高中數(shù)學(xué)精編資源2/2《事件的關(guān)系和運(yùn)算》同步學(xué)案情境導(dǎo)入從一副撲克牌中任抽一張,設(shè)事件A表示“抽出的是紅桃”,事件B表示“抽出的是梅花”,在一次抽取中事件A和事件B能同時(shí)發(fā)生嗎?能同時(shí)不發(fā)生嗎?提示:不能同時(shí)發(fā)生,但能同時(shí)不發(fā)生,如抽出的是黑桃或方塊.自主學(xué)習(xí)自學(xué)導(dǎo)引事件的關(guān)系與運(yùn)算定義表示法圖示包含關(guān)系一般地,若事件A發(fā)生,則事件B______,稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B).如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,則稱事件A與事件B相等,記作_________._________(或_________)并事件一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在________中,或者在________中,稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)._________(或_________)交事件一般地,事件A與事件B__________,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在事件B中,稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)._________(或_________)事件互斥一般地,如果事件A與事件B__________發(fā)生,也就是說(shuō)A∩B是一個(gè)不可能事件,則稱事件A與事件B_________(或互不相容).若A∩B=?,則A與B互斥事件對(duì)立一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,那么稱事件A與事件B互為_(kāi)__________.事件A的對(duì)立事件記為_(kāi)_________.若A∩B=?,且A∪B=Ω,則A與B對(duì)立答案一定發(fā)生A=BB?AA?B事件A事件BA∪BA+B同時(shí)發(fā)生A∩BAB不能同時(shí)互斥對(duì)立A預(yù)習(xí)測(cè)評(píng)1.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次,設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3,事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù),事件A與B的關(guān)系是()A.事件B包含事件AB.事件B與事件A相等C.事件B與事件A是互斥事件D.事件B與事件A是對(duì)立事件2.拋擲一枚骰子,觀察其朝上面的點(diǎn)數(shù),若A=1,B=135,則事件A.1B.13C.153.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球,那么互斥但不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰有一個(gè)黑球”與“恰有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”4.某市送醫(yī)下鄉(xiāng),將趙偉、張昊、王宏三位專家派到衡東、澗西、龍泉三所鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院,每所醫(yī)院分到1位專家,則事件“張昊被派到衡東”與事件“趙偉被派到衡東”是()A.對(duì)立事件B.互斥但不對(duì)立事件C.不可能事件D.必然事件答案1.A解析:由題意可得事件A發(fā)生,事件B一定發(fā)生,所以事件B包含事件A.2.A解析:1∩3.C解析:A中的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生,故不互斥;同樣,B中兩個(gè)事件也可同時(shí)發(fā)生,故不互斥;D中兩個(gè)事件是對(duì)立的.4.B解析:由互斥事件和對(duì)立事件的概念知,事件“張昊被派到衡東”與事件“趙偉被派到衡東”是互斥事件.又因?yàn)槭录巴鹾瓯慌傻胶鈻|”也是可能發(fā)生的,所以事件“張昊被派到衡東”與事件“趙偉被派到衡東”不是對(duì)立事件.新知探究探究點(diǎn)1事件的關(guān)系知識(shí)詳解1.包含關(guān)系.(1)概念及表示方法.一般地,對(duì)于事件A與事件B,如果事件A發(fā)生,則事件B一定發(fā)生,這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B),記作B?A(或A?B).也就是說(shuō)構(gòu)成事件A的結(jié)果都在事件B的結(jié)果中.例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)1點(diǎn)}?{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}.(2)圖示.與兩個(gè)集合的包含關(guān)系類比,可用下圖表示.[特別提示]1.不可能事件記作?,任何事件都包含不可能事件,即C??(C為任一事件).2.事件A也包含于事件A,即A?A.3.事件B包含事件A,其含義就是事件A發(fā)生,事件B一定發(fā)生,而事件B發(fā)生,事件A不一定發(fā)生.2.相等事件.(1)概念及表示方法.一般地,若B?A,且B?A,那么稱事件B與事件A相等,記作A=B.例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)6點(diǎn)}={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于5}.(2)圖示.與兩個(gè)集合的相等關(guān)系類比,可用如圖表示.[特別提示]1.兩個(gè)相等事件總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生.2.所謂事件A=B,就是說(shuō)事件A,B是同一事件.3.在驗(yàn)證兩個(gè)事件是否相等時(shí),常用到相等事件的定義.典例探究例1在擲骰子試驗(yàn)中,可以得到以下事件:A:{出現(xiàn)1點(diǎn)};B:{出現(xiàn)2點(diǎn)};C:{出現(xiàn)3點(diǎn)};D:{出現(xiàn)4點(diǎn)};E:{出現(xiàn)5點(diǎn)};F:{出現(xiàn)6點(diǎn)};G:{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1};H:{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5};I:{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)};J:{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}.請(qǐng)判斷下列兩個(gè)事件的關(guān)系:(1)B______H;2解析:因?yàn)槌霈F(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5包含出現(xiàn)1點(diǎn),出現(xiàn)2點(diǎn),出現(xiàn)3點(diǎn),出現(xiàn)4點(diǎn)四種情況,所以事件B發(fā)生時(shí),事件H必然發(fā)生,故B?H;同理D?J,E?I;又易知事件A與事件G相等,即A=G.答案:1變式訓(xùn)練1擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣三次,得到如下三個(gè)事件:A為“3次正面向上”,B為“只有1次正面向上”,C為“至少有1次正面向上”,試判斷事件A,B,C之間的包含關(guān)系.答案:當(dāng)事件A發(fā)生時(shí),事件C一定發(fā)生,當(dāng)事件B發(fā)生時(shí),事件C一定發(fā)生,因此有A?C,B?C;當(dāng)事件A發(fā)生時(shí),事件B一定不發(fā)生,當(dāng)事件B發(fā)生時(shí),事件A一定不發(fā)生,因此事件A與事件B之間不存在包含關(guān)系.綜上,事件A,B,C之間的包含關(guān)系為:A?C,B?C.探究點(diǎn)2事件的運(yùn)算知識(shí)詳解1.并(和)事件.(1)概念及表示方法.若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件),記作A∪B(或A+B).例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)1點(diǎn)}∪{出現(xiàn)5點(diǎn)}={出現(xiàn)1點(diǎn)或5點(diǎn)}.(2)圖示.與兩個(gè)集合的并集類比,可用下圖表示.[特別提示]并(和)事件包含三種情況:①事件A發(fā)生,事件B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生,事件B發(fā)生;③事件A,B都發(fā)生,即事件A∪B表示事件A,B至少有一個(gè)發(fā)生.2.交(積)事件.(1)概念及表示方法.若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生,則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件),記作A∩B(或AB).例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于3}∩{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}={出現(xiàn)4點(diǎn)}.(2)圖示.與兩個(gè)集合的交集類比,可用下圖表示.典例探究例2盒子里有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從中任取3個(gè)球,設(shè)事件A={3個(gè)球中有1個(gè)紅球、2個(gè)白球},事件B={3個(gè)球中有2個(gè)紅球、1個(gè)白球},事件C={3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球},事件D={3個(gè)球中既有紅球又有白球}.(1)事件D與A,B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系?(2)事件C與A的交事件是什么事件?解析:根據(jù)事件運(yùn)算的定義解題,對(duì)于事件C和事件D需列出其包含的所有結(jié)果.答案:(1)對(duì)于事件D,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球,或2個(gè)紅球、1個(gè)白球,故D=A∪B.(2)對(duì)于事件C,可能的結(jié)果為1個(gè)紅球、2個(gè)白球,或2個(gè)紅球、1個(gè)白球,或3個(gè)紅球,故C∩A=A.方法歸納:進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí),一是要緊扣運(yùn)算的定義,二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果,必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)算用Venn圖分析事件.變式訓(xùn)練2設(shè)A,B,C表示三個(gè)隨機(jī)事件,試用A,B,C的運(yùn)算表示下列事件:(1)A出現(xiàn),B,C不出現(xiàn);(2)A,B都出現(xiàn),C不出現(xiàn);(3)三個(gè)事件至少有一個(gè)出現(xiàn);(4)不多于一個(gè)事件出現(xiàn);(5)三個(gè)事件至少有兩個(gè)出現(xiàn);(6)A,B,C中恰有兩個(gè)出現(xiàn).答案:(1)AB(2)ABC(3)A∪B∪C.(4)AB(5)ABC+ABC(6)ABC探究點(diǎn)3互斥事件與對(duì)立事件知識(shí)詳解1.互斥事件.(1)概念及表示方法.若A∩B為不可能事件,即A∩B=?,則稱事件A與事件B互斥,其含義是:事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生,例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}與{出現(xiàn)2點(diǎn)}是互斥事件.(2)圖示.與兩個(gè)集合的交集為空集類比,可以用下圖表示.[特別提示]1.事件A與事件B互斥表示事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,即A與B兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率為0.2.事件A與事件B互斥包含三種情況:①事件A發(fā)生,B不發(fā)生;②事件A不發(fā)生,B發(fā)生;③事件A不發(fā)生,B也不發(fā)生.注意與事件A∪B進(jìn)行區(qū)別.2.對(duì)立事件.(1)概念及表示方法.若A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件,那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件,其含義是:事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,例如,擲一枚骰子,{出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)}與{出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)}是對(duì)立事件.(2)圖示.與兩個(gè)集合的補(bǔ)集類比,可以用下圖表示,陰影部分為事件B.即事件A的對(duì)立事件B是全集中由事件A包含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集,也可記作B=A[特別提示]1.在一次試驗(yàn)中,事件A和它的對(duì)立事件只能發(fā)生一個(gè),并且必然發(fā)生一個(gè),不可能兩個(gè)都不發(fā)生或兩個(gè)都發(fā)生,例如,擲一枚硬幣,出現(xiàn)的結(jié)果可以是正面朝上,也可以是反面朝上,但不會(huì)出現(xiàn)第三種結(jié)果.2.根據(jù)對(duì)立事件的概念易知:若兩個(gè)事件對(duì)立,則這兩個(gè)事件是互斥事件;反之,若兩個(gè)事件是互斥事件,則這兩個(gè)事件未必是對(duì)立事件.3.對(duì)立事件是特殊的互斥事件,若事件A,B是對(duì)立事件,則事件A與事件B互斥,而且A∪B是必然事件.典例探究例3某縣城有甲、乙兩種報(bào)紙供居民訂閱,記事件A為“只訂甲報(bào)”,事件B為“至少訂一種報(bào)紙”,事件C為“至多訂一種報(bào)紙”,事件D為“不訂甲報(bào)”,事件E為“一種報(bào)紙也不訂”,判斷下列每組事件是不是互斥事件;如果是,再判斷它們是不是對(duì)立事件:(1)A與C;(2)B與E;(3)B與D;(4)B與C;(5)C與E.解析:按照互斥事件與對(duì)立事件的定義進(jìn)行判斷.答案:(1)由于事件C“至多訂一種報(bào)紙”中包括“只訂甲報(bào)”,即事件A與事件C有可能同時(shí)發(fā)生,故A與C不是互斥事件.(2)事件B“至少訂一種報(bào)紙”與事件E“一種報(bào)紙也不訂”是不可能同時(shí)發(fā)生的,故B與E是互斥事件;由于事件B與事件E必有一個(gè)發(fā)生,故B與E是對(duì)立事件.(3)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中包括“只訂乙報(bào)”,即有可能“不訂甲報(bào)”,也就是說(shuō)事件B和事件D有可能同時(shí)發(fā)生,故B與D不是互斥事件.(4)事件B“至少訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”“訂甲、乙兩種報(bào)”.事件C“至多訂一種報(bào)紙”中的可能情況為“一種報(bào)紙也不訂”“只訂甲報(bào)”“只訂乙報(bào)”,也就是說(shuō)事件B與事件C可能同時(shí)發(fā)生,故B與C不是互斥事件.(5)由(4)的分析,事件E“一種報(bào)紙也不訂”是事件C中的一種可能情況,所以事件C與事件E可能同時(shí)發(fā)生,故C與E不是互斥事件.方法總結(jié):辨析互斥事件與對(duì)立事件的思路.1從發(fā)生的角度看.(1)在一次試驗(yàn)中,兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生,也可能有一個(gè)發(fā)生,但不可能同時(shí)發(fā)生.(2)兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生,但不可能同時(shí)發(fā)生,即兩事件對(duì)立,必定互斥,但兩事件互斥,未必對(duì)立.對(duì)立事件是互斥事件的一個(gè)特例.2.從事件個(gè)數(shù)的角度看.互斥的概念適用于兩個(gè)或多個(gè)事件,但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件.變式訓(xùn)練3已知100件產(chǎn)品中有5件次品,從這100件產(chǎn)品中任意取出3件,設(shè)E表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”,F表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”,G表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”,則下列結(jié)論正確的是()A.F與G互斥B.E與G互斥但不對(duì)立C.E,F,G任意兩個(gè)事件均互斥D.E與G對(duì)立答案:D解析:由題意得事件E與事件F不可能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;事件E與事件G不可能同時(shí)發(fā)生,是互斥事件;當(dāng)事件F發(fā)生時(shí),事件G一定發(fā)生,所以事件F與事件G不是互斥事件,故A,C不正確,事件E與事件G中必有一個(gè)發(fā)生,所以事件E與事件G對(duì)立,所以B不正確,D正確.易錯(cuò)易混解讀例從1,2,3,?,9中任取兩數(shù),給出下列各組事件:①“恰有一個(gè)偶數(shù)”和“恰有一個(gè)奇數(shù)”;②“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)都是奇數(shù)”;③“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“兩個(gè)都是偶數(shù)”;④“至少有一個(gè)奇數(shù)”和“至少有一個(gè)偶數(shù)”.其中是對(duì)立事件的是()A.①B.②④C.③D.①③錯(cuò)解:D錯(cuò)因分析:本題錯(cuò)在沒(méi)有理解對(duì)立事件的概念.對(duì)立事件的特點(diǎn)是兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生,①顯然不符合條件.正解:從1,2,3,?,9中任取兩數(shù),有以下三種情況:(1)兩個(gè)奇數(shù);(2)兩個(gè)偶數(shù);(3)一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù).所以僅有③中的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生且必有一個(gè)發(fā)生.故選C.糾錯(cuò)心得:對(duì)于一些事件關(guān)系的判斷,考慮問(wèn)題要全面,最好能把事件的幾個(gè)方面列舉出來(lái),然后根據(jù)“至多”、“至少”所包含的情況進(jìn)行判斷.課堂檢測(cè)1.如果事件A、B互斥,那么()A.A∪B是必然事件B.A∪C.A與B一定互斥D.A與B一定不互斥2.抽查10件產(chǎn)品,設(shè)A={至少2件次品},則A=A.{至多2件次品}B.{至多2件正品}C.{至少2件正品}D.{至多1件次品}3.從2,4,6,8,10中任取三