第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析全章總結(jié)(精講）目錄題型一；回歸分析角度1：求回歸直線方程角度2：殘差分析角度3：計算相關(guān)指數(shù)角度4：非線性回歸題型二：獨立性檢驗題型一；回歸分析角度1：求回歸直線方程1．（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）黨的二十大報告提出：“必須堅持科技是第一生產(chǎn)力?人才是第一資源?創(chuàng)新是第一動力，深入實施科教興國戰(zhàn)略?人才強國戰(zhàn)略?創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢.”某數(shù)字化公司為加快推進企業(yè)數(shù)字化進程，決定對其核心系統(tǒng)DAP，采取逐年增加研發(fā)人員的辦法以提升企業(yè)整體研發(fā)和創(chuàng)新能力.現(xiàn)對2018~2022年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計（年份代碼1~5分別對應(yīng)2018~2022年）如下折線圖：(1)根據(jù)折線統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù)，計算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的強弱；(2)試求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.2．（2023秋·遼寧·高三校聯(lián)考期末）某地區(qū)2015年至2021年居民家庭人均存款y（單位：萬元）數(shù)據(jù)如下表：年份2015201620172018201920202021年份代號x1234567人均存款y1.41.82.12.93.33.74.4變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測2022年該地區(qū)居民家庭人均存款；(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差為0，則稱該數(shù)據(jù)為“完美數(shù)據(jù)”現(xiàn)從這些數(shù)據(jù)中隨機抽取2個，設(shè)X為抽到的“完美數(shù)據(jù)”的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．3．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學(xué)?？计谀?jù)統(tǒng)計，某市一家新能源企業(yè)2022年近5個月的產(chǎn)值如下表：月份6月7月8月9月10月月份代碼12345產(chǎn)值（億元16202730374．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植兩種經(jīng)濟作物，可以通過種植這兩種經(jīng)濟作物鞏固脫貧成果.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)：經(jīng)濟作物的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購價格處于上漲趨勢，最近五年的價格如下表：年份編號12345年份20172018201920202021單價元/公斤1820232529經(jīng)濟作物的收購價格始終為25元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如圖所示：(1)若經(jīng)濟作物的單價（單位：元/公斤）與年份編號之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出關(guān)于的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中所求的線性回歸方程，估計2022年經(jīng)濟作物的單價；(3)用頻率分布直方圖估計經(jīng)濟作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表），若不考慮其他因素，試判斷2022年該村應(yīng)種植經(jīng)濟作物還是經(jīng)濟作物？并說明理由.5．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考一模）防疫抗疫，人人有責(zé)．隨著奧密克戎的全球肆虐，防疫形勢越來越嚴(yán)峻，防疫物資需求量急增．下表是某口罩廠今年的月份x與訂單y（單位：萬元）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：月份x12345訂單y(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并估計該廠6月份的訂單金額；(2)已知甲從該口罩廠隨機購買了4箱口罩，該口罩廠質(zhì)檢過程中發(fā)現(xiàn)該批口罩的合格率為，不合格產(chǎn)品需要更換．用X表示甲需要更換口罩的箱數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．角度2：殘差分析種植面積(畝)234579每畝種植管理成本(百元)252421221614模型①估計值25.2723.6221.9717.0213.72殘差0.270.380.971.020.28模型②26.8420.1718.8317.3116.461.840.833.171.312.46（1）將以上表格補充完整，并根據(jù)殘差平方和判斷哪個模型擬合效果更好；（2）視殘差的絕對值超過1.5的數(shù)據(jù)視為異常數(shù)據(jù)，針對（1）中擬合效果較好的模型，剔除異常數(shù)據(jù)后，重新求回歸方程.日期（周）123456高度（厘米）404552576373模型①的殘差12模型②的殘差2.63.9(1)求表格中，的值，并根據(jù)“殘差的絕對值之和越小，模型的擬合效果越好”的原則選出擬合效果更好的經(jīng)驗回歸函數(shù)模型；(2)興趣小組發(fā)現(xiàn)第6周的數(shù)據(jù)測量誤差較大，決定剔除第6周的數(shù)據(jù).請使用前5周的數(shù)據(jù)計算經(jīng)驗回歸函數(shù)模型①的經(jīng)驗回歸方程，并用該方程預(yù)測樹苗第7周的高度.年份2016年2017年2018年2019年2020年2021年=3.5，年份代號x123456=19.5，銷售量：y（萬輛）81220222530模型①的殘差值0.81.12.60.310.3模型②的殘差值0.71.61.60.410.8(1)殘差值的絕對值之和越小說明模型擬合效果越好，據(jù)此，比較模型①，②的擬合效果；(2)本次統(tǒng)計分析中，若認定殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)是異常數(shù)據(jù)，需要剔除.剔除異常數(shù)據(jù)后，其它數(shù)據(jù)保持不變，重新用模型①求出回歸方程，并據(jù)此預(yù)測2022年的銷售量.（運算結(jié)果保留到小數(shù)點后一位數(shù)字）4．（2022春·云南昆明·高二云南師大附中校考期中）為了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，x表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表下所示：x1234567y61121346610119662.141.54140253550.12276943.47(1)根據(jù)表中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用同學(xué)甲的模型建立y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程；①用決定系數(shù)比較甲乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？②用你認為擬合效果較好的模型預(yù)測活動推出第8天使用掃碼支付的人次；(3)推廣期結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼比例為緩解周邊居民出行壓力，車隊以90萬元的單價購進了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗可知，每輛車每個月的運營成本約為0.66萬元．已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有的概率享受7折優(yōu)惠，有的概率享受8折優(yōu)惠，有的概率享受9折優(yōu)惠．預(yù)計該車隊每輛車每個月有2萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其它因素的條件下，按照上述收費標(biāo)準(zhǔn)，請你估計這批車輛需要幾年（結(jié)果取整數(shù)年）才能盈利？5．（2022·高二課時練習(xí)）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費用Y（萬元），有加下表的統(tǒng)計資料：使用年限x23456維修費用Y2.23.85.56.57.0若由資料知，Y與x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：(2)殘差平方和；(3)決定系數(shù)；(4)使用年限為10年時，維修費用是多少．角度3：計算相關(guān)指數(shù)1．（2022春·廣西河池·高二統(tǒng)考期末）我國機床行業(yè)核心零部件對外依存度較高，我國整機配套的中高檔功能部件大量依賴進口，根據(jù)中國機床工具工業(yè)協(xié)會的數(shù)據(jù)，國內(nèi)高檔系統(tǒng)自給率不到10%，約90%依賴進口.因此，迅速提高國產(chǎn)數(shù)控機床功能部件制造水平，加快國產(chǎn)數(shù)控機床功能部件產(chǎn)業(yè)化進程至關(guān)重要.通過對某機械上市公司近幾年的年報公布的研發(fā)費用x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到下表：年份2015201620172018201920202021x234681013y15222740485460(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，分別求出模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大小（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）；(2)(i)根據(jù)（1）選擇擬合精度更高、更可靠的模型；(ii)若2022年該公司計劃投入研發(fā)費用17億元，使用(i)中的模型預(yù)測可為該公司帶來多少直接收益.回歸模型模型①模型②79.1318.862．（2022·全國·高三專題練習(xí)）【閱讀材料】2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場成功著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富身體狀態(tài)良好，神舟十三號載人飛行任務(wù)取得圓滿成功，標(biāo)志著空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段任務(wù)圓滿完成，中國空間站即將進入建造階段．某公司負責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十三號的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應(yīng)用改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2(2)當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時，以回歸直線方程為預(yù)測依據(jù)，計算公司的收益約為多少．3．（2022春·內(nèi)蒙古赤峰·高二赤峰二中?？茧A段練習(xí)）根據(jù)黨中央規(guī)劃的“精準(zhǔn)發(fā)力，著力提高脫貧攻堅成效”的精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧路徑，某農(nóng)業(yè)機械上市公司為強化現(xiàn)代農(nóng)業(yè)的基礎(chǔ)支撐，不斷投入資金對產(chǎn)品進行研發(fā)，從而提升農(nóng)機裝備的應(yīng)用水平.通過對該公司近幾年的年報公布的研發(fā)費用x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，得到如下表：年份2015201620172018201920202021年份編號123456723468101315222740485460(1)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，分別求出模型①，②的相關(guān)指數(shù)的大?。ūＡ羧挥行?shù)字）；(2)根據(jù)（1）選擇擬合精度更高、更可靠的模型，若2022年該公司計劃投入研發(fā)費用17億元，預(yù)測可為該公司帶來多少直接收益.回歸模型模型①模型②79.1318.864．（2022·陜西西安·統(tǒng)考三模）某公司負責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對A型材料進行應(yīng)用改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：序號12345678910111223468101321222324251522274048546068.56867.56665請根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2(2)當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時，以回歸直線方程為預(yù)測依據(jù)，計算公司的收益約為多少元．5．（2022春·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某大學(xué)一男生統(tǒng)計了本宿舍7名舍友的體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）的數(shù)據(jù)，見下表：姓名呂聰梁力李澤文張?zhí)煺芡醮T武勇商寶清身高161175169178173168180體重52625470665773(2)為判斷（1）中回歸方程的擬合效果，請求出相關(guān)指數(shù)的值（保留兩位小數(shù)）．角度4：非線性回歸(1)某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓(xùn)練，每天魔方還原的平均速度y（秒）與訓(xùn)練天數(shù)x（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x（天）1234567y（秒）99994532302421184.50.370.55參考公式：(2)現(xiàn)有一個復(fù)原好的三階魔方，白面朝上，現(xiàn)規(guī)定只可以扭動最外層的六個表面.某人按規(guī)定將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉(zhuǎn)動，記頂面白色色塊的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.2．（2022春·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┯幸粋€開房門的游戲，其玩法為:盒中先放入兩把鑰匙和兩把鑰匙，能夠打開房門，不能打開房門.每次從盒中隨機取一把試開，試開后不放回鑰匙.第一次打開房門后，關(guān)上門繼續(xù)試開，第二次打開房門后停止抽取，稱為進行了一輪游戲.若每一輪取鑰匙不超過三次，則該輪“成功”，否則為“失敗”，如果某一輪“成功”，則游戲終止；若“失敗”，則將所有鑰匙重新放入盒中，并再放入一把鑰匙，繼續(xù)下一輪抽取，直至“成功”.(2)由于時間關(guān)系，規(guī)定：進行游戲時，最多進行三輪，若均未“成功”也要終止游戲.求游戲要進行三輪的概率.3．（2022·山西朔州·統(tǒng)考三模）數(shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為20172021年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年2021年對應(yīng)的代碼依次為15.年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36(2)已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物與不在品牌官方直播間購物的人數(shù)之比為4：1，按照分層抽樣從這兩類用戶中抽取5人，再從這5人中隨機抽取2人，求這2人全是選擇在品牌官方直播間購物用戶的概率.38485868788816.818.820.722.42425.5質(zhì)量與尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（1）現(xiàn)從抽取的件合格產(chǎn)品中再任選件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機變量的期望；（2）根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計量的值如表：（i）根據(jù)所給統(tǒng)計量，求關(guān)于的回歸方程；5．（2022·陜西寶雞·?？既＃┯幸环N速度叫中國速度，有一種驕傲叫中國高鐵.中國高鐵經(jīng)過十幾年的發(fā)展，取得了舉世矚目的成就，使我國完成了從較落后向先進鐵路國的跨越式轉(zhuǎn)變.中國的高鐵技術(shù)不但越來越成熟，而且還走向國外，幫助不少國家修建了高鐵.高鐵可以說是中國一張行走的名片.截至到2020年，中國高鐵運營里程已經(jīng)達到3.9萬公里.下表是2013年至2020年中國高鐵每年的運營里程統(tǒng)計表，它反映了中國高鐵近幾年的飛速發(fā)展：年份20132014201520162017201820192020年份代碼12345678運營里程萬公里1.31.61.92.22.52.93.53.9根據(jù)以上數(shù)據(jù)，回答下面問題.（1）甲同學(xué)用曲線y=bx+a來擬合，并算得相關(guān)系數(shù)r1=0.97，乙同學(xué)用曲線y=cedx來擬合，并算得轉(zhuǎn)化為線性回歸方程所對應(yīng)的相關(guān)系數(shù)r2=0.99，試問哪一個更適合作為y關(guān)于x的回歸方程類型，并說明理由；（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01).題型二：獨立性檢驗1．（2023秋·江蘇蘇州·高三常熟中學(xué)校考期末）某機構(gòu)為了解市民對交通的滿意度，隨機抽取了100位市民進行調(diào)查結(jié)果如下：回答“滿意”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的一半，在回答“滿意”的人中，“上班族”的人數(shù)是“非上班族”人數(shù)的；在回答“不滿意”的人中，“非上班族”占．滿意不滿意合計上班族非上班族合計②請寫出的數(shù)學(xué)期望的表達式（不需證明）．附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中學(xué)校聯(lián)考期末）某市對高三年級學(xué)生進行數(shù)學(xué)學(xué)能檢測（簡稱檢測），現(xiàn)隨機抽取了1600名學(xué)生的檢測結(jié)果等級（“良好以下”或“良好及以上”）進行分析，并制成下圖所示的列聯(lián)表.良好以下良好及以上合計男8001100女100合計12001600(1)將列聯(lián)表補充完整；計算并判斷是否有95%的把握認為本次檢測結(jié)果等級與性別有關(guān)；附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828年齡/歲[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]頻數(shù)1525302010滿意13a2716b(1)從[60，70]段中隨機抽取一人“滿意”的概率為0.4，若以頻率估計概率，以上表的樣本據(jù)來估計總體，求從全國玩抖音的市民（假設(shè)年齡均在20歲至70歲）中隨機抽取一人是“滿意”的概率(2)根據(jù)（1）的數(shù)據(jù)，填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為年齡低于歲的人和年齡不低于50歲的人對服務(wù)態(tài)度有差異；年齡低于50歲的人數(shù)年齡不低于50歲的人數(shù)合計滿意不滿意合計0.100.050.010.0012.7063.8416.63510.8284．（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）某學(xué)校為推動學(xué)校的大課間運動，開始在部分班級中使用一套新的大課間運動體操（記為A類體操），原來