第15講直線與圓的位置關系模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．理解直線與圓的三種基本位置關系：相離、相切、相交，并能準確描述每種關系的特征；2．掌握判斷直線與圓位置關系的方法，包括利用圓心到直線的距離與半徑的關系進行判斷；3．能夠運用所學知識解決實際問題，如計算切點坐標、交點坐標等.知識點1直線與圓的位置關系1、直線與圓的三種位置關系（1）直線與圓相交，有兩個公共點；（2）直線與圓相切，只有一個公共點；（3）直線與圓相離，沒有共同點．2、判斷直線與圓位置關系的方法（1）幾何法判斷直線與圓的位置關系：直線與圓，圓心到直線的距離．直線與圓相離無交點；直線與圓相切只有一個交點；直線與圓相交有兩個交點．（2）代數(shù)法判斷直線與圓的位置關系：聯(lián)立直線方程與圓的方程，得到，通過解的個數(shù)來判斷：當時，直線與圓有2個交點，，直線與圓相交；當時，直線與圓只有1個交點，直線與圓相切；當時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離．知識點2直線與圓相交弦長1、幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長之間的關系，整理出弦長公式為：．2、代數(shù)法：若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長．3、弦長公式法：設直線與圓的交點為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關系得到弦長．知識點3直線與圓相切1、圓的切線的條數(shù)（1）過圓外一點，可以作圓的兩條切線；（2）過圓上一點，可以作圓的一條切線；（3）過圓內一點，不能作圓的切線．2、過圓上一點的切線方程法一：先求出切點與圓心的連線斜率，若不存在，則結合圖形可直接寫出切線方程；若，則結課圖形可直接寫出切線方程；若存在且，則由垂直關系知切線的斜率為，由點斜式寫出切線方程．法二：若不存在，驗證是否成立；若存在，設點斜式方程，用圓心到直線的距離等于半徑列方程，解出方程即可．3、過圓外一點的圓的切線方程法一：當斜率存在時，設為，則切線方程為，即由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出的值，進而寫出切線方程．法二：當斜率存在時，設為，則切線方程為，即代入圓的方程，得到一個關于的一元二次方程，由，求得，切線方程即可求出．4、與圓的切線相關的結論（1）過圓上一點的圓的切線方程為．（2）過上一點的圓的切線方程為（3）過外一點作圓的兩條切線，切點分別為，，則切點弦所在直線方程為：．（4）過圓外一點引圓的兩條切線，則過圓外一點的切線長為．考點一：直線與圓的位置關系判斷例1．（23-24高二上·廣西南寧·月考）直線與圓的位置關系為（

）A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心C．相切 D．相離【答案】C【解析】圓，即，其圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離，直線與圓的位置關系為相切.故選：C【變式1-1】（23-24高二下·安徽蕪湖·月考）直線：與圓：的公共點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【解析】由直線，可得直線過定點，又由圓：，可得點在圓C上，因為直線的斜率顯然存在，所以公共點的個數(shù)為2.故選：C.【變式1-2】（23-24高二上·福建福州·期中）設，則直線l：與圓的位置關系為（

）A．相離 B．相切 C．相交或相切 D．相交【答案】C【解析】直線可化為，由可得，，所以直線恒過點.又，即點在圓上，所以，過點的直線與圓相交或相切.故選：C.【變式1-3】（22-23高二上·上海寶山·期中）已知點在圓C：外，則直線與圓C的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】由點在圓外，可得，求得圓心到直線的距離，故直線和圓C相交，故選:A.考點二：根據(jù)直線與圓的位置關系求參數(shù)例2.（23-24高二下·河南·月考）若直線與圓相切，則圓的半徑為（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【解析】依題意，，解得（負值舍），所以圓的半徑為.故選:C.【變式2-1】（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·開學考試）已知直線與圓相交，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑，因為直線與圓相交，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式2-2】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知圓：，直線：，則直線與圓有公共點的必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知圓的圓心坐標為，半徑為1.因為直線與圓有公共點，所以直線與圓相切或相交，所以圓心到直線的距離，解得.其必要不充分條件是把的取值范圍擴大，所以選項中只有是的必要不充分條件.故選：A【變式2-3】（23-24高二上·河北石家莊·期中）若直線過點，斜率為1，圓上恰有3個點到的距離為1，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，又圓上恰有3個點到l的距離為1，所以圓心到直線的距離等于半徑減去1，則圓心到直線l的距離為，解得.故選：D.考點三：求圓的切線方程例3.（23-24高二上·河北承德·月考）過點引圓的切線，其方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑；過點引圓的切線，若切線的斜率不存在，切線的方程為，符合題意；若切線的斜率存在，設其斜率為，則有，即，則有，解得，此時切線的方程為，即．綜上：切線的方程為和．故選：C．【變式3-1】（22-23高二下·河南安陽·開學考試）已知圓，過點作圓的切線，則的方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】將圓化為標準方程，則圓心，，當切線的斜率不存在時，切線的方程為，當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即，由題意知，.解得.此時切線的方程為.綜上，切線的方程為或.故選：C.【變式3-2】（23-24高二上·湖南長沙·期中）過點的直線l與圓相切，則直線l的方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】圓化為標準方程為，得圓心，半徑為2，當直線l的斜率不存在時，直線，此時直線l與圓相切，符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，圓心到直線l的距離為，由相切得，所以，平方化簡得，求得直線方程為，綜上，直線l的方程為或故選：B【變式3-3】（23-24高二上·天津武清·月考）已知過點的直線與圓相切，且與直線平行，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】已知過點的直線與圓相切，將點代入圓恒成立，則點在圓上．即過點的直線與圓相切的切線只有一條，令過點的切線的方程為，即，由此切線與平行，兩直線的斜率相等且軸截距不等，可得且；由圓心到切線的距離等于圓的半徑，可得圓的半徑，，即.故選：B．考點四：與切線長有關的問題例4.（23-24高二上·安徽馬鞍山·期末）由點向圓引的切線長是（

）A．3 B． C． D．5【答案】A【解析】圓即圓的圓心半徑分別為，點到圓心的距離為，所以點向圓引的切線長是.故選：A.【變式4-1】（23-24高二上·浙江寧波·期末）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以點在圓外，設圓心為，點為點，切點為，圓化為標準方程得，則圓心，半徑，在中，，所以，故，由圓的切線的性質可得，所以.故選：A.【變式4-2】（23-24高二上·四川樂山·期末）已知點是直線上一動點，與是圓C：的兩條切線，M、N為切點，則四邊形的最小面積為（

）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【解析】由題意知，圓C：的圓心,半徑，因為與是圓C：的兩條切線，所以，,則，當最小時，也最小,又點是直線上一動點，故圓心到直線的距離，為的最小值，此時，則此時四邊形的面積也最小，最小值為.故選：C.【變式4-3】（23-24高二上·陜西西安·期中）已知圓的半徑為2，過圓外一點作圓的兩條切線，切點為，，那么的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設，則，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為，故選：C.考點五：切點弦及其方程應用例5.（23-24高三上·云南曲靖·月考）過點作圓的兩條切線，設切點為A，B，則切點弦AB的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】圓，即，易知，圓C的半徑，所以切線長．所以四邊形的面積為．所以根據(jù)等面積法知：，所以．故選：B．【變式5-1】（23-24高二上·河北·期中）過點作圓：的兩條切線，切點分別為，，則直線的方程為．【答案】【解析】由圖可知，其中一條切線為軸，切點為坐標原點．因為,，則，所以直線的方程為．故答案為：.【變式5-2】（22-23高三上·廣東·開學考試）過點作圓的兩條切線，切點分別為、，則直線的方程為．【答案】【解析】方法1：由題知，圓的圓心為，半徑為，所以過點作圓的兩條切線，切點分別為、，所以，所以直線的方程為，即；方法2：設，，則由，可得，同理可得，所以直線的方程為.故答案為：【變式5-3】（23-24高二上·江西上饒·期末）是直線上的一個動點，是圓上的兩點，若均與圓相切，則弦長的最小值為．【答案】【解析】因為，所以，當?shù)拈L最小時，弦長最小，而的最小值為圓心（即原點）到直線的距離，所以，所以．故答案為：.考點六：直線與圓相交弦問題例6.（23-24高二上·江西上饒·期末）直線被圓所截得的弦長為（

）A．2 B． C． D．10【答案】C【解析】圓即，故圓心為，顯然圓心在直線上，故直線被圓所截得的弦即為圓的直徑，長為.故選：C．【變式6-1】（23-24高二下·山西運城·開學考試）直線將圓分成兩段，這兩段圓弧的弧長之比為（

）A．1：2 B．1：3 C．1：5 D．3：5【答案】A【解析】設直線與圓的兩個交點為，圓心為，過點作交于,如圖所示設，所以圓心到直線的距離為.在中，因為，所以，由圓的性質知，，所以兩段圓弧的弧長之比等于兩段弧所對圓心角的弧度數(shù)之比，等于．故選：A.【變式6-2】（23-24高二上·山東聊城·期末）寫出經(jīng)過坐標原點，且被圓截得的弦長為的直線l的一個方程．【答案】或（寫出一個即可）【解析】由題意，圓心到直線l的距離，當直線l的斜率不存在時，方程為滿足題意；當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，即，則，即，解得，此時直線l的方程為.故答案為：或（寫出一個即可）【變式6-3】（23-24高二上·安徽馬鞍山·月考）設圓的圓心為C，直線過，且與圓C交于A，B兩點，若，則直線方程為．【答案】或【解析】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為1，滿足，直線符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，圓心到直線的距離，解得，此時直線：，所以直線的方程為或.故答案為：或考點七：過定點直線的最短弦長例7.（23-24高二下·四川成都·月考）直線，被圓截得最短弦的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線，即，由，解得，設，由于，所以在圓內，圓的圓心為，半徑，如圖：當時，最短，，所以弦長的最小值為.故選：C【變式7-1】（22-23高二上·云南臨滄·月考）當圓截直線所得的弦長最短時，實數(shù)（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由得，圓心坐標是，半徑是直線：過定點，且在圓內，當時，直線被圓截得的弦長最短，由解得.故選:B.【變式7-2】（23-24高二下·河北保定·開學考試）已知過點的直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以點在圓內．且圓的圓心為，半徑為，則，當時，取得最小值，且最小值為．故選：D【變式7-3】（23-24高二上·四川涼山·期末）過點的直線與圓交于，兩點，則當弦長最短時的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，記為點，，即點在圓內，則當時，弦長最短，此時，所以的面積.故選：A考點八：直線與半圓的相交問題例8.（23-24高二下·上海·月考）已如直線和曲線只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍.【答案】或【解析】因為曲線，所以，解得，曲線可化為，兩邊同時平方有，，即，所以曲線是以為圓心，為半徑的圓的一部分，而直線，所以直線的斜率為1，畫圖象如下：由于直線與曲線只有一個公共點，當直線過時，即，解得，當直線過時，即，解得，由圖象可知，當直線與圓相切時：，解得或，而即為在軸上的截距，由圖象可知，綜上：或.故答案為：或.【變式8-1】（23-24高二下·重慶·月考）直線與曲線有兩個交點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，直線過定點，曲線是以為圓心，半徑為1的半圓（如圖所示），曲線的下端點為.要使直線與曲線有兩個交點，則直線應位于直線和切線之間（可以與重合），此時直線的斜率存在，且，即且圓心到直線的距離小于半徑.由得，由得，所以.故選：B.【變式8-2】（23-24高二上·河南許昌·月考）直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由曲線得，表示以原點為圓心，半徑為1的半圓，當直線與半圓相切時，，則，此時直線為；當直線過點時，，此時直線為，要使直線與曲線有兩個交點，則取值范圍為.故選：C.【變式8-3】（23-24高二上·四川南充·月考）若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知直線過定點，曲線是以為圓心，2為半徑的圓的左半部分弧，，作出它們的圖形，如圖，直線的斜率為，當直線斜率不存在時，它與該半圓相切，由圖可知，它們有兩個交點時，，故選：C．一、單選題1．（23-24高二上·天津濱海新·月考）直線：與圓：的位置關系是（

）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定【答案】A【解析】圓：的圓心，半徑，故圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，故選：A2．（23-24高二上·河南焦作·月考）直線與圓的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．相交或相切 D．相切【答案】A【解析】方法一：直線恒過定點，而，所以點在圓內，故直線與圓相交.選A.方法二：因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相交.故選A.方法三：聯(lián)立直線方程與圓的方程，消去x并整理，得，則，所以直線與圓相交.故選A.故選：A.3．（23-24高二上·湖南長沙·期末）直線，圓．則直線被圓所截得的弦長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】圓的標準方程為,直線過圓心,所以直線被圓所截得的弦長等于直徑長度4.故選:B．4．（23-24高二下·廣東茂名·月考）已知圓，直線.則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線.恒過定點，圓的圓心為，半徑為，且，即在圓內，當時，圓心到直線的距離最大為，此時，直線被圓截得的弦長最小，最小值為.故選：D.5．（22-23高二上·重慶北碚·月考）過點作圓的一條切線，切點為B，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】因為圓，所以圓的圓心為，半徑為，因為與圓相切，切點為B，所以，則，因為，所以.故選：B.6．（23-34高二上·廣東珠?！て谀┣€與直線有兩個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示:由題意可得，曲線的圖象為以為圓心，2為半徑的半圓，直線恒過，由圖當直線與半圓相切時，圓心到直線的距離，即，解得；當直線過點時，直線的斜率，則直線與半圓有兩個不同的交點時，實數(shù)的取值范圍為.故選:C.二、多選題7．（23-24高二上·安徽滁州·期末）若直線與圓有公共點，則實數(shù)的取值可能是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】直線恒過定點，圓的圓心為，半徑為2，顯然點在圓外，直線與圓有公共點，則圓心到直線的距離，解得.故選：AB8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知過點的直線和圓：，則（

）A．直線與圓相交B．直線被圓截得最短弦長為C．直線與被圓截得的弦長為，的方程為D．不存在這樣的直線，使得圓上有3個點到直線的距離為2【答案】ABD【解析】因為圓：，所以圓的圓心為，半徑為4.選項A：因為，所以點在圓內，故直線與圓相交，選項A正確；選項B：設圓心到直線的距離為，弦長為，則，又因為圓心到直線的最長距離，所以，故選項B正確；選項C：直線與被圓截得的弦長為，所以圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線方程為，滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，故，解得，故直線方程為，綜上滿足題意的直線方程為或，故選項C不正確；選項D：當直線經(jīng)過圓心時，圓上到直線的距離為2的點有4個；當直線不經(jīng)過圓心時，直線將圓分成優(yōu)弧與劣弧兩個部分，由于半徑為4，在優(yōu)弧上一定存在兩個點到直線的距離為2，那么此時，在劣弧上有且只有一個點到直線的距離為2.當圓心到直線的距離為時，此時圓心到直線的距離最大，又因為半徑為4，且，所以此時劣弧上有兩個點到直線的距離為2，所以不存在，所以選項D正確.故選：ABD.三、填空題9．（23-24高二下·上海靜安·期末）圓在點處的