種冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定義域RRR[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)值域R[0，+∞)R[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性單調(diào)遞增當(dāng)x∈[0，+∞)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(-∞，0)時(shí)，單調(diào)遞減定點(diǎn)(1，1)，(0，0)(1，1)2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.根式及相關(guān)概念(1)a的n次方根定義如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)根式:式子na叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，2.根式的性質(zhì)(n>1，且n∈N*)(1)n為奇數(shù)時(shí)，nan=a.(2)n為偶數(shù)時(shí)，nan=|a|=3.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定amn=nam(a>0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定a-mn=1amn0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義4.有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras=ar+s(a>0，r，s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q).5.指數(shù)函數(shù)(1)定義:一般地，函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)0<a<1a>1圖象圖象特征在x軸上方，過定點(diǎn)(0，1)當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸下降當(dāng)x逐漸增大時(shí)，圖象逐漸上升性質(zhì)定義域R值域(0，+∞)單調(diào)性在R上單調(diào)遞減在R上單調(diào)遞增函數(shù)值的變化規(guī)律當(dāng)x=0時(shí)，y=1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1；當(dāng)x>0時(shí)，y>1【常用結(jié)論展示】指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較:指數(shù)函數(shù)(1)y=ax，(2)y=bx，(3)y=cx，(4)y=dx的圖象如圖所示，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.規(guī)律:在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大.2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)的概念(1)根據(jù)下圖的提示填寫與對數(shù)有關(guān)的概念:(2)a的取值范圍:a>0，且a≠1.常用對數(shù)將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)把log10N記為lgN自然對數(shù)將以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)把logeN記為lnN3.對數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1對數(shù)的真數(shù)大于0，即負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù)性質(zhì)21的對數(shù)是0，即loga1=0(a>0，且a≠1)性質(zhì)3底數(shù)的對數(shù)是1，即logaa=1(a>0，且a≠1)對數(shù)恒等式①alogaN=N；②logaaN=4.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么:(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)logaMN=logaM-logaN；(3)logaMn=nloga5.對數(shù)換底公式logab=logcblogca(a>0，且a≠1；6.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域:(0，+∞)值域:R過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)7.反函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù).互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.它們的定義域與值域正好互換.【常用結(jié)論展示】1.換底公式的兩個重要結(jié)論(1)logab=1logba；(2)logamb其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m≠0，n∈R.2.對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y=1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律:在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.2.7函數(shù)的圖象1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的流程2.函數(shù)圖象間的變換(1)平移變換對于平移，往往容易出錯，在實(shí)際判斷中可熟記口訣:左加右減，上加下減.(2)對稱變換(3)伸縮變換y=f(x)的圖象y=f(ax)的圖象.y=f(x)的圖象y=Af(x)的圖象.【常用結(jié)論展示】1.函數(shù)圖象自身的中心對稱性(1)f(-x)=-f(x)?函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；(2)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，0)對稱?f(a+x)=-f(a-x)?f(x)=-f(2a-x)?f(-x)=-f(2a+x)；(3)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)成中心對稱?f(a+x)=2b-f(a-x)?f(x)=2b-f(2a-x)；(4)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足條件f(a+x)+f(b-x)=c(a，b，c為常數(shù))，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)a+b22.兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系(1)函數(shù)y=f(a+x)與y=f(b-x)的圖象關(guān)于直線x=b?a2對稱(2)函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；(3)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，b)對稱；(4)函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱.2.8函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對于一般函數(shù)y=f(x)，x∈D，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的解.2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)Δ>0Δ=0Δ<0圖象圖象與x軸的公共點(diǎn)(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個數(shù)2103.二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.【常用結(jié)論展示】1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，且f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則f(a)·f(b)<0?函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上只有一個零點(diǎn).2.周期函數(shù)若存在零點(diǎn)，則必有無窮個零點(diǎn).第3章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)的概念、意義及運(yùn)算對于函數(shù)y=f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0+Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值就從f(x0)變化到f(x0+Δx)，這時(shí)，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy=f(x0+Δx)-f(x0).1.平均變化率我們把比值ΔyΔx，即ΔyΔx=f(x0+Δx)-f2.導(dǎo)數(shù)的概念(1)導(dǎo)數(shù)的定義:如果當(dāng)Δx→0時(shí)，平均變化率ΔyΔx無限趨近于一個確定的值，即ΔyΔx有極限，則稱y=f(x)在x=x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作f'(x0)或y'|x=x0(2)導(dǎo)函數(shù):當(dāng)x變化時(shí)，y=f'(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y'，即f'(x)=y'=limΔ(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率k，即k=f'(x0)=limΔ3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=0f(x)=xα(α∈R，且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0，且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0，且a≠1)f'(x)=1f(x)=lnxf'(x)=14.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)；(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(3)f(x)g(x5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)定義:一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x)).(2)求導(dǎo)法則:一般地，對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'·ux'.【常用結(jié)論展示】1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).2.熟記以下結(jié)論:(1)1x'=-1x2；(2)(ln|x|)'=1x；(3)1f(x)'=-f'(x)[f(x)]2(f(x)≠0)3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f(x)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的正負(fù)之間具有如下的關(guān)系:在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，區(qū)間(a，b)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)遞減，區(qū)間(a，b)為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f'(x)=0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)為常函數(shù).3.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值1.函數(shù)的極值(1)定義函數(shù)的極值滿足條件極小值點(diǎn)與極小值①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都??；②若f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f'(a)=0；③在點(diǎn)x=a附近的左側(cè)f'(x)<0，右側(cè)f'(x)>0，就把a(bǔ)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值極大值點(diǎn)與極大值①函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大；②若f(x)在x=b處可導(dǎo)，則f'(b)=0；③在點(diǎn)x=b附近的左側(cè)f'(x)>0，右側(cè)f'(x)<0，就把b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值極值與極值點(diǎn)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)(2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟如下:①確定函數(shù)f(x)的定義域，并求f'(x)；②求方程f'(x)=0的根；③檢查方程f'(x)=0的根是否在定義域內(nèi)，若在，則看根附近的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號.如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取得極小值.2.函數(shù)的最值(1)一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.(2)一般地，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下:①求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.第4章三角函數(shù)與解三角形★數(shù)學(xué)建?！呛瘮?shù)模型的應(yīng)用1.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的物理意義y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述簡諧運(yùn)動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關(guān):(1)A就是這個簡諧運(yùn)動的振幅，它是做簡諧運(yùn)動的物體離開平衡位置的最大距離；(2)這個簡諧運(yùn)動的周期是T=2πω，這是做簡諧運(yùn)動的物體往復(fù)運(yùn)動一次所需要的時(shí)間(3)這個簡諧運(yùn)動的頻率由公式f=1T=ω2π(4)ωx+φ稱為相位；x=0時(shí)的相位φ稱為初相.4.1任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念1.任意角(1)定義:角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形.(2)分類:我們規(guī)定，一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角.如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角.這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負(fù)角和零角.(3)終邊相同的角:所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和.2.弧度制(1)定義:長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示.(2)公式角α的弧度數(shù)公式|α|=lr(弧長用l角度與弧度的換算①1°=π180rad，②1rad=180弧長公式l=|α|r扇形面積公式S=12lr=123.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義設(shè)α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)P(x，y)；把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做α的正弦函數(shù)，記作sinα把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做α的余弦函數(shù)，記作cosα把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值yx叫做α的正切函數(shù)，記作tan定義域RRα函數(shù)值在各象限的符號一+++二+--三--+四-+-r=|OQ|=x2+y2，sinα=yr，cosα=xr，tan【常用結(jié)論展示】1.象限角2.軸線角3.若α∈(0，π2)，4.特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°角α的弧度數(shù)0ππππ235πsinα012313210cosα13210-1-2-3-1tanα0313不存在-3-1-304.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關(guān)系:sinαcosα=2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2π2正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【常用結(jié)論展示】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα)；cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα)；(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα.(2)sinα=tanαcosα(α≠π2+kπ，(3)sin2α=sin2αsin24.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.正弦函數(shù)的“五點(diǎn)(畫圖)法”(1)在正弦函數(shù)y=sinx(x∈[0，2π])的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是:(0，0)，π2,1，(π，0)，3π2,-1，(2)在余弦函數(shù)y=cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關(guān)鍵點(diǎn)是:(0，1)，π2,0，(π，-1)，3π2,0，2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義域RR{xx∈R,且x≠值域[-1，1][-1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間2kπ?π[2kπ-π，2kπ](k∈Z)kπ?π單調(diào)遞減區(qū)間2kπ+π2,[2kπ，2kπ+π](k∈Z)無圖象的對稱中心(kπ，0)(k∈Z)kπ+πkπ2圖象的對稱軸x=kπ+π2x=kπ(k∈Z)無3.周期函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)和y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的周期均為T=2π|ω|；函數(shù)y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的周期為【常用結(jié)論展示】1.對稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是14(2)正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期.2.奇偶性若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0，ω≠0)，則(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=π2+kπ(k∈Z)(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z).4.4三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式名稱公式簡記符號公式特點(diǎn)兩角和與差的正弦sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβS(α±β)異名相乘、加減一致兩角和與差的余弦cos(α?β)=cosαcosβ±sinαsinβC(α±β)同名相乘、加減相反兩角和與差的正切tan(α±β)=tanα±tanβT(α±β)兩式相除、上同下異2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin2α=2sinαcosα；

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；(3)tan2α=2tanα1?tan3.輔助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+φ)，其中sinφ=b【常用結(jié)論展示】1.公式的常用變式:tanα±tanβ=tan(α±β)(1?tanαtanβ)；tanαtanβ=1-tanα+tanβtan(α+β2.降冪公式:sin2α=1?cos2α2；cos2α=1+cos2α2；sinαcosα=3.升冪公式:1+cosα=2cos2α2；1-cosα=2sin2α1+sinα=(sinα2+cosα2)2；1-sinα=(sinα2-cosα4.常用拆角、拼角技巧:例如，2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；β=α+β2?α-β2=(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°；π44.5函數(shù)y=Asin(ωx+φ)1.φ對函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象的影響把正弦曲線y=sinx上的所有點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平移|φ|個單位長度，就得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象.2.ω(ω>0)對函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響一般地，函數(shù)y=sin(ωx+φ)的周期是2πω，把y=sin(x+φ)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時(shí))或伸長(當(dāng)0<ω<1時(shí))到原來的1ω倍(縱坐標(biāo)不變)，就得到y(tǒng)=sin(ωx+φ3.A(A>0)對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的影響一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到.從而，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.4.由函數(shù)y=sinx的圖象變換到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象一般地，函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象，可以用下面的方法得到:先畫出函數(shù)y=sinx的圖象；再把正弦曲線向左(或右)平移|φ|個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍(橫坐標(biāo)不變)，這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)【溫馨提示】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象也可以由函數(shù)y=sinx的圖象這樣變換得到:【常用結(jié)論展示】類比正弦函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)的性質(zhì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0，ω>0)定義域R值域[-A+b，A+b]最值ymax=A+b，函數(shù)取得最大值時(shí)的x的值可由ωx+φ=2kπ+π2(k∈Z)解得ymin=-A+b，函數(shù)取得最小值時(shí)的x的值可由ωx+φ=2kπ-π2(k周期性最小正周期T=2π奇偶性當(dāng)φ=kπ(k∈Z)，且b=0時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)φ=kπ+π2(k∈Z)時(shí)，單調(diào)性單調(diào)遞增區(qū)間可由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈Z)解得；單調(diào)遞減區(qū)間可由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π圖象的對稱性對稱軸可由ωx+φ=kπ+π2(k∈Z)解得對稱中心的縱坐標(biāo)為b，橫坐標(biāo)可由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得4.6解三角形1.余弦定理(1)余弦定理文字語言三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號語言a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC(2)余弦定理的推論cosA=b2+c2-a22bc2.正弦定理文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等符號語言asinA=bsinB=c【溫馨提示】若R為△ABC外接圓的半徑，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；(2)sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=(3)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c；(4)a+b+csinA+sinB+sinC3.三角形的面積公式(1)S=12aha=12bhb=12chc(ha，hb，hc分別表示邊a，b，(2)S=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R(3)S=12(a+b+c)r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑)(4)S=p(p-a)(p-b)(4.余弦定理、正弦定理的實(shí)際應(yīng)用(1)基線在測量過程中，我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.在測量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越高.(2)實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時(shí)與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時(shí)與水平線的夾角【常用結(jié)論展示】三角形中常用的結(jié)論(1)三角形中的三角函數(shù)關(guān)系sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=-cosC；sinA+B2=cosC2；cosA+B2(2)在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.第5章數(shù)列5.1數(shù)列的概念1.數(shù)列的相關(guān)概念(1)定義:把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng).數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號a1表示，第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項(xiàng)，用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項(xiàng)，用an表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).(2)數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為{an}，an是數(shù)列的第n項(xiàng).2.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系由于數(shù)列{an}中的每一項(xiàng)an與它的序號n有下面的對應(yīng)關(guān)系:序號123…n…↓↓↓↓項(xiàng)a1a2a3…an…所以數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an=f(n).3.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列4.數(shù)列的表示方法列表法列出表格來表示數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)列的圖象是一系列橫坐標(biāo)為正整數(shù)的孤立的點(diǎn)(n，an)解析法將數(shù)列用一個數(shù)學(xué)式子表示出來的方法叫做解析法，可用通項(xiàng)公式或其他式子表示數(shù)列5.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.6.數(shù)列的遞推公式像an=3an-1(n≥2)這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.知道了首項(xiàng)或前幾項(xiàng)，以及遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項(xiàng)了.7.數(shù)列的前n項(xiàng)和及前n項(xiàng)和公式我們把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn=a1+a2+…+an.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.顯然S1=a1，而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)，于是我們有an=S5.2等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.2.等差中項(xiàng)由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A=a+b.【溫馨提示】1.a，A，b是等差數(shù)列的充要條件是2A=a+b.2.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?2an=an-1+an+1(n≥2).3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d.4.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n(a1+a5.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，可得an=dn+(a1-d)，當(dāng)d=0時(shí)，an=a1為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)d≠0時(shí)，an=a1+(n-1)d是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)就是等差數(shù)列的公差，因此等差數(shù)列{an}的圖象是直線y=dx+(a1-d)上的一群均勻分布的孤立的點(diǎn).(2)Sn=d2n2+a1-d2n.當(dāng)d≠0時(shí)，它是關(guān)于n的二次函數(shù).數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn【溫馨提示】當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次函數(shù)；當(dāng)d>0時(shí)，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列.【常用結(jié)論展示】1.若{an}為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，則ak+al=am+an.2.若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.3.若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan+qbn}也是等差數(shù)列.4.若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.5.若{an}是等差數(shù)列，則Snn也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與數(shù)列{an}的首項(xiàng)相同，公差是數(shù)列{an}公差的6.若{an}是等差數(shù)列，Sm，S2m，S3m分別為{an}的前m項(xiàng)、前2m項(xiàng)、前3m項(xiàng)的和，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差數(shù)列.7.關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的性質(zhì).(1)若項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶-S奇=nd，S奇(2)若項(xiàng)數(shù)為2n-1，則S偶=(n-1)an，S奇=nan，S奇-S偶=an，S奇8.兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和Sn，Tn之間的關(guān)系為an5.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和1.等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.2.等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).此時(shí)，G2=ab.【溫馨提示】在等比數(shù)列{an}中，任取相鄰的三項(xiàng)an，an+1，an+2，則an+1是an與an+2的等比中項(xiàng)，即an+12=ana3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n5.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)(1)若{an}是等比數(shù)列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al=am·an；若m+n=2k，則am·an=ak(2)等比數(shù)列{an}中相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak+m，ak+2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm.(3)若{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，1an，{an2}，{an·bn}，(4)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性①滿足a1>0,q>1或a1②滿足a1>0,0<q<1或a③當(dāng)a1≠0,q=1時(shí)，{(5)若Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則當(dāng)q≠-1或q=-1，且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.【常用結(jié)論展示】1.在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an+k，an+2k，an+3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.2.{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an=Tn，則Tn，T2nT3.當(dāng)q≠0且q≠1時(shí)，Sn=k-k·qn(k≠0)是數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件，此時(shí)k=a15.4數(shù)列求和1.基本數(shù)列求和方法(1)等差數(shù)列求和公式:Sn=n(a1+a(2)等比數(shù)列求和公式:Sn=n2.非基本數(shù)列求和常用方法(1)倒序相加法:如果一個數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法.如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的.(2)分組求和法:一個數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后再相加減.如已知an=2n+(2n-1)，求Sn.(3)并項(xiàng)求和法:一個數(shù)列的前n項(xiàng)中兩兩結(jié)合后可求和，則可用并項(xiàng)求和法.如已知an=(-1)nf(n)，求Sn.(4)錯位相減法:如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯位相減法來求.如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.(5)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項(xiàng)公式:①1n(n+k)=④1n+【常用結(jié)論展示】常用求和公式(1)1+2+3+4+…+n=n(n+1)2；(2)1+3+5+7+…+(2n-1)=n2；(3)12+22+32+…+n(4)13+23+33+…+n3=n(*數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行:(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n=n0(n0∈N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)以“當(dāng)n=k(k∈N*，k≥n0)時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立”.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.第6章平面向量、復(fù)數(shù)6.1平面向量的概念及線性運(yùn)算1.向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量與數(shù)量把既有大小又有方向的量叫做向量；把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量平面向量是自由向量有向線段具有方向的線段叫做有向線段以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作AB向量的模向量AB的大小稱為向量AB的長度(或稱模)記作|AB|零向量長度為0的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位長度的向量非零向量a的單位向量為±a平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)，向量a與向量b平行，記作a∥b規(guī)定:零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量，向量a與向量b相等，記作a=b相等向量一定是平行向量，反之不一定2.向量的加法(1)向量加法的線性運(yùn)算三角形法則前提已知非零向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a，b，OA=a，OB=b，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB結(jié)論以O(shè)為起點(diǎn)的向量OC(OC是□OACB的對角線)就是向量a與b的和圖形記憶口訣:首尾相連連首尾平行四邊形法則前提已知不共線的兩個向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a，b為鄰邊作□OACB結(jié)論對角線OC就是a與b的和圖形記憶口訣:公共起點(diǎn)對角線(2)向量加法的運(yùn)算律①交換律:a+b=b+a.②結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c).3.向量的減法(1)相反向量①定義:與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.②性質(zhì):-(-a)=a，a+(-a)=(-a)+a=0；如果a與b互為相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.(2)向量的減法①定義:a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.②作法:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則向量BA=a-b，如圖所示.③幾何意義:a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終點(diǎn)的向量.4.向量的數(shù)乘(1)定義:一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.長度:|λa|=|λ||a|.方向:當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0，方向任意.(2)幾何意義:λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸長(|λ|>1)或縮短(|λ|<1)為原來的|λ|倍.(3)運(yùn)算律:設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，a，b為向量，則有①λ(μa)=(λμ)a；②(λ+μ)a=λa+μa；③λ(a+b)=λa+λb.5.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.6.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使b=λa.【常用結(jié)論展示】1.常用的兩個結(jié)論:①若AB=DC，且A，B，C，D四點(diǎn)不共線，則四邊形ABCD為平行四邊形；若四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=DC.②若A，B，C三點(diǎn)共線，則AB∥AC；若AB∥AC，則A，B2.在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論:(1)GA+GB+GC=0；(2)AG=13(AB6.2平面向量基本定理及向量的坐標(biāo)表示1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.任一向量都可以由同一個基底唯一表示.2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)表示(1)基底:在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底.(2)坐標(biāo):對于平面內(nèi)的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得a=xi+yj.我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x，y)，其中，x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).(3)坐標(biāo)表示:a=(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)表示.(4)特殊向量的坐標(biāo):i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).4.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則:運(yùn)算文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a+b=(x1+x2，y1+y2)減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a-b=(x1-x2，y1-y2)向量坐標(biāo)公式一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)已知A(x3，y3)，B(x4，y4)，則AB=(x4-x3，y4-y3)數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)λa=(λx1，λy1)，λ∈R5.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則向量a，b共線的充要條件是x1y2-x2y1=0.【常用結(jié)論展示】1.若a與b不共線，且λa+μb=0，則λ=μ=0.2.已知P為線段AB的中點(diǎn)，若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為x13.已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為x1+x4.A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三點(diǎn)共線的充要條件為(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1)或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).6.3平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用1.兩向量的夾角(1)定義:已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA=a，OB=b，則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.(2)特例:①當(dāng)θ=0時(shí)，向量a與b同向；②當(dāng)θ=π2時(shí)，向量a與b垂直，記作a⊥b③當(dāng)θ=π時(shí)，向量a與b反向.2.向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ.

規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.3.投影向量(1)設(shè)a，b是兩個非零向量，AB=a，CD=b，過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作CD所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，A1B1(2)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM=a，ON=b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1.若與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則OM1=|a|cosθ4.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.

(2)a⊥b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|.特別地，a·a=|a|2或|a|=a·(4)|a·b|≤|a||b|.5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a(交換律).(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律).(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).6.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2.即兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.(2)平面向量長度(模)的坐標(biāo)表示①若a=(x，y)，則|a|=x2+y②若點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB=(x2-x1，y2-y1)，|AB|=(x2-x1)2+((3)平面向量夾角的坐標(biāo)表示設(shè)a，b都是非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cosθ=a·(4)兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a⊥b?x1x2+y1y2=0.【常用結(jié)論展示】1.三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的外心?|OA|=|OB|=|OC|.(2)O為△ABC的重心?OA+OB+(3)O為△ABC的垂心?OA·(4)O為△ABC的內(nèi)心?aOA+bOB+cOC=0.2.與非零向量a=(x，y)共線的單位向量的坐標(biāo)設(shè)與a共線的單位向量為a0，則a0=±1|a|a=±x|a|,3.與非零向量a=(x，y)垂直的單位向量的坐標(biāo)易知b=(-y，x)和a=(x，y)垂直，所以與a垂直的單位向量b0的坐標(biāo)為±(-yx2+y26.4數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義:形如a+bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.(2)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C={a+bi|a，b∈R}叫做復(fù)數(shù)集.(3)復(fù)數(shù)相等a+bi與c+di(a，b，c，d∈R)相等當(dāng)且僅當(dāng)a=c且b=d.即兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部和虛部分別相等.特別地，a，b∈R，a+bi=0?a=0，b=0.(4)復(fù)數(shù)的模向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)的?；蚪^對值，記作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=a2如果b=0，那么z=a+bi是一個實(shí)數(shù)a，它的模就等于|a|(a的絕對值).(5)共軛復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi.2.復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；當(dāng)b≠0時(shí)，它叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0，且b≠0時(shí)，它叫做純虛數(shù).可以通過下圖表示:(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a，b∈R)實(shí)數(shù)((2)集合表示3.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi可用點(diǎn)Z(a，b)表示.這個建立了平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量也是一一對應(yīng)的，即4.復(fù)數(shù)加、減法的運(yùn)算法則及加法運(yùn)算律(1)加、減法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1+z2=(a+c)+(b+d)I，z1-z2=(a-c)+(b-d)I.(2)加法運(yùn)算律對任意z1，z2，z3∈C，有①交換律:z1+z2=z2+z1；②結(jié)合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).5.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義設(shè)OZ1,OZ2分別與復(fù)數(shù)a+bi，c+di對應(yīng)，則兩個向量OZ1與O(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量OZ1,OZ2不共線，則復(fù)數(shù)z1-z2是連接向量OZ1(3)復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離z1，z2是復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Z1和Z2所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，d為Z1和Z2間的距離，設(shè)z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，則d=|Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2-z1|=|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i6.復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則和運(yùn)算律①復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.②復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對任意復(fù)數(shù)z1，z，z3∈C，有交換律z1z2=z2z1結(jié)合律(z1z2)z3=z1(z2z3)乘法對加法的分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(2)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R，且c+di≠0)，則z1z【常用結(jié)論展示】1.在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)為A，B，z1+z2對應(yīng)的點(diǎn)為C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，(1)四邊形OACB為平行四邊形；(2)若|z1+z2|=|z1-z2|，則四邊形OACB為矩形；(3)若|z1|=|z2|，則四邊形OACB為菱形；(4)若|z1|=|z2|，且|z1+z2|=|z1-z2|，則四邊形OACB為正方形.2.復(fù)數(shù)模的兩個重要性質(zhì)(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.3.in(n∈N*)的性質(zhì)當(dāng)n∈N*時(shí)，i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i.第7章立體幾何7.1基本立體圖形、直觀圖、表面積和體積1.空間幾何體(1)定義如果只考慮物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.(2)空間幾何體的分類及相關(guān)概念類別定義圖示多面體由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面；兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸注意:一個多面體最少有4個面、4個頂點(diǎn)和6條棱.2.棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的那部分多面體叫做棱臺圖示和記法記作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'記作棱錐S-ABCD記作棱臺ABCD-A'B'C'D'相關(guān)概念底面:兩個互相平行的面；側(cè)面:底面以外的其余各面；側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn):側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)底面:多邊形面；側(cè)面:有公共頂點(diǎn)的各個三角形面；側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn):各側(cè)面的公共頂點(diǎn)上底面:平行于原棱錐底面的截面；下底面:原棱錐的底面；側(cè)面:除上下底面以外的面；側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn):側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)分類(1)按底面多邊形的邊數(shù)分:三棱柱、四棱柱、五棱柱……(2)按側(cè)棱與底面是否垂直分:棱柱直棱柱(1)按底面多邊形的邊數(shù)分:三棱錐、四棱錐、五棱錐……其中三棱錐又叫四面體(2)底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐(1)由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……(2)由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺結(jié)構(gòu)特征①兩底面互相平行.②側(cè)面是平行四邊形.③側(cè)棱互相平行且相等.④與底面平行的截面與底面全等.⑤與側(cè)棱平行的截面是平行四邊形①有一個面是多邊形.②其余各面都是三角形.③這些三角形有一個公共頂點(diǎn)①上底面與下底面是互相平行的相似多邊形.②側(cè)面是梯形，且相鄰兩個面的交線(側(cè)棱)延長后交于一點(diǎn)3.圓柱、圓錐、圓臺和球的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱、圓錐、圓臺名稱圓柱圓錐圓臺定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分圖示和記法記作圓柱O'O記作圓錐SO記作圓臺O'O相關(guān)概念軸:旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面:平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體:圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體軸:旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面:垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面:直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線:無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體:圓錐和棱錐統(tǒng)稱為錐體軸:圓錐的軸；底面:圓錐的底面和截面；側(cè)面:圓錐的側(cè)面在底面和截面之間的部分；母線:圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體:圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體結(jié)構(gòu)特征①圓柱有無數(shù)條母線，它們平行且相等.②平行于底面的截面是與底面大小相同的圓.③過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形.④過任意兩條母線的截面是矩形①圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點(diǎn)即圓錐的頂點(diǎn)，且長度相等.②平行于底面的截面都是圓.③過軸的截面是全等的等腰三角形.④過任意兩條母線的截面是等腰三角形①圓臺有無數(shù)條母線，且長度相等，延長后相交于一點(diǎn).②平行于底面的截面是圓.③過軸的截面是全等的等腰梯形.④過任意兩條母線的截面是等腰梯形側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺側(cè)=π(r1+r2)l(2)球①球的結(jié)構(gòu)特征定義以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球圖示及相關(guān)概念記作球O球心:半圓的圓心半徑:連接球心和球面上任意一點(diǎn)的線段直徑:連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段②球的截面性質(zhì)a.用一個平面去截一個球，截面是圓面，球心和截面圓心的連線垂直于截面.b.球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r有如下關(guān)系:r=R24.立體圖形的直觀圖(1)用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟①建系:在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于點(diǎn)O'，且使∠x'O'y'=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.②平行不變:已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.③長度規(guī)則:已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半.(2)空間幾何體直觀圖的畫法①與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z'軸.②直觀圖中平面O'x'y'表示水平平面，平面O'y'z'和O'x'z'表示豎直平面.③已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.④成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.5.柱、錐、臺、球的表面積與體積公式幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=13臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13(S上+S下+S上球S=4πR2V=43πR【常用結(jié)論展示】1.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”坐標(biāo)軸的夾角改變,“三不變”平行性不改變,2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系S直觀圖=24S原圖形，S原圖形=22S直觀圖3.設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球的半徑R=a24.設(shè)正方體的棱長為a，則它的內(nèi)切球的半徑r=a2，外接球的半徑R=37.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.基本事實(shí)1~3基本事實(shí)基本事實(shí)1基本事實(shí)2基本事實(shí)3文字語言過不在一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面如果一條直線上的兩個點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線圖形語言符號語言A，B，C三點(diǎn)不共線?有且只有一個平面α，使A∈α，B∈α，C∈αA∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?αP∈α且P∈β，則存在直線l，使α∩β=l，且P∈l作用①確定平面；②證明點(diǎn)、線共面；③證明兩個平面重合判斷直線是否在平面內(nèi)①判斷兩個平面是否相交；②證明點(diǎn)共線和線共點(diǎn)問題2.由基本事實(shí)1，2得到的推論推論自然語言圖形語言推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面3.空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)異面直線①定義:把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.②畫法:(通常用平面襯托)(2)空間兩條直線的位置關(guān)系共面直線相交直線:在同一平面內(nèi),有且只有一個公共點(diǎn);(3)重要結(jié)論:連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線.用符號語言可表示為AB∩α=B，A?α，a?α，B?a?直線AB與a是異面直線(如圖).4.空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)無數(shù)個公共點(diǎn)有且只有一個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號表示a?αa∩α=Aa∥α圖形表示5.空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩個平面平行兩個平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有無數(shù)個公共點(diǎn)(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β=l圖形表示6.基本事實(shí)4與等角定理(1)基本事實(shí)4自然語言圖形語言符號語言作用平行于同一條直線的兩條直線平行a∥b，且b∥c?a∥c判斷兩條直線是否平行(2)等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).7.3空間直線、平面的平行直線與平面、平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理定理文字語言符號語言圖形語言作用直線與平面平行的判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行a?α，b?α且a∥b?a∥α證明直線與平面平行直線與平面平行的性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行a∥α，a?β，α∩β=b?a∥b證明或判斷兩條直線平行平面與平面平行的判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行a?β，b?β，a∩b=P，a∥α，b∥α?β∥α證明兩個平面平行平面與平面平行的性質(zhì)定理兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b?a∥b證明或判斷兩條直線平行【溫馨提示】三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化【常用結(jié)論展示】1.兩條平行線中的一條直線與平面平行(另一條直線不在該平面內(nèi))，另一條直線也與這個平面平行.2.過平面外一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與該平面平行，這些直線都在同一平面內(nèi).3.過兩條異面直線中的一條可以作唯一一個平面與另一條直線平行.4.兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.5.夾在兩個平行平面間的與兩個平面都相交的平行線段相等.6.經(jīng)過平面外一點(diǎn)，有且只有一個平面和已知平面平行.7.兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.8.如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.9.如果一個平面內(nèi)有兩條相交